Impulse und Spektren

Zeitfunktion und zugehörige Spektralfunktion

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Theoretischer Hintergrund

• Der Zusammenhang zwischen Zeitfunktion $x(t)$ und dem Spektrum $X(f)$ ist durch die Fouriertransformation (FT) $$X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot e^{-j2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}t$$ und deren Inversen (IFT) $$x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot e^{j2\pi f t} \hspace{0.15cm} {\rm d}f$$ gegeben.
• In allen Beispielen verwenden wir reelle und gerade Funktionen. Somit gilt:

$$X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}t$$ und $$x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}f.$$

• $x(t)$ und $X(f)$ haben unterschiedliche Einheiten, z. B. $x(t)$ in V, $X(f)$ in V/Hz.
• Alle Zeiten sind auf eine Normierungszeit $T$ und alle Frequenzen auf $1/T \Rightarrow$ das Spektrum $X(f)$ muss noch mit $T$ multipliziert werden.
• Der Zusammenhang zwischen Impulse und deren Spektren und der ähnlich aufgebauten Animation „Tiefpass“ basiert auf dem Vertauschungssatz.

Gaußimpuls

• Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Dauer $\Delta t$ lautet:

$$x(t)=K\cdot e^{-\pi\cdot(t/\Delta t)^2}.$$

• Die äquivalente Zeitdauer $\Delta t$ ergibt sich aus dem flächengleichen Rechteck.
• Der Wert bei t=$\Delta t/2$ ist um den Faktor 0.456 kleiner als der Wert bei $t=0$.
• Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:

$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot e^{-\pi(f\cdot \Delta t)^2} .$$

• Je kleiner die äquivalente Zeitdauer $\Delta t$ ist, um so breiter und niedriger ist das Spektrum (Reziprozitätsgesetz von Bandbreite und Impulsdauer).
• Sowohl $x(t)$ als auch $X(f)$ sind zu keinem $ f$- bzw. $t$-Wert exakt gleich Null.
• Praktisch ist der Gaußimpuls in Zeit und Frequenz begrenzt. Zum Beispiel ist $x(t)$ bereits bei $t=1.5 \Delta \cdot t$ auf $1\% $ des Maximums abgefallen.

Rechteckimpuls

• Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Dauer $\Delta t$ lautet:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K \\ K /2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < T/2,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| = T/2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| > T/2.} \\ \end{array}$$

• Der $\pm \Delta t/2$ - Wert liegt mittig zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert.
• Für die Spektralfunktion erhält man entsprechend den Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation (1. Fourierintegral):

$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot si(\pi\cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \ si(x)=\frac{sin(x)}{x}.$$

• Der Spektralwert bei $f=0$ ist gleich der Rechteckfläche der Zeitfunktion.
• Die Spektralfunktion besitzt Nullstellen in äquidistanten Abständen $1/\Delta t$.
• Das Integral über der Spektralfunktion $X(f)$ ist gleich dem Signalwert zum Zeitpunkt $t=0$, also der Impulsamplitude $K$.

Dreieckimpuls

• Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Dauer $\Delta t$ lautet:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K\cdot \Big(1-\frac{|t|}{\Delta t}\Big) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \ge \Delta t.} \\ \end{array}$$

• Die absolute Zeitdauer ist $2 \cdot \Delta t$, d.h. doppelt so groß als die des Rechtecks.
• Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:

$$X(f)=K\cdot \Delta f \cdot si^2(\pi\cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \ si(x)=\frac{sin(x)}{x}.$$

• Obige Zeitfunktion ist gleich der Faltung zweier Rechteckimpulse, jeweils mit Breite $\Delta t \Rightarrow X(f)$ beinhaltet anstelle der $si$-Funktion die $si^2$-Funktion.
• $X(f)$ weist somit ebenfalls Nullstellen im äquidistanten Abständen $1/\Delta f$ auf.
• Der asymptotische Abfall von $X(f)$ erfolgt hier mit $1/f^2$, während zum Vergleich der Rechteckimpuls mit $1/f$ abfällt.

Trapezimpuls

Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und den Zeitparametern $t_1$ und $t_2$ lautet:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K \\ K\cdot \frac{t_2-|t|}{t_2-t_1} \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| \le t_1,} \\ {t_1\le \left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \le t_2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| \ge t_2.} \\ \end{array}$$

• Für die äquivalente Zeitdauer (flächengleiches Rechteck) gilt: $\Delta t = t_1+t_2$.
• Der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit:

$$r=\frac{t_2-t_1}{t_2+t_1}.$$

• Sonderfall $r=0$: Rechteckimpuls. Sonderfall $r=1$: Dreieckimpuls.
• Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:

$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot si(\pi\cdot \Delta t \cdot f)\cdot si(\pi \cdot r \cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \ si(x)=\frac{sin(x)}{x}.$$

• Der asymptotische Abfall von $X(f)$ liegt zwischen $1/f$ (für Rechteck, $r=0$) und $1/f^2$ (für Dreieck, $r=1$).

Cosinus-Rolloff-Impuls

Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und den Zeitparametern $t_1$ und $t_2$ lautet:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K \\ K\cdot \cos^2\Big(\frac{|t|-t_1}{t_2-t_1}\cdot \frac{\pi}{2}\Big) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| \le t_1,} \\ {t_1\le \left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \le t_2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| \ge t_2.} \\ \end{array}$$

• Für die äquivalente Zeitdauer (flächengleiches Rechteck) gilt: $\Delta t = t_1+t_2$.
• Der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit:

$$r=\frac{t_2-t_1}{t_2+t_1}.$$

• Sonderfall $r=0$: Rechteckimpuls. Sonderfall $r=1$: Cosinus$^2$-Impuls.
• Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:

$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot \frac{\cos(\pi \cdot r\cdot \Delta t \cdot f)}{1-(2\cdot r\cdot \Delta t \cdot f)^2} \cdot si(\pi \cdot \Delta t \cdot f).$$

• Je größer der Rolloff-Faktor $r$ ist, desto schneller nimmt $X(f)$ asymptotisch mit $f$ ab.

Cosinus-Quadrat-Impuls

• Dies ist ein Sonderfall des Cosinus-Rolloff-Impuls und ergibt sich für $r=1 \ (t_1=0, t_2= \Delta t)$:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K\cdot \cos^2\Big(\frac{|t|\cdot \pi}{2\cdot \Delta t}\Big) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \ge \Delta t.} \\ \end{array}$$

• Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:

$$X(f)=K\cdot \Delta f \cdot \frac{\pi}{4}\cdot [si(\pi(\Delta t\cdot f +0.5))+si(\pi(\Delta t\cdot f -0.5))]\cdot si(\pi \cdot \Delta t \cdot f).$$

• Wegen der letzten $si$-Funktion ist $X(f)=0$ für alle Vielfachen von $F=1/\Delta t$. Die äquidistanten Nulldurchgänge des Cos-Rolloff-Impulses bleiben erhalten.
• Aufgrund des Klammerausdrucks weist $X(f)$ nun weitere Nulldurchgänge bei $f=\pm1.5 F$, $\pm2.5 F$, $\pm3.5 F$, ... auf.
• Für die Frequenz $f=\pm F/2$ erhält man die Spektralwerte $K\cdot \Delta t/2$.
• Der asymptotische Abfall von $X(f)$ verläuft in diesem Sonderfall mit $1/f^3$.

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