Applets:Periodendauer periodischer Signale: Unterschied zwischen den Versionen

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==Aufrufmöglichkeit zweier Applets in neuem Fenster==
 
 
Wir bieten hier zwei Applets zur gleichen Thematik mit unterschiedlichem Layout an:
 
Wir bieten hier zwei Applets zur gleichen Thematik mit unterschiedlichem Layout an:
  
{{LntAppletLink|periode|Applet-Variante 1 in neuem Tab öffnen}}     {{LntAppletLink|periodeS|Applet-Variante 2 in neuem Tab öffnen}}
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{{LntAppletLink|signalPeriod_en|Applet-Variante 1 in neuem Tab öffnen}}     {{LntAppletLink|signalPeriodS_en|Applet-Variante 2 in neuem Tab öffnen}}
  
 
==Programmbeschreibung==
 
==Programmbeschreibung==
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Dieses Applet zeichnet den Verlauf und berechnet die Periodendauer $T_0$ der periodischen Funktion
 
Dieses Applet zeichnet den Verlauf und berechnet die Periodendauer $T_0$ der periodischen Funktion
 
:$$x(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)+A_2\cdot \cos\left(2\pi f_2\cdot t- \varphi_2\right).$$
 
:$$x(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)+A_2\cdot \cos\left(2\pi f_2\cdot t- \varphi_2\right).$$
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*Die Phasen $\varphi_i$ sind hier im Bogenmaß einzusetzen. Umrechnung aus dem Eingabewert: &nbsp; $\varphi_i \text{[im Bogenmaß]} =\varphi_i \text{[in Grad]}/360 \cdot 2\pi$.
 
*Die Phasen $\varphi_i$ sind hier im Bogenmaß einzusetzen. Umrechnung aus dem Eingabewert: &nbsp; $\varphi_i \text{[im Bogenmaß]} =\varphi_i \text{[in Grad]}/360 \cdot 2\pi$.
 
*Ausgegeben werden auch der Maximalwert $x_{\rm max}$ und ein Signalwert $x(t_*)$ zu einer vorgebbaren Zeit $t_*$.
 
*Ausgegeben werden auch der Maximalwert $x_{\rm max}$ und ein Signalwert $x(t_*)$ zu einer vorgebbaren Zeit $t_*$.
*Das aufzurufende Applet verwendet die englischen Begriffe im Gegensatz zu dieser deutschen Beschreibung. Die englische Beschreibung finden Sie unter [[Period Duration of Periodic Signals]].
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*Das aufzurufende Applet verwendet die englischen Begriffe im Gegensatz zu dieser deutschen Beschreibung.  
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Die englische Beschreibung finden Sie unter [[Period Duration of Periodic Signals]] (derzeit noch nicht realisiert) .
  
 
==Theoretischer Hintergrund==
 
==Theoretischer Hintergrund==
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*Ein ''periodisches Signal'' $x(t)$ liegt genau dann vor, wenn dieses nicht konstant ist und für alle beliebigen Werte von $t$ und alle ganzzahligen Werte von $i$ mit einem geeigneten $T_{0}$ gilt: &nbsp; $x(t+i\cdot T_{0}) = x(t)$. Man bezeichnet $T_0$ als die '''Periodendauer''' und  $f_0 = 1/T_0$ als die '''Grundfrequenz'''.
 
*Ein ''periodisches Signal'' $x(t)$ liegt genau dann vor, wenn dieses nicht konstant ist und für alle beliebigen Werte von $t$ und alle ganzzahligen Werte von $i$ mit einem geeigneten $T_{0}$ gilt: &nbsp; $x(t+i\cdot T_{0}) = x(t)$. Man bezeichnet $T_0$ als die '''Periodendauer''' und  $f_0 = 1/T_0$ als die '''Grundfrequenz'''.
 
  
 
*Bei einer harmonischen Schwingung $x_1(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)$ gilt $f_0 = f_1$ und $T_0 = 1/f_1$, unabhängig von der Phase $\varphi_1$ und der Amplitude $A_1 \ne 0$.
 
*Bei einer harmonischen Schwingung $x_1(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)$ gilt $f_0 = f_1$ und $T_0 = 1/f_1$, unabhängig von der Phase $\varphi_1$ und der Amplitude $A_1 \ne 0$.
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'''(a)''' &nbsp; $f_1' = 1.0$, &nbsp; $f_2' = 3.0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.0) = 1.0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 =  1.0\ \rm ms$;
 
'''(a)''' &nbsp; $f_1' = 1.0$, &nbsp; $f_2' = 3.0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.0) = 1.0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 =  1.0\ \rm ms$;
  
'''(b)''' &nbsp; $f_1' = 1.0$, &nbsp; $f_2' = 3.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.5)= 0.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 =  2\ \rm ms$;
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'''(b)''' &nbsp; $f_1' = 1.0$, &nbsp; $f_2' = 3.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.5)= 0.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 =  2.0\ \rm ms$;
  
 
'''(c)''' &nbsp; $f_1' = 1.0$, &nbsp; $f_2' = 2.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 2.5) = 0.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 =  2.0\ \rm ms$;
 
'''(c)''' &nbsp; $f_1' = 1.0$, &nbsp; $f_2' = 2.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 2.5) = 0.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 =  2.0\ \rm ms$;
  
'''(d)''' &nbsp; $f_1' = 0.9$, &nbsp; $f_2' = 3.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(0.9, \ 3.5) = 0.1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 =  10 \ \rm ms$;
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'''(d)''' &nbsp; $f_1' = 0.9$, &nbsp; $f_2' = 2.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(0.9, \ 2.5) = 0.1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 =  10.0 \ \rm ms$;
  
 
'''(e)''' &nbsp; $f_2' = \sqrt{2} \cdot f_1' $ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(f_1', \ f_2') \to 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 \to \infty$&nbsp; &rArr; &nbsp; Das Signal $x(t)$ ist nicht periodisch.}}
 
'''(e)''' &nbsp; $f_2' = \sqrt{2} \cdot f_1' $ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(f_1', \ f_2') \to 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 \to \infty$&nbsp; &rArr; &nbsp; Das Signal $x(t)$ ist nicht periodisch.}}
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$\text{Anmerkung:}$&nbsp; Die Periodendauer könnte auch als ''kleinstes gemeinsame Vielfache'' (kgV) entsprechend $T_0 = {\rm kgV}(T_1, \ T_2)$ ermittelt werden:
 
$\text{Anmerkung:}$&nbsp; Die Periodendauer könnte auch als ''kleinstes gemeinsame Vielfache'' (kgV) entsprechend $T_0 = {\rm kgV}(T_1, \ T_2)$ ermittelt werden:
  
'''(c)''' &nbsp; $T_1 = 1.0\ \rm ms$, &nbsp; $T_2 = 0.4\ \rm kHz$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0 = {\rm kgV}(1.0, \ 0.4) \ \rm ms =  2.0\ \rm ms$
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'''(c)''' &nbsp; $T_1 = 1.0\ \rm ms$, &nbsp; $T_2 = 0.4\ \rm kHz$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 = {\rm kgV}(1.0, \ 0.4) \ \rm ms =  2.0\ \rm ms$
  
 
Bei allen anderen Parameterwerten würde es aber zu numerischen Problemen kommen, zum Beispiel  
 
Bei allen anderen Parameterwerten würde es aber zu numerischen Problemen kommen, zum Beispiel  
  
'''(a)''' $T_1 = 1.0\ \rm ms$ und $T_2 = 0.333\text{...} \ \rm ms$ besitzen aufgrund der begrenzten Darstellung reeller Zahlen kein kleinstes gemeinsames Vielfaches.  
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'''(a)''' &nbsp; $T_1 = 1.0\ \rm ms$ und $T_2 = 0.333\text{...} \ \rm ms$ besitzen aufgrund der begrenzten Darstellung reeller Zahlen kein kleinstes gemeinsames Vielfaches.  
  
==Vorschlag für die Versuchsdurchführung==
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==Versuchsdurchführung==
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Im Folgenden bezeichnen $A_1'$ und $A_2'$ die auf $1\ \rm V$ normierten  Signalamplituden und $f_0'$, $f_1'$ und $f_2'$ die auf $1\ \rm kHz$ normierte Frequenzen:
 
Im Folgenden bezeichnen $A_1'$ und $A_2'$ die auf $1\ \rm V$ normierten  Signalamplituden und $f_0'$, $f_1'$ und $f_2'$ die auf $1\ \rm kHz$ normierte Frequenzen:
 
   
 
   
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'''(2)''' &nbsp; Variieren Sie bei der bestehenden Einstellung $\varphi_1$ und $\varphi_2$ im gesamten möglichen Bereich $\pm 180^\circ\text{:}$}}
 
'''(2)''' &nbsp; Variieren Sie bei der bestehenden Einstellung $\varphi_1$ und $\varphi_2$ im gesamten möglichen Bereich $\pm 180^\circ\text{:}$}}
  
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer $T_0 = 2.0 \ \rm ms$ &nbsp; bleibt erhalten.
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$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer $T_0 = 2.0 \ \rm ms$ bleibt erhalten.
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
'''(3)''' &nbsp; Wählen Sie die Voreinstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall&rdquo;  und variieren Sie $A_1'$ im gesamten möglichen Bereich $0 \le A_1' \le 1\text{:}$}}
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'''(3)''' &nbsp; Wählen Sie die Voreinstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall Parameters&rdquo;  und variieren Sie $A_1'$ im gesamten möglichen Bereich $0 \le A_1' \le 1\text{:}$}}
  
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer $T_0 = 2.0 \ \rm ms$ &nbsp; bleibt erhalten mit Ausnahme von $A_1' =0$. Dann gilt aufgrund der zweiten Schwingung  $T_0 = 0.4 \ \rm ms$.
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$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer $T_0 = 2.0 \ \rm ms$ bleibt erhalten mit Ausnahme von $A_1' =0$. In diesem Fall ist $T_0 = 0.4 \ \rm ms$.
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
'''(4)''' &nbsp; Wählen Sie die Voreinstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall&rdquo; und ändern Sie $f_2' = 0.2\text{:}$}}
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'''(4)''' &nbsp; Wählen Sie die Voreinstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall Parameters&rdquo; und ändern Sie $f_2' = 0.2\text{:}$}}
  
 
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 5.0 \ \rm ms$ &nbsp; wegen &nbsp; ${\rm ggt}(2.0, 0.2) = 0.2$.
 
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 5.0 \ \rm ms$ &nbsp; wegen &nbsp; ${\rm ggt}(2.0, 0.2) = 0.2$.
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
'''(5)''' &nbsp; Wählen Sie die Voreinstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall&rdquo; und ändern Sie $f_1' = 0.2$. Speichern Sie diese Einstellung mit &bdquo;Store&rdquo;:}}
+
'''(5)''' &nbsp; Wählen Sie die Voreinstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall Parameters&rdquo; und ändern Sie $f_1' = 0.2$. Speichern Sie diese Einstellung mit &bdquo;Store Parameters&rdquo;:}}
  
 
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 10.0 \ \rm ms$ &nbsp; wegen &nbsp; ${\rm ggt}(0.2, 2.5) = 0.1$.
 
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 10.0 \ \rm ms$ &nbsp; wegen &nbsp; ${\rm ggt}(0.2, 2.5) = 0.1$.
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
'''(6)''' &nbsp; Wählen Sie die letzte Einstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall&rdquo; und ändern Sie $f_2' = 0.6$. Speichern Sie diese Einstellung mit &bdquo;Store&rdquo;:}}
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'''(6)''' &nbsp; Wählen Sie die letzte Einstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall Parameters&rdquo; und ändern Sie $f_2' = 0.6$. Speichern Sie diese Einstellung mit &bdquo;Store Parameters&rdquo;:}}
  
 
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 5.0 \ \rm ms$ &nbsp; wegen &nbsp; ${\rm ggt}(0.2,0.6) = 0.2$.
 
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 5.0 \ \rm ms$ &nbsp; wegen &nbsp; ${\rm ggt}(0.2,0.6) = 0.2$.
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
'''(7)''' &nbsp; Wie groß ist bei gleicher Einstellung der maximale Signalwert $x_{\rm max}\text{:}$}}
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'''(7)''' &nbsp; Wie groß ist bei gleicher Einstellung der maximale Signalwert $x_{\rm max}\text{?}$}}
 
 
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert wird mit $x_{\rm max} = 1.39 \ \rm V$ angegeben.
 
  
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$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist $x_{\rm max} =x(t_* + i \cdot T_0) = 1.39 \ \rm V$ mit $t_* = 0.3 \ \rm ms$ und $T_0 = 5.0 \ \rm ms$
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
'''(8)''' &nbsp; Wählen Sie die letzte Einstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall&rdquo; und ändern Sie $\varphi_2 = 0^\circ \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}$ Summe zweier Cosinusschwingungen:}}
+
'''(8)''' &nbsp; Wählen Sie die letzte Einstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall Parameters&rdquo; und ändern Sie $\varphi_2 = 0^\circ \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}$ Summe zweier Cosinusschwingungen:}}
  
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist nun mit $x_{\rm max} = 1.5 \ \rm V$, also gleich $A_1 + A_2$.
+
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist nun mit $x_{\rm max} =x(t_* + i \cdot T_0) = 1.5 \ \rm V$, also gleich $A_1 + A_2$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $t_* = 0$, $T_0 = 5.0 \ \rm ms$.
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
'''(9)''' &nbsp; Wählen Sie die vorletzte Einstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall&rdquo; und ändern Sie $\varphi_1 = 90^\circ \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}$ Summe zweier Sinusschwingungen:}}
+
'''(9)''' &nbsp; Wählen Sie die vorletzte Einstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall Parameters&rdquo; und ändern Sie $\varphi_1 = 90^\circ \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}$ Summe zweier Sinusschwingungen:}}
  
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist nun mit $x_{\rm max} = 1.08 \ \rm V$, also ungleich $A_1 + A_2$.
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$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist nun mit $x_{\rm max} = 1.08 \ \rm V$, also ungleich $A_1 + A_2$&nbsp; &rArr; &nbsp; $t_* = 0.6 \ \rm ms$, $T_0 = 5.0 \ \rm ms$.
  
  
  
 
==Zur Handhabung der Applet-Variante 1==
 
==Zur Handhabung der Applet-Variante 1==
[[Datei:Periodendauer_version1.png |left]]
+
[[Datei:Periodendauer_fertig_version1.png|left]]
&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe per ''Schieberegler''
+
&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe per Slider
  
 
&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Bereich der graphischen Darstellung
 
&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Bereich der graphischen Darstellung
  
&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; ''Variationsmöglichkeit'' für die  graphische Darstellung
+
&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Variationsmöglichkeit für die  graphische Darstellung
  
 
&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Abspeichern und Zurückholen von Parametersätzen
 
&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Abspeichern und Zurückholen von Parametersätzen
  
&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe des Hauptergebnisses $T_0$; graphische Verdeutlichung durch blaue Linie
+
&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe des Hauptergebnisses $T_0$; graphische Verdeutlichung durch rote Linie
  
&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Ausgabe des Maximalwertes $x_{\rm max}$ und der Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$
+
&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Ausgabe von $x_{\rm max}$ und der Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$
  
&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Darstellung der Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$ in der Grafik (''rote'' Punkte)
+
&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Darstellung der Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$ durch grüne Punkte
  
 
&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Einstellung der Zeit $t_*$ für die Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$
 
&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Einstellung der Zeit $t_*$ für die Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$
 
  
 
'''Details zum obigen Punkt (C)'''
 
'''Details zum obigen Punkt (C)'''
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&nbsp; &nbsp; '''(*)''' &nbsp; Zoom&ndash;Funktionen &bdquo;$+$&rdquo; (Vergrößern), &bdquo;$-$&rdquo; (Verkleinern) und $\rm o$ (Zurücksetzen)
 
&nbsp; &nbsp; '''(*)''' &nbsp; Zoom&ndash;Funktionen &bdquo;$+$&rdquo; (Vergrößern), &bdquo;$-$&rdquo; (Verkleinern) und $\rm o$ (Zurücksetzen)
  
&nbsp; &nbsp; '''(*)''' &nbsp; Verschiebe&ndash;Funktionen &bdquo;$\leftarrow$&rdquo; (Bildausschnitt nach links, Ordinate nach rechts) sowie &bdquo;$\uparrow$&rdquo; &bdquo;$\downarrow$&rdquo; &bdquo;$\rightarrow$&rdquo;
+
&nbsp; &nbsp; '''(*)''' &nbsp; Verschieben mit &bdquo;$\leftarrow$&rdquo; (Ausschnitt nach links, Ordinate nach rechts)&bdquo;$\uparrow$&rdquo; &bdquo;$\downarrow$&rdquo; und &bdquo;$\rightarrow$&rdquo;
  
 +
'''Andere Möglichkeiten''':
  
'''Andere Möglichkeiten''':
+
&nbsp; &nbsp; '''(*)''' &nbsp; Gedrückte Shifttaste und Scrollen: Zoomen im Koordinatensystem,
  
*Bei gedrückter Shifttaste und Scrollen kann im Koordinatensystem gezoomt werden.
+
&nbsp; &nbsp; '''(*)''' &nbsp; Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.
*Bei gedrückter Shifttaste und gedrückter linker Maustaste kann das Koordinatensystem verschoben werden.
 
 
<br clear = all>
 
<br clear = all>
  
 +
==Zur Handhabung der Applet-Variante 2==
 +
[[Datei:Periodendauer_SB_version2.png|left]]
 +
&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe
  
==Zur Handhabung der Applet-Variante 2==
+
&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Bereich der graphischen Darstellung
  
 +
&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Größe der  graphischen Darstellung
  
 +
&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Speichern/Zurückholen von Eingaben
  
 +
&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe des Hauptergebnisses $T_0$; <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; in Grafik: &nbsp; &nbsp; blaue Linien im Abstand $T_0$
  
 +
&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Eingabe $t_\star$, &nbsp; Ausgabe von $x(t_*)$ und $x_{\rm max}$
 +
<br clear = all>
  
 
==Über die Autoren==
 
==Über die Autoren==
 
Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.  
 
Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.  
 
*Die erste Version wurde 2004 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]] ).  
 
*Die erste Version wurde 2004 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]] ).  
*2017 wurde dieses Programm  von [[David Jobst]] im Rahmen seiner Ingenieurspraxis (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28am_LNT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]])  auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet &nbsp; &rArr; &nbsp; Applet-Variante 1.
+
*2017 wurde dieses Programm  von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#David_Jobst_.28Ingenieurspraxis_Math_2017.29|David Jobst]] im Rahmen seiner Ingenieurspraxis (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]])  auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet &nbsp; &rArr; &nbsp; Applet-Variante 1.
 
*Parallel dazu erarbeitete [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Bastian_Siebenwirth_.28Bachelorarbeit_LB_2017.29|Bastian Siebenwirth]] im Rahmen seiner Bachelorarbeit (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]])  die HTML5-Variante 2.
 
*Parallel dazu erarbeitete [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Bastian_Siebenwirth_.28Bachelorarbeit_LB_2017.29|Bastian Siebenwirth]] im Rahmen seiner Bachelorarbeit (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]])  die HTML5-Variante 2.
  
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Wir bieten hier zwei Applets zur gleichen Thematik mit unterschiedlichem Layout an:
 
Wir bieten hier zwei Applets zur gleichen Thematik mit unterschiedlichem Layout an:
  
{{LntAppletLink|periode|Applet-Variante 1 in neuem Tab öffnen}} &nbsp; &nbsp; {{LntAppletLink|periodeS|Applet-Variante 2 in neuem Tab öffnen}}
+
{{LntAppletLink|signalPeriod_en|Applet-Variante 1 in neuem Tab öffnen}} &nbsp; &nbsp; {{LntAppletLink|signalPeriodS_en|Applet-Variante 2 in neuem Tab öffnen}}
 
 
[[Category:Applets|^Periodendauer^]]
 

Version vom 21. September 2020, 16:52 Uhr

Wir bieten hier zwei Applets zur gleichen Thematik mit unterschiedlichem Layout an:

Applet-Variante 1 in neuem Tab öffnen     Applet-Variante 2 in neuem Tab öffnen

Programmbeschreibung


Dieses Applet zeichnet den Verlauf und berechnet die Periodendauer $T_0$ der periodischen Funktion

$$x(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)+A_2\cdot \cos\left(2\pi f_2\cdot t- \varphi_2\right).$$

Bitte beachten Sie:

  • Die Phasen $\varphi_i$ sind hier im Bogenmaß einzusetzen. Umrechnung aus dem Eingabewert:   $\varphi_i \text{[im Bogenmaß]} =\varphi_i \text{[in Grad]}/360 \cdot 2\pi$.
  • Ausgegeben werden auch der Maximalwert $x_{\rm max}$ und ein Signalwert $x(t_*)$ zu einer vorgebbaren Zeit $t_*$.
  • Das aufzurufende Applet verwendet die englischen Begriffe im Gegensatz zu dieser deutschen Beschreibung.


Die englische Beschreibung finden Sie unter Period Duration of Periodic Signals (derzeit noch nicht realisiert) .

Theoretischer Hintergrund


  • Ein periodisches Signal $x(t)$ liegt genau dann vor, wenn dieses nicht konstant ist und für alle beliebigen Werte von $t$ und alle ganzzahligen Werte von $i$ mit einem geeigneten $T_{0}$ gilt:   $x(t+i\cdot T_{0}) = x(t)$. Man bezeichnet $T_0$ als die Periodendauer und $f_0 = 1/T_0$ als die Grundfrequenz.
  • Bei einer harmonischen Schwingung $x_1(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)$ gilt $f_0 = f_1$ und $T_0 = 1/f_1$, unabhängig von der Phase $\varphi_1$ und der Amplitude $A_1 \ne 0$.


$\text{Berechnungsvorschrift:}$  Setzt sich das periodisches Signal $x(t)$ wie in diesem Applet aus zwei Anteilen $x_1(t)$ und $x_2(t)$ zusammen, dann gilt mit $A_1 \ne 0$, $f_1 \ne 0$, $A_2 \ne 0$, $f_2 \ne 0$ für Grundfrequenz und Periodendauer:

$$f_0 = {\rm ggT}(f_1, \ f_2) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}T_0 = 1/f_0,$$

wobei „ggT” den größten gemeinsamen Teiler bezeichnet.


$\text{Beispiele:}$   Im Folgenden bezeichnen $f_0'$, $f_1'$ und $f_2'$ die auf $1\ \rm kHz$ normierten Signalfrequenzen:

(a)   $f_1' = 1.0$,   $f_2' = 3.0$   ⇒   $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.0) = 1.0$   ⇒   $T_0 = 1.0\ \rm ms$;

(b)   $f_1' = 1.0$,   $f_2' = 3.5$   ⇒   $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.5)= 0.5$   ⇒   $T_0 = 2.0\ \rm ms$;

(c)   $f_1' = 1.0$,   $f_2' = 2.5$   ⇒   $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 2.5) = 0.5$   ⇒   $T_0 = 2.0\ \rm ms$;

(d)   $f_1' = 0.9$,   $f_2' = 2.5$   ⇒   $f_0' = {\rm ggt}(0.9, \ 2.5) = 0.1$   ⇒   $T_0 = 10.0 \ \rm ms$;

(e)   $f_2' = \sqrt{2} \cdot f_1' $   ⇒   $f_0' = {\rm ggt}(f_1', \ f_2') \to 0$   ⇒   $T_0 \to \infty$  ⇒   Das Signal $x(t)$ ist nicht periodisch.


$\text{Anmerkung:}$  Die Periodendauer könnte auch als kleinstes gemeinsame Vielfache (kgV) entsprechend $T_0 = {\rm kgV}(T_1, \ T_2)$ ermittelt werden:

(c)   $T_1 = 1.0\ \rm ms$,   $T_2 = 0.4\ \rm kHz$   ⇒   $T_0 = {\rm kgV}(1.0, \ 0.4) \ \rm ms = 2.0\ \rm ms$

Bei allen anderen Parameterwerten würde es aber zu numerischen Problemen kommen, zum Beispiel

(a)   $T_1 = 1.0\ \rm ms$ und $T_2 = 0.333\text{...} \ \rm ms$ besitzen aufgrund der begrenzten Darstellung reeller Zahlen kein kleinstes gemeinsames Vielfaches.

Versuchsdurchführung


Im Folgenden bezeichnen $A_1'$ und $A_2'$ die auf $1\ \rm V$ normierten Signalamplituden und $f_0'$, $f_1'$ und $f_2'$ die auf $1\ \rm kHz$ normierte Frequenzen:

(1)   nach Voreinstellung:     $A_1' = 1.0, \ A_2' = 0.5, \ f_1' = 2.0, \ A_2' = 2.5, \ \varphi_1 = 0^\circ \ \varphi_2 = 90^\circ\text{:}$

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 2.0 \ \rm ms$   wegen   ${\rm ggt}(2.0, 2.5) = 0.5$.

(2)   Variieren Sie bei der bestehenden Einstellung $\varphi_1$ und $\varphi_2$ im gesamten möglichen Bereich $\pm 180^\circ\text{:}$

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer $T_0 = 2.0 \ \rm ms$ bleibt erhalten.

(3)   Wählen Sie die Voreinstellung   ⇒   „Recall Parameters” und variieren Sie $A_1'$ im gesamten möglichen Bereich $0 \le A_1' \le 1\text{:}$

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer $T_0 = 2.0 \ \rm ms$ bleibt erhalten mit Ausnahme von $A_1' =0$. In diesem Fall ist $T_0 = 0.4 \ \rm ms$.

(4)   Wählen Sie die Voreinstellung   ⇒   „Recall Parameters” und ändern Sie $f_2' = 0.2\text{:}$

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 5.0 \ \rm ms$   wegen   ${\rm ggt}(2.0, 0.2) = 0.2$.

(5)   Wählen Sie die Voreinstellung   ⇒   „Recall Parameters” und ändern Sie $f_1' = 0.2$. Speichern Sie diese Einstellung mit „Store Parameters”:

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 10.0 \ \rm ms$   wegen   ${\rm ggt}(0.2, 2.5) = 0.1$.

(6)   Wählen Sie die letzte Einstellung   ⇒   „Recall Parameters” und ändern Sie $f_2' = 0.6$. Speichern Sie diese Einstellung mit „Store Parameters”:

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 5.0 \ \rm ms$   wegen   ${\rm ggt}(0.2,0.6) = 0.2$.

(7)   Wie groß ist bei gleicher Einstellung der maximale Signalwert $x_{\rm max}\text{?}$

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist $x_{\rm max} =x(t_* + i \cdot T_0) = 1.39 \ \rm V$ mit $t_* = 0.3 \ \rm ms$ und $T_0 = 5.0 \ \rm ms$

(8)   Wählen Sie die letzte Einstellung   ⇒   „Recall Parameters” und ändern Sie $\varphi_2 = 0^\circ \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}$ Summe zweier Cosinusschwingungen:

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist nun mit $x_{\rm max} =x(t_* + i \cdot T_0) = 1.5 \ \rm V$, also gleich $A_1 + A_2$   ⇒   $t_* = 0$, $T_0 = 5.0 \ \rm ms$.

(9)   Wählen Sie die vorletzte Einstellung   ⇒   „Recall Parameters” und ändern Sie $\varphi_1 = 90^\circ \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}$ Summe zweier Sinusschwingungen:

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist nun mit $x_{\rm max} = 1.08 \ \rm V$, also ungleich $A_1 + A_2$  ⇒   $t_* = 0.6 \ \rm ms$, $T_0 = 5.0 \ \rm ms$.


Zur Handhabung der Applet-Variante 1

Periodendauer fertig version1.png

    (A)     Parametereingabe per Slider

    (B)     Bereich der graphischen Darstellung

    (C)     Variationsmöglichkeit für die graphische Darstellung

    (D)     Abspeichern und Zurückholen von Parametersätzen

    (E)     Numerikausgabe des Hauptergebnisses $T_0$; graphische Verdeutlichung durch rote Linie

    (F)     Ausgabe von $x_{\rm max}$ und der Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$

    (G)     Darstellung der Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$ durch grüne Punkte

    (H)     Einstellung der Zeit $t_*$ für die Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$

Details zum obigen Punkt (C)

    (*)   Zoom–Funktionen „$+$” (Vergrößern), „$-$” (Verkleinern) und $\rm o$ (Zurücksetzen)

    (*)   Verschieben mit „$\leftarrow$” (Ausschnitt nach links, Ordinate nach rechts), „$\uparrow$” „$\downarrow$” und „$\rightarrow$”

Andere Möglichkeiten:

    (*)   Gedrückte Shifttaste und Scrollen: Zoomen im Koordinatensystem,

    (*)   Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.

Zur Handhabung der Applet-Variante 2

Periodendauer SB version2.png

    (A)     Parametereingabe

    (B)     Bereich der graphischen Darstellung

    (C)     Größe der graphischen Darstellung

    (D)     Speichern/Zurückholen von Eingaben

    (E)     Numerikausgabe des Hauptergebnisses $T_0$;
                      in Grafik:     blaue Linien im Abstand $T_0$

    (F)     Eingabe $t_\star$,   Ausgabe von $x(t_*)$ und $x_{\rm max}$

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

  • Die erste Version wurde 2004 von Ji Li im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder ).
  • 2017 wurde dieses Programm von David Jobst im Rahmen seiner Ingenieurspraxis (Betreuer: Tasnád Kernetzky) auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet   ⇒   Applet-Variante 1.
  • Parallel dazu erarbeitete Bastian Siebenwirth im Rahmen seiner Bachelorarbeit (Betreuer: Günter Söder) die HTML5-Variante 2.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit der Applets in neuem Fenster

Wir bieten hier zwei Applets zur gleichen Thematik mit unterschiedlichem Layout an:

Applet-Variante 1 in neuem Tab öffnen     Applet-Variante 2 in neuem Tab öffnen