Applets:Periodendauer periodischer Signale: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir bieten hier zwei Applets zur gleichen Thematik mit unterschiedlichem Layout an:
  
<p>
+
{{LntAppletLink|signalPeriod_en|Applet-Variante 1 in neuem Tab öffnen}} &nbsp; &nbsp; {{LntAppletLink|signalPeriodS_en|Applet-Variante 2 in neuem Tab öffnen}}
{{BlaueBox|TEXT=
 
<B style="font-size:18px">Funktion:</B>
 
$$x(t) = A_1\cdot cos\Big(2\pi f_1\cdot t- \frac{2\pi}{360}\cdot \phi_1\Big)+A_2\cdot cos\Big(2\pi f_2\cdot t- \frac{2\pi}{360}\cdot \phi_2\Big)$$
 
}}
 
</p>
 
  
<html>
+
==Programmbeschreibung==
<head>
+
<br>
    <meta charset="utf-8" />
+
Dieses Applet zeichnet den Verlauf und berechnet die Periodendauer $T_0$ der periodischen Funktion
    <script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/jsxgraph/0.99.6/jsxgraphcore.js"></script>
+
:$$x(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)+A_2\cdot \cos\left(2\pi f_2\cdot t- \varphi_2\right).$$
    <!-- <script type="text/javascript" src="https://www.lntwww.de/MathJax/unpacked/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML-full,local/mwMathJaxConfig"></script> -->
 
    <!-- <script type="text/javascript" src="https://cdn.rawgit.com/mathjax/MathJax/2.7.1/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML-full"></script> -->
 
<style>
 
            .wrapper1{
 
          display:grid;
 
          grid-row-gap:1em;
 
      justify-items:stretch;
 
      align-items:stretch;
 
        }
 
  
        .wrapper1 >div{
+
Bitte beachten Sie:
          padding:0em;
+
*Die Phasen $\varphi_i$ sind hier im Bogenmaß einzusetzen. Umrechnung aus dem Eingabewert: &nbsp; $\varphi_i \text{[im Bogenmaß]} =\varphi_i \text{[in Grad]}/360 \cdot 2\pi$.
 +
*Ausgegeben werden auch der Maximalwert $x_{\rm max}$ und ein Signalwert $x(t_*)$ zu einer vorgebbaren Zeit $t_*$.
 +
*Das aufzurufende Applet verwendet die englischen Begriffe im Gegensatz zu dieser deutschen Beschreibung.
  
        }
 
        .wrapper1 >div:nth-child(odd){
 
        }
 
        .wrapper2{
 
          display:grid;
 
          grid-row-gap:1em;
 
                grid-template-columns:70% 30%;
 
                justify-items:stretch;
 
                align-items:stretch;
 
  
        }
+
Die englische Beschreibung finden Sie unter [[Period Duration of Periodic Signals]] (derzeit noch nicht realisiert) .
  
        .wrapper2 >div{
+
==Theoretischer Hintergrund==
          padding:0em;
+
<br>
 +
*Ein ''periodisches Signal'' $x(t)$ liegt genau dann vor, wenn dieses nicht konstant ist und für alle beliebigen Werte von $t$ und alle ganzzahligen Werte von $i$ mit einem geeigneten $T_{0}$ gilt: &nbsp; $x(t+i\cdot T_{0}) = x(t)$. Man bezeichnet $T_0$ als die '''Periodendauer''' und  $f_0 = 1/T_0$ als die '''Grundfrequenz'''.
  
    grid-template-columns:repeat(2);}
+
*Bei einer harmonischen Schwingung $x_1(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)$ gilt $f_0 = f_1$ und $T_0 = 1/f_1$, unabhängig von der Phase $\varphi_1$ und der Amplitude $A_1 \ne 0$.
  
  
    .box4{
+
{{BlaueBox|TEXT= 
      grid-column:1/3;
+
$\text{Berechnungsvorschrift:}$&nbsp; Setzt sich das periodisches Signal $x(t)$ wie in diesem Applet aus zwei Anteilen $x_1(t)$ und  $x_2(t)$ zusammen, dann gilt mit $A_1 \ne 0$, $f_1 \ne 0$, $A_2 \ne 0$, $f_2 \ne 0$ für Grundfrequenz und Periodendauer:
      grid-row:4/4;
 
      border: 1px solid black;
 
    }
 
    .box5{
 
      grid-column:2/3;
 
      grid-row:4/4;
 
      border: 1px solid black;
 
    }
 
  
    .button {
+
:$$f_0 = {\rm ggT}(f_1, \ f_2) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}T_0 = 1/f_0,$$
        background-color: black;
+
wobei &bdquo;ggT&rdquo; den ''größten gemeinsamen Teiler'' bezeichnet.}}
        border: none;
 
        color: white;
 
        font-family: arial;
 
        padding: 8px 20px;
 
        text-align: center;
 
        text-decoration: none;
 
        display: inline-block;
 
        font-size: 16px;
 
        border-radius: 15px;
 
    }
 
    .button:active {
 
        background-color: #939393;
 
    }
 
  </style>
 
</head>
 
  
<body onload="drawNow()">
 
<!-- Resetbutton, Checkbox und Formel -->
 
  
<div class="wrapper1">
+
{{GraueBox|TEXT=
<div id="cnfBoxHtml" class="jxgbox" style="width:600px; height:150px; "></div>
+
$\text{Beispiele:}$ &nbsp; Im Folgenden bezeichnen $f_0'$, $f_1'$ und $f_2'$ die auf $1\ \rm kHz$ normierten Signalfrequenzen:  
<div id="pltBoxHtml" class="jxgbox" style="width:600px; height:600px; border:1px solid black;"></div>
 
</div>
 
  
<!-- Ausgabefelder -->
+
'''(a)''' &nbsp; $f_1' = 1.0$, &nbsp; $f_2' = 3.0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.0) = 1.0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 =  1.0\ \rm ms$;
  
<div class="wrapper2">
+
'''(b)''' &nbsp; $f_1' = 1.0$, &nbsp; $f_2' = 3.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.5)= 0.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 =  2.0\ \rm ms$;
  
  <div>
+
'''(c)''' &nbsp; $f_1' = 1.0$, &nbsp; $f_2' = 2.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 2.5) = 0.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 =  2.0\ \rm ms$;
<table>
 
    <tr>
 
        <td>$x(t)$= <span id="x(t)"></span>  $\quad$ </td>
 
        <td>$x(t+ T_0)$= <span id="x(t+T_0)"></span>  $\quad$ </td>
 
        <td>$x(t+2T_0)$= <span id="x(t+2T_0)"></span>  $\quad$ </td>
 
        <td>$x_{\text{max}}$= <span id="x_max"></span>  $\quad$ </td>
 
        <td style="color:blue;">$T_0$= <span id="T_0"></span> $\quad$ </td>
 
    </tr>
 
</table>
 
</div>
 
  
  <div>
+
'''(d)''' &nbsp; $f_1' = 0.9$, &nbsp; $f_2' = 2.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(0.9, \ 2.5) = 0.1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 =  10.0 \ \rm ms$;
  
<p>
+
'''(e)''' &nbsp; $f_2' = \sqrt{2} \cdot f_1' $ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_0' = {\rm ggt}(f_1', \ f_2') \to 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 \to \infty$&nbsp; &rArr; &nbsp; Das Signal $x(t)$ ist nicht periodisch.}}
    <input type="checkbox" id="gridbox" onclick="showgrid();" checked> <label for="gridbox">Gitterlinien zeigen</label>
 
    <button class="button" onclick="drawNow();">Reset</button>
 
</p>
 
  
</div>
 
</div>
 
  
 +
$\text{Anmerkung:}$&nbsp; Die Periodendauer könnte auch als ''kleinstes gemeinsame Vielfache'' (kgV) entsprechend $T_0 = {\rm kgV}(T_1, \ T_2)$ ermittelt werden:
  
<script type="text/javascript">
+
'''(c)''' &nbsp; $T_1 = 1.0\ \rm ms$, &nbsp; $T_2 = 0.4\ \rm kHz$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_0 = {\rm kgV}(1.0, \ 0.4) \ \rm ms = 2.0\ \rm ms$
function drawNow() {
 
        // Grundeinstellungen der beiden Applets
 
        JXG.Options.text.useMathJax = true;
 
        cnfBox = JXG.JSXGraph.initBoard('cnfBoxHtml', {
 
            showCopyright: false, showNavigation: false, axis: false,
 
            grid: false, zoom: { enabled: false }, pan: { enabled: false },
 
            boundingbox: [-1, 2.2, 12.4, -2.2]
 
        });
 
        pltBox = JXG.JSXGraph.initBoard('pltBoxHtml', {
 
            showCopyright: false, axis: false,
 
            zoom: { factorX: 1.1, factorY: 1.1, wheel: true, needshift: true, eps: 0.1 },
 
            grid: false, boundingbox: [-0.5, 2.2, 12.4, -2.2]
 
        });
 
        cnfBox.addChild(pltBox);
 
        // Einstellungen der Achsen
 
        xaxis = pltBox.create('axis', [[0, 0], [1, 0]], {
 
            name: '$\\dfrac{t}{T}$',
 
            withLabel: true, label: { position: 'rt', offset: [-25, -10] }
 
        });
 
        yaxis = pltBox.create('axis', [[0, 0], [0, 1]], {
 
            name: '$x(t)$',
 
            withLabel: true, label: { position: 'rt', offset: [10, -5] }
 
        });
 
        // Erstellen der Schieberegler
 
        sldA1 = cnfBox.create('slider', [ [-0.7, 1.5], [3, 1.5], [0, 0.5, 1] ], {
 
            suffixlabel: '$A_1=$',
 
            unitLabel: 'V', snapWidth: 0.01
 
            }),
 
        sldF1 = cnfBox.create('slider', [ [-0.7, 0.5], [3, 0.5], [0, 1, 10] ], {
 
            suffixlabel: '$f_1=$',
 
            unitLabel: 'kHz', snapWidth: 0.1
 
        }),
 
        sldPHI1 = cnfBox.create('slider', [ [-0.7, -0.5], [3, -0.5], [-180, 0, 180] ], {
 
            suffixlabel: '$\\phi_1=$',
 
            unitLabel: 'Grad', snapWidth: 5
 
        }),
 
        sldA2 = cnfBox.create('slider', [ [6, 1.5], [9.7, 1.5], [0, 0.5, 1] ], {
 
            suffixlabel: '$A_2=$',
 
            unitLabel: 'V', snapWidth: 0.01
 
        }),
 
        sldF2 = cnfBox.create('slider', [ [6, 0.5], [9.7, 0.5], [0, 2, 10] ], {
 
            suffixlabel: '$f_2=$',
 
            unitLabel: 'kHz', snapWidth: 0.1
 
        }),
 
        sldPHI2 = cnfBox.create('slider', [ [6, -0.5], [9.7, -0.5], [-180, 90, 180] ], {
 
            suffixlabel: '$\\phi_2=$',
 
            unitLabel: 'Grad', snapWidth: 5
 
        }),
 
        sldT = cnfBox.create('slider', [ [-0.7, -1.5], [3, -1.5], [0, 0, 10] ], {
 
            suffixlabel: '$t=$',
 
            unitLabel: 's', snapWidth: 0.2
 
        }),
 
        // Definition der Funktion
 
        signaldarstellung = pltBox.create('functiongraph', [function(x) {
 
            return (sldA1.Value() * Math.cos(2 * Math.PI * sldF1.Value() * x - 2 * Math.PI * sldPHI1.Value() / 360) + sldA2.Value() * Math.cos(2 * Math.PI * sldF2.Value() * x - 2 * Math.PI * sldPHI2.Value() / 360))
 
        }], {
 
            strokeColor: "red"
 
        });
 
        // Definition des Punktes p_T0, des Hilfspunktes p_T0h und der Geraden l_T0 für Periodendauer T_0
 
        p_T0 = pltBox.create('point', [
 
            function() {
 
                return (Math.round(getT0() * 100) / 100);
 
            },
 
            function() {
 
                return sldA1.Value() * Math.cos(2 * Math.PI * sldF1.Value() * (Math.round(getT0() * 100) / 100) - 2 * Math.PI * sldPHI1.Value() / 360) +
 
                    sldA2.Value() * Math.cos(2 * Math.PI * sldF2.Value() * (Math.round(getT0() * 100) / 100) - 2 * Math.PI * sldPHI2.Value() / 360);
 
            }],
 
            { color: "blue", fixed: true, label: false, size: 1, name: '' }
 
        );
 
        p_T0h = pltBox.create('point',
 
            [function() { return (Math.round(getT0() * 100) / 100); }, 2],
 
            { visible: false, color: "blue", fixed: true, label: false, size: 1, name: '' }
 
        );
 
        l_T0 = pltBox.create('line', [p_T0, p_T0h])
 
        // Bestimmung des Wertes T_0 mit der Funktion von Siebenwirth
 
        setInterval(function() {
 
            document.getElementById("T_0").innerHTML = Math.round(getT0() * 100) / 100;
 
          }, 50);
 
        function isInt(n) {
 
            return n % 1 === 0;
 
        }
 
        function getT0() {
 
            var A, B, C, Q;
 
            if (sldF1.Value() < sldF2.Value()) {
 
                A = sldF1.Value();
 
                B = sldF2.Value();
 
            } else {
 
                B = sldF1.Value();
 
                A = sldF2.Value();
 
            }
 
            // console.log('Berechne T0 mit A=' + A, 'B=' + B);
 
            for (var x = 1; x <= 100; x++) {
 
                C = A / x;
 
                Q = B / C;
 
                // console.log(x + '. Durchgang: C = ' + C, 'Q = ' + Q);
 
                if (isInt(Q)) {
 
                    // console.log('Q ist eine Ganzzahl!!! T0 ist damit ', 1 / C);
 
                    return 1 / C;
 
                }
 
                if (x === 10) {
 
                    return 10;
 
                }
 
                if ((1 / C) > 10)
 
                    return 10
 
            }
 
        }
 
        // Ausgabe des Wertes x(t)
 
        setInterval(function() {
 
            document.getElementById("x(t)").innerHTML = Math.round((sldA1.Value() * Math.cos(2 * Math.PI * sldF1.Value() * sldT.Value() - 2 * Math.PI * sldPHI1.Value() / 360) + sldA2.Value() * Math.cos(2 * Math.PI * sldF2.Value() * sldT.Value() - 2 * Math.PI * sldPHI2.Value() /
 
                360)) * 1000) / 1000;
 
        }, 50);
 
        // Ausgabe des Wertes x(t+T_0)
 
        setInterval(function() {
 
            document.getElementById("x(t+T_0)").innerHTML = Math.round((sldA1.Value() * Math.cos(2 * Math.PI * sldF1.Value() * (sldT.Value() + Math.round(getT0() * 1000) / 1000) - sldPHI1.Value()) + sldA2.Value() * Math.cos(2 * Math.PI * sldF2.Value() * (sldT.Value() +
 
                Math.round(getT0() * 1000) / 1000) - sldPHI2.Value())) * 1000) / 1000;
 
        }, 50);
 
        // Ausgabe des Wertes x(t+2T_0)
 
        setInterval(function() {
 
            document.getElementById("x(t+2T_0)").innerHTML = Math.round((sldA1.Value() * Math.cos(2 * Math.PI * sldF1.Value() * (sldT.Value() + 2 * Math.round(getT0() * 1000) / 1000) - sldPHI1.Value()) + sldA2.Value() * Math.cos(2 * Math.PI * sldF2.Value() * (sldT.Value() +
 
                2 * Math.round(getT0() * 1000) / 1000) - sldPHI2.Value())) * 1000) / 1000;
 
        }, 50);
 
        // Ausgabe des Wertes x_max
 
        setInterval(function() {
 
            var x = new Array(50000);
 
            for (var i = 0; i < 50001; i++) {
 
                x[i] = Math.round((sldA1.Value() * Math.cos(2 * Math.PI * sldF1.Value() * (i / 1000) - 2 * Math.PI * sldPHI1.Value() / 360) + sldA2.Value() * Math.cos(2 * Math.PI * sldF2.Value() * (i / 1000) - 2 * Math.PI * sldPHI2.Value() / 360)) * 1000) / 1000;
 
            }
 
            document.getElementById("x_max").innerHTML = Math.max.apply(Math, x);
 
        }, 50);
 
    };
 
    // Definition der Funktion zum An- und Ausschalten des Koordinatengitters
 
    function showgrid() {
 
        if (gridbox.checked) {
 
            xaxis = pltBox.create('axis', [ [0, 0], [1, 0] ], {});
 
            yaxis = pltBox.create('axis', [ [0, 0], [0, 1] ], {});
 
        } else {
 
            xaxis.removeTicks(xaxis.defaultTicks);
 
            yaxis.removeTicks(yaxis.defaultTicks);
 
        }
 
        pltBox.fullUpdate();
 
    };
 
</script>
 
</body>
 
</html>
 
  
{{Display}}
+
Bei allen anderen Parameterwerten würde es aber zu numerischen Problemen kommen, zum Beispiel
 +
 
 +
'''(a)''' &nbsp; $T_1 = 1.0\ \rm ms$ und $T_2 = 0.333\text{...} \ \rm ms$ besitzen aufgrund der begrenzten Darstellung reeller Zahlen kein kleinstes gemeinsames Vielfaches.
 +
 
 +
==Versuchsdurchführung==
 +
<br>
 +
Im Folgenden bezeichnen $A_1'$ und $A_2'$ die auf $1\ \rm V$ normierten  Signalamplituden und $f_0'$, $f_1'$ und $f_2'$ die auf $1\ \rm kHz$ normierte Frequenzen:
 +
 +
{{BlaueBox|TEXT= 
 +
'''(1)''' &nbsp; nach Voreinstellung: &nbsp; &nbsp; $A_1' = 1.0, \ A_2' = 0.5, \ f_1' = 2.0, \ A_2' = 2.5, \ \varphi_1 = 0^\circ \ \varphi_2 = 90^\circ\text{:}$}}
 +
 
 +
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 2.0 \ \rm ms$ &nbsp; wegen &nbsp; ${\rm ggt}(2.0, 2.5) = 0.5$.
 +
 
 +
{{BlaueBox|TEXT= 
 +
'''(2)''' &nbsp; Variieren Sie bei der bestehenden Einstellung $\varphi_1$ und $\varphi_2$ im gesamten möglichen Bereich $\pm 180^\circ\text{:}$}}
 +
 
 +
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer $T_0 = 2.0 \ \rm ms$ bleibt erhalten.
 +
 
 +
{{BlaueBox|TEXT= 
 +
'''(3)''' &nbsp; Wählen Sie die Voreinstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall Parameters&rdquo;  und variieren Sie $A_1'$ im gesamten möglichen Bereich $0 \le A_1' \le 1\text{:}$}}
 +
 
 +
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer $T_0 = 2.0 \ \rm ms$ bleibt erhalten mit Ausnahme von $A_1' =0$. In diesem Fall ist $T_0 = 0.4 \ \rm ms$.
 +
 
 +
{{BlaueBox|TEXT= 
 +
'''(4)''' &nbsp; Wählen Sie die Voreinstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall Parameters&rdquo; und ändern Sie $f_2' = 0.2\text{:}$}}
 +
 
 +
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 5.0 \ \rm ms$ &nbsp; wegen &nbsp; ${\rm ggt}(2.0, 0.2) = 0.2$.
 +
 
 +
{{BlaueBox|TEXT= 
 +
'''(5)''' &nbsp; Wählen Sie die Voreinstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall  Parameters&rdquo; und ändern Sie $f_1' = 0.2$. Speichern Sie diese Einstellung mit &bdquo;Store  Parameters&rdquo;:}}
 +
 
 +
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 10.0 \ \rm ms$ &nbsp; wegen &nbsp; ${\rm ggt}(0.2, 2.5) = 0.1$.
 +
 
 +
{{BlaueBox|TEXT= 
 +
'''(6)''' &nbsp; Wählen Sie die letzte Einstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall Parameters&rdquo; und ändern Sie $f_2' = 0.6$. Speichern Sie diese Einstellung mit &bdquo;Store Parameters&rdquo;:}}
 +
 
 +
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 5.0 \ \rm ms$ &nbsp; wegen &nbsp; ${\rm ggt}(0.2,0.6) = 0.2$.
 +
 
 +
{{BlaueBox|TEXT= 
 +
'''(7)''' &nbsp; Wie groß ist bei gleicher Einstellung der maximale Signalwert $x_{\rm max}\text{?}$}}
 +
 
 +
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist $x_{\rm max} =x(t_* + i \cdot T_0) = 1.39 \ \rm V$ mit $t_* = 0.3 \ \rm ms$ und $T_0 = 5.0 \ \rm ms$
 +
{{BlaueBox|TEXT= 
 +
'''(8)''' &nbsp; Wählen Sie die letzte Einstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall  Parameters&rdquo; und ändern Sie $\varphi_2 = 0^\circ \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}$ Summe zweier Cosinusschwingungen:}}
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$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist nun mit $x_{\rm max}  =x(t_* + i \cdot T_0) = 1.5 \ \rm V$, also gleich $A_1 + A_2$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $t_* = 0$, $T_0 = 5.0 \ \rm ms$.
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{{BlaueBox|TEXT= 
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'''(9)''' &nbsp; Wählen Sie die vorletzte Einstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Recall  Parameters&rdquo; und ändern Sie $\varphi_1 = 90^\circ \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}$ Summe zweier Sinusschwingungen:}}
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$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist nun mit $x_{\rm max} = 1.08 \ \rm V$, also ungleich $A_1 + A_2$&nbsp; &rArr; &nbsp; $t_* = 0.6 \ \rm ms$, $T_0 = 5.0 \ \rm ms$.
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==Zur Handhabung der Applet-Variante 1==
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[[Datei:Periodendauer_fertig_version1.png|left]]
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&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe per Slider
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&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Bereich der graphischen Darstellung
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&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Variationsmöglichkeit für die  graphische Darstellung
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&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Abspeichern und Zurückholen von Parametersätzen
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&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe des Hauptergebnisses $T_0$; graphische Verdeutlichung durch rote Linie
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&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Ausgabe von $x_{\rm max}$ und der Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$
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&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Darstellung der Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$ durch grüne Punkte
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&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Einstellung der Zeit $t_*$ für die Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$
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'''Details zum obigen Punkt (C)'''
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&nbsp; &nbsp; '''(*)''' &nbsp; Zoom&ndash;Funktionen &bdquo;$+$&rdquo; (Vergrößern), &bdquo;$-$&rdquo; (Verkleinern) und $\rm o$ (Zurücksetzen)
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&nbsp; &nbsp; '''(*)''' &nbsp; Verschieben mit &bdquo;$\leftarrow$&rdquo; (Ausschnitt nach links, Ordinate nach rechts),  &bdquo;$\uparrow$&rdquo; &bdquo;$\downarrow$&rdquo; und &bdquo;$\rightarrow$&rdquo;
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'''Andere Möglichkeiten''':
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&nbsp; &nbsp; '''(*)''' &nbsp; Gedrückte Shifttaste und Scrollen:  Zoomen im Koordinatensystem,
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&nbsp; &nbsp; '''(*)''' &nbsp; Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.
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<br clear = all>
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==Zur Handhabung der Applet-Variante 2==
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[[Datei:Periodendauer_SB_version2.png|left]]
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&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe
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&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Bereich der graphischen Darstellung
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&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Größe der  graphischen Darstellung
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&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Speichern/Zurückholen von Eingaben
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&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe des Hauptergebnisses $T_0$; <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; in Grafik: &nbsp; &nbsp; blaue Linien im Abstand $T_0$
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&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Eingabe $t_\star$, &nbsp; Ausgabe von $x(t_*)$ und $x_{\rm max}$
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<br clear = all>
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==Über die Autoren==
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Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
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*Die erste Version wurde 2004 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]] ).
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*2017 wurde dieses Programm  von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#David_Jobst_.28Ingenieurspraxis_Math_2017.29|David Jobst]] im Rahmen seiner Ingenieurspraxis (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]])  auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet &nbsp; &rArr; &nbsp; Applet-Variante 1.
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*Parallel dazu erarbeitete [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Bastian_Siebenwirth_.28Bachelorarbeit_LB_2017.29|Bastian Siebenwirth]] im Rahmen seiner Bachelorarbeit (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]])  die HTML5-Variante 2.
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==Nochmalige Aufrufmöglichkeit der Applets in neuem Fenster==
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Wir bieten hier zwei Applets zur gleichen Thematik mit unterschiedlichem Layout an:
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{{LntAppletLink|signalPeriod_en|Applet-Variante 1 in neuem Tab öffnen}} &nbsp; &nbsp; {{LntAppletLink|signalPeriodS_en|Applet-Variante 2 in neuem Tab öffnen}}

Version vom 21. September 2020, 16:52 Uhr

Wir bieten hier zwei Applets zur gleichen Thematik mit unterschiedlichem Layout an:

Applet-Variante 1 in neuem Tab öffnen     Applet-Variante 2 in neuem Tab öffnen

Programmbeschreibung


Dieses Applet zeichnet den Verlauf und berechnet die Periodendauer $T_0$ der periodischen Funktion

$$x(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)+A_2\cdot \cos\left(2\pi f_2\cdot t- \varphi_2\right).$$

Bitte beachten Sie:

  • Die Phasen $\varphi_i$ sind hier im Bogenmaß einzusetzen. Umrechnung aus dem Eingabewert:   $\varphi_i \text{[im Bogenmaß]} =\varphi_i \text{[in Grad]}/360 \cdot 2\pi$.
  • Ausgegeben werden auch der Maximalwert $x_{\rm max}$ und ein Signalwert $x(t_*)$ zu einer vorgebbaren Zeit $t_*$.
  • Das aufzurufende Applet verwendet die englischen Begriffe im Gegensatz zu dieser deutschen Beschreibung.


Die englische Beschreibung finden Sie unter Period Duration of Periodic Signals (derzeit noch nicht realisiert) .

Theoretischer Hintergrund


  • Ein periodisches Signal $x(t)$ liegt genau dann vor, wenn dieses nicht konstant ist und für alle beliebigen Werte von $t$ und alle ganzzahligen Werte von $i$ mit einem geeigneten $T_{0}$ gilt:   $x(t+i\cdot T_{0}) = x(t)$. Man bezeichnet $T_0$ als die Periodendauer und $f_0 = 1/T_0$ als die Grundfrequenz.
  • Bei einer harmonischen Schwingung $x_1(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)$ gilt $f_0 = f_1$ und $T_0 = 1/f_1$, unabhängig von der Phase $\varphi_1$ und der Amplitude $A_1 \ne 0$.


$\text{Berechnungsvorschrift:}$  Setzt sich das periodisches Signal $x(t)$ wie in diesem Applet aus zwei Anteilen $x_1(t)$ und $x_2(t)$ zusammen, dann gilt mit $A_1 \ne 0$, $f_1 \ne 0$, $A_2 \ne 0$, $f_2 \ne 0$ für Grundfrequenz und Periodendauer:

$$f_0 = {\rm ggT}(f_1, \ f_2) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}T_0 = 1/f_0,$$

wobei „ggT” den größten gemeinsamen Teiler bezeichnet.


$\text{Beispiele:}$   Im Folgenden bezeichnen $f_0'$, $f_1'$ und $f_2'$ die auf $1\ \rm kHz$ normierten Signalfrequenzen:

(a)   $f_1' = 1.0$,   $f_2' = 3.0$   ⇒   $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.0) = 1.0$   ⇒   $T_0 = 1.0\ \rm ms$;

(b)   $f_1' = 1.0$,   $f_2' = 3.5$   ⇒   $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.5)= 0.5$   ⇒   $T_0 = 2.0\ \rm ms$;

(c)   $f_1' = 1.0$,   $f_2' = 2.5$   ⇒   $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 2.5) = 0.5$   ⇒   $T_0 = 2.0\ \rm ms$;

(d)   $f_1' = 0.9$,   $f_2' = 2.5$   ⇒   $f_0' = {\rm ggt}(0.9, \ 2.5) = 0.1$   ⇒   $T_0 = 10.0 \ \rm ms$;

(e)   $f_2' = \sqrt{2} \cdot f_1' $   ⇒   $f_0' = {\rm ggt}(f_1', \ f_2') \to 0$   ⇒   $T_0 \to \infty$  ⇒   Das Signal $x(t)$ ist nicht periodisch.


$\text{Anmerkung:}$  Die Periodendauer könnte auch als kleinstes gemeinsame Vielfache (kgV) entsprechend $T_0 = {\rm kgV}(T_1, \ T_2)$ ermittelt werden:

(c)   $T_1 = 1.0\ \rm ms$,   $T_2 = 0.4\ \rm kHz$   ⇒   $T_0 = {\rm kgV}(1.0, \ 0.4) \ \rm ms = 2.0\ \rm ms$

Bei allen anderen Parameterwerten würde es aber zu numerischen Problemen kommen, zum Beispiel

(a)   $T_1 = 1.0\ \rm ms$ und $T_2 = 0.333\text{...} \ \rm ms$ besitzen aufgrund der begrenzten Darstellung reeller Zahlen kein kleinstes gemeinsames Vielfaches.

Versuchsdurchführung


Im Folgenden bezeichnen $A_1'$ und $A_2'$ die auf $1\ \rm V$ normierten Signalamplituden und $f_0'$, $f_1'$ und $f_2'$ die auf $1\ \rm kHz$ normierte Frequenzen:

(1)   nach Voreinstellung:     $A_1' = 1.0, \ A_2' = 0.5, \ f_1' = 2.0, \ A_2' = 2.5, \ \varphi_1 = 0^\circ \ \varphi_2 = 90^\circ\text{:}$

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 2.0 \ \rm ms$   wegen   ${\rm ggt}(2.0, 2.5) = 0.5$.

(2)   Variieren Sie bei der bestehenden Einstellung $\varphi_1$ und $\varphi_2$ im gesamten möglichen Bereich $\pm 180^\circ\text{:}$

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer $T_0 = 2.0 \ \rm ms$ bleibt erhalten.

(3)   Wählen Sie die Voreinstellung   ⇒   „Recall Parameters” und variieren Sie $A_1'$ im gesamten möglichen Bereich $0 \le A_1' \le 1\text{:}$

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer $T_0 = 2.0 \ \rm ms$ bleibt erhalten mit Ausnahme von $A_1' =0$. In diesem Fall ist $T_0 = 0.4 \ \rm ms$.

(4)   Wählen Sie die Voreinstellung   ⇒   „Recall Parameters” und ändern Sie $f_2' = 0.2\text{:}$

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 5.0 \ \rm ms$   wegen   ${\rm ggt}(2.0, 0.2) = 0.2$.

(5)   Wählen Sie die Voreinstellung   ⇒   „Recall Parameters” und ändern Sie $f_1' = 0.2$. Speichern Sie diese Einstellung mit „Store Parameters”:

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 10.0 \ \rm ms$   wegen   ${\rm ggt}(0.2, 2.5) = 0.1$.

(6)   Wählen Sie die letzte Einstellung   ⇒   „Recall Parameters” und ändern Sie $f_2' = 0.6$. Speichern Sie diese Einstellung mit „Store Parameters”:

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist $T_0 = 5.0 \ \rm ms$   wegen   ${\rm ggt}(0.2,0.6) = 0.2$.

(7)   Wie groß ist bei gleicher Einstellung der maximale Signalwert $x_{\rm max}\text{?}$

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist $x_{\rm max} =x(t_* + i \cdot T_0) = 1.39 \ \rm V$ mit $t_* = 0.3 \ \rm ms$ und $T_0 = 5.0 \ \rm ms$

(8)   Wählen Sie die letzte Einstellung   ⇒   „Recall Parameters” und ändern Sie $\varphi_2 = 0^\circ \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}$ Summe zweier Cosinusschwingungen:

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist nun mit $x_{\rm max} =x(t_* + i \cdot T_0) = 1.5 \ \rm V$, also gleich $A_1 + A_2$   ⇒   $t_* = 0$, $T_0 = 5.0 \ \rm ms$.

(9)   Wählen Sie die vorletzte Einstellung   ⇒   „Recall Parameters” und ändern Sie $\varphi_1 = 90^\circ \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}$ Summe zweier Sinusschwingungen:

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist nun mit $x_{\rm max} = 1.08 \ \rm V$, also ungleich $A_1 + A_2$  ⇒   $t_* = 0.6 \ \rm ms$, $T_0 = 5.0 \ \rm ms$.


Zur Handhabung der Applet-Variante 1

Periodendauer fertig version1.png

    (A)     Parametereingabe per Slider

    (B)     Bereich der graphischen Darstellung

    (C)     Variationsmöglichkeit für die graphische Darstellung

    (D)     Abspeichern und Zurückholen von Parametersätzen

    (E)     Numerikausgabe des Hauptergebnisses $T_0$; graphische Verdeutlichung durch rote Linie

    (F)     Ausgabe von $x_{\rm max}$ und der Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$

    (G)     Darstellung der Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$ durch grüne Punkte

    (H)     Einstellung der Zeit $t_*$ für die Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$

Details zum obigen Punkt (C)

    (*)   Zoom–Funktionen „$+$” (Vergrößern), „$-$” (Verkleinern) und $\rm o$ (Zurücksetzen)

    (*)   Verschieben mit „$\leftarrow$” (Ausschnitt nach links, Ordinate nach rechts), „$\uparrow$” „$\downarrow$” und „$\rightarrow$”

Andere Möglichkeiten:

    (*)   Gedrückte Shifttaste und Scrollen: Zoomen im Koordinatensystem,

    (*)   Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.

Zur Handhabung der Applet-Variante 2

Periodendauer SB version2.png

    (A)     Parametereingabe

    (B)     Bereich der graphischen Darstellung

    (C)     Größe der graphischen Darstellung

    (D)     Speichern/Zurückholen von Eingaben

    (E)     Numerikausgabe des Hauptergebnisses $T_0$;
                      in Grafik:     blaue Linien im Abstand $T_0$

    (F)     Eingabe $t_\star$,   Ausgabe von $x(t_*)$ und $x_{\rm max}$

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

  • Die erste Version wurde 2004 von Ji Li im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder ).
  • 2017 wurde dieses Programm von David Jobst im Rahmen seiner Ingenieurspraxis (Betreuer: Tasnád Kernetzky) auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet   ⇒   Applet-Variante 1.
  • Parallel dazu erarbeitete Bastian Siebenwirth im Rahmen seiner Bachelorarbeit (Betreuer: Günter Söder) die HTML5-Variante 2.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit der Applets in neuem Fenster

Wir bieten hier zwei Applets zur gleichen Thematik mit unterschiedlichem Layout an:

Applet-Variante 1 in neuem Tab öffnen     Applet-Variante 2 in neuem Tab öffnen