Aufgabe 2.1Z: Welche Tabellen beschreiben Gruppen?
In dieser Aufgabe betrachten wir Mengen mit jeweils drei Elementen, allgemein bezeichnet mit $\{z_0, \, z_1, \, z_2\}$. Die Elemente können dabei sein:
- Zahlen, beispielsweise $z_0 = 0, \ z_1 = 1, \ z_2 = 2$,
- algebraische Ausdrücke wie $z_0 = A, \ z_1 = B, \ z_2 = C$,
- irgendwas, beispielsweise $z_0 = \ „\hspace{-0.05cm}{\rm Apfel}\hspace{0.05cm}”, \ z_1 = \ „\hspace{-0.05cm}{\rm Birne}\hspace{0.05cm}”, \ z_2 = \ „\hspace{-0.05cm}{\rm Citrone}\hspace{0.05cm}”$.
Eine Gruppe $(G, \ „+”)$ hinsichtlich der Addition ergibt sich dann, wenn durch eine Tabelle die „$+$”–Verknüpfung zwischen je zwei Elementen so definiert wurde, dass folgende Bedingungen erfüllt sind $($die Laufvariablen $i, \ j, \ k$ können dabei jeweils die Werte $0, \ 1, \ 2$ annehmen$)$:
- Für alle $z_i ∈ G$ und $z_j ∈ G$ gilt $(z_i + z_j) ∈ G$ ⇒ "Closure–Kriterium". Die Bedingung muss auch für $i = j$ erfüllt sein.
- Für alle $z_i, \ z_j, \ z_k$ gilt $(z_i + z_j) + z_k = z_i + (z_j + z_k)$ ⇒ "Assoziativgesetz".
- Es gibt ein "hinsichtlich Addition neutrales Element" ⇒ $N_{\rm A} ∈ G$, so dass für alle $z_i ∈ G$ gilt: $z_i + N_{\rm A} = z_i$.
- Für alle $z_i ∈ G$ gibt es ein "hinsichtlich Addition inverses Element" ⇒ ${\rm Inv}_{\rm A}(z_i) ∈ G$, so dass $z_i + {\rm Inv}_{\rm A}(z_i) = N_{\rm A}$ gilt.
Wird zudem für alle $z_i ∈ G$ und $z_j ∈ G$ noch das "Kommutativgesetz" ⇒ $z_i + z_j = z_j + z_i$ erfüllt, so spricht man von einer kommutativen Gruppe oder – nach dem norwegischen Mathematiker Niels Hendrik Abel – von einer "Abelschen Gruppe".
Die Zahlenmenge $\{0, \, 1, \, 2\}$ ist eine Abelsche (kommutative) Gruppe.
- Entsprechend der grün umrandeten Additionstabelle in obiger Grafik ist hier die Addition modulo $3$ zu verstehen.
- Somit ist auch die Summe stets $0, \ 1$ oder $2$.
- Das neutrale Element ist $N_{\rm A} = 0$ und das zu $z_i$ inverse Element ${\rm Inv}_{\rm A}(z_i) = -z_i$:
- $${\rm Inv_A}(0) = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{\rm Inv_A}(1) = (-1)\hspace{0.15cm}{\rm mod}\hspace{0.15cm}3 = 2 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{\rm Inv_A}(2) = (-2)\hspace{0.15cm}{\rm mod}\hspace{0.15cm}3 = 1 \hspace{0.05cm}.$$
In dieser Aufgabe sollen Sie überprüfen, ob auch die beiden weiteren in der obigen Grafik dargestellten Additionstabellen jeweils zu einer algebraischen Gruppe gehören.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Einige Grundlagen der Algebra".
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite "Definition und Beispiele einer algebraischen Gruppe".
Fragebogen
Musterlösung
- Das neutrale Element $N_{\rm A} = {\rm C}$ erkennt man aus der letzten Zeile der Additionstabelle.
- Aus der Bedingung $z_i + {\rm Inv}_{\rm A}(z_i) = N_{\rm A} = {\rm C}$ erhält man:
- $\rm Inv_A(A) = B$, da an der zweiten Stelle der ersten Zeile das einzige $\rm C$ steht,
- $\rm Inv_A(B) = A$, da an der ersten Stelle der zweiten Zeile das einzige $\rm C$ steht,
- $\rm Inv_A(C) = C$, da an der letzten Stelle der dritten Zeile das einzige $\rm C$ steht.
- Das Assoziativgesetz überprüfen wir (unzulässigerweise) nur an einem einzigen Beispiel. Durch zweimalige Anwendung der Additionstabelle erhält man beispielsweise $\rm (A + B) + C = C + C=C$. Das gleiche Ergebnis ergibt sich für $\rm A + (B + C) = A + B = C$.
Damit sind alle Bedingungen für eine additive Gruppe erfüllt. Die Gültigkeit des Kommutativgesetzes erkennt man aus der Symmetrie der Additionstabelle zur Diagonalen. Damit ist die Gruppe auch „abelsch”.
Übrigens:
Die (rote) Additionstabelle ergibt sich aus der grünen Tabelle durch die Umbenennungen $0 → \rm C, \ 1 → A$ und $2 → \rm B$ und anschließende r $\rm ABC$–Sortierung.
(2) Richtig ist Nein:
- Alle Aussagen sind allein durch die Additionstabelle bestimmt und nicht durch die Bedeutung der Elemente.
- Auch der Autor dieser Aufgabe kann allerdings nicht tiefergehend begründen, warum die Modulo–3–Addition von „$\rm Apfel$” und „$\rm Birne$” das neutrale Element „$\rm Citrone$” ergibt.
(3) Die beiden ersten Aussagen treffen zu im Gegensatz zur letzten:
- Das Kommutativgesetz wird verletzt (keine Symmetrie bezüglich der Tabellendiagonalen). Beispielsweise gilt:
- $$ {\rm a} + {\rm b} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm b} \hspace{0.5cm} \ne \hspace{0.5cm} {\rm b} + {\rm a} = {\rm c} \hspace{0.05cm},$$
- $${\rm a} + {\rm c} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm c} \hspace{0.5cm} \ne \hspace{0.5cm} {\rm c} + {\rm a} = {\rm b} \hspace{0.05cm},$$
- $${\rm b} + {\rm c} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm b} \hspace{0.5cm} \ne \hspace{0.5cm} {\rm c} + {\rm b} = {\rm c} \hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm}.$$
- Damit ist die hier betrachtete Verknüpfung keine Abelsche (kommutative) Gruppe.
- Mehr noch, wegen der Verletzung des Assoziativgesetzes liegen hier bereits die Grundvoraussetzungen einer Gruppe nicht vor. Beispielsweise gilt:
- $${\rm c} + ({\rm c} + {\rm c}) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm c} + {\rm a} = {\rm b} \hspace{0.05cm},$$
- $$({\rm c} + {\rm c}) + {\rm c} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm a} + {\rm c} = {\rm c} \hspace{0.05cm}.$$