Aufgabe 5.8: Matched-Filter für farbige Störung
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- Am Eingang eines Filters liegt ein Gaußimpuls
- $$g(t) = g_0 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t} \right)^2 }$$
- mit Amplitude g0 = 2 V und äquivalenter Impulsdauer <nobr>Δt = 1 ms</nobr> an. Die dazugehörige Spektralfunktion G(f) ist oben skizziert. Die Energie dieses Gaußimpulses ist wie folgt gegeben:
- $$E_g = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g\left( t \right)^2 {\rm{d}}t = \frac{g_0 ^2 \cdot \Delta t}{\sqrt 2 }} = 2.83 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{s}}.$$
- Der Impuls g(t) ist durch eine Störung n(t) überlagert und durch diese weitgehend überdeckt. Hierfür werden zwei Alternativen betrachtet:
- Die zweiseitige Störleistungsdichte sei konstant (nur bei Aufgabe a):
- $${\it \Phi}_n (f) = \frac{N_0 }{2},\quad N_0 = 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^{\rm{2}}/ {\rm{Hz}}.$$
- Das Störsignal n(t) sei farbig mit folgender Störleistungsdichte:
- $${\it \Phi}_n (f) = \frac{N_0 /2}{{1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }},\quad f_0 = 500\;{\rm{Hz}}.$$
- Dieser LDS-Verlauf kann z. B. aus weißem Rauschen durch ein Formfilter mit dem Frequenzgang
- $$H_{\rm N}(f) = \frac{1}{{1 + {\rm{j}}f/f_0 }}\quad\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \quad h_{\rm N}(t) = 2{\rm{\pi }}f_0 \cdot {\rm{e}}^{ - 2{\rm{\pi }}f_0 t} $$
- modelliert werden (Tiefpass erster Ordnung).
- Das Filter sei jeweils optimal an die Sendeimpulsform g(t) und das Störleistungsdichtespektrum Φn(f) angepasst: H(f) = HMF(f). Die Filterkonstante KMF ist so zu wählen, dass H(f = 0) zu 1 wird. Der Detektionszeitpunkt sei vereinfachend TD = 0 (akausale Systembeschreibung).
- Hinweis: Diese Aufgabe behandelt den Lehrstoff von Kapitel 5.4. Gegeben ist zudem das folgende bestimmte Integral:
- $$\frac{1}{{\sqrt {2{\rm{\pi }}} }}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x^2 \cdot {\rm e}^{ - x^2 /2} \,\,{\rm{d}}x} = 1.$$
Fragebogen
Musterlösung
- 1. Bei weißem Rauschen gilt nach den allgemeinen Gleichungen von Kapitel 5.4:
- $$\rho_{d, \rm WR} = \frac{2E_g }{N_0 } = \frac{{2 \cdot 2.83 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{s}}}}{{10^{ - 6} \;{\rm{V}}^{\rm{2}}/ {\rm{Hz}}}} = 5.66 \cdot 10^3 \quad \Rightarrow \quad 10\lg \cdot \rho _{d, \rm WR} \hspace{0.15cm}\underline {= 37.53\;{\rm{dB}}}.$$
- 2. Für den Frequenzgang bei farbigen Störungen gilt unter der Bedingung TD = 0:
- $$H_\text{MF} (f) = K_\text{MF}\cdot \frac{G^{\star} (f)}{\left| {H_{\rm N} (f)} \right|^2 }\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.15cm} G(f) = g_0 \cdot \Delta t \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}f} \right)^2 } ,\hspace{0.15cm}\frac{1}{\left| {H_{\rm N} (f)} \right|^2 } = 1\hspace{-0.05cm} + \hspace{-0.05cm}\left( {\frac{f}{f_0 }} \right)^2\hspace{-0.15cm} .$$
- Aus der Bedingung HMF (f = 0) = 1 folgt KMF = 1/(g0 · Δt). Damit erhält man:
- $$H_{\rm MF} (f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t \cdot f} \right)^2 } \cdot \left( {1 + \left( {{f}/{f_0 }} \right)^2 } \right).$$
- Bei weißem (frequenzunabhängigen) Rauschen wäre das Matched-Filter allein durch den ersten Term gegeben, der die Anpassung an den Nutzimpuls g(t) bewirkt. Bei farbigen Störungen ⇒ Störleistungsdichtespektrum Φn(f) werden höhere Frequenzen durch den Korrekturterm <nobr>1 + (f/f0)2</nobr> angehoben, da in diesem Bereich die Störungen geringer sind. Für f = 1/Δt = 2f0 = 1 kHz erhält man:
- $$H_{\rm MF} ( {f = {1}/{\Delta t}} ) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}} \cdot \left( {1 + 2^2 } \right) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.216}.$$
- 3. Allgemein gilt für das S/N–Verhältnis am Ausgang des Matched-Filters:
- $$\rho _d = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{\left| {G(f)} \right|^2 }{\it{\Phi _n} \left( f \right)}\,\,{\rm{d}}f = } \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{\left| {G(f)} \right|^2 }{N_0 /2}} \, \,{\rm{d}}f \hspace{0.3cm}+ \hspace{0.3cm} \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{\left| {G(f)} \right|^2 }{N_0 /2}} \cdot \frac{f^2 }{f_0 ^2 }\,\,{\rm{d}}f.$$
- Der erste Summand ist gleich dem S/N–Verhältnis bei weißem Rauschen. Für den zweiten Summanden erhält man:
- $$\Delta \rho _d = \frac{g_0 ^2 \cdot \Delta t^2 }{N_0 /2 \cdot f_0 ^2 }\cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f^2 \cdot {\rm{e}}^{ - 2{\rm{\pi }}\left( {f \cdot \Delta t} \right)^2 } }\,\, {\rm{d}}f.$$
- Nach der Substitution x = 2 · π1/2 · f · Δt lautet dieses Integral:
- $$\Delta \rho _d = \frac{\sqrt 2 \cdot g_0 ^2 \cdot \Delta t}{N_0 } \cdot \frac{1}{{4{\rm{\pi }}\left( {\Delta t \cdot f_0 } \right)^2 }} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{x^2 }{\sqrt {2{\rm{\pi }}} }} \cdot {\rm{e}}^{ - x^2 /2}\,\, {\rm{d}}x.$$
- Dieses bestimmte Integral wurde vorne angegeben; es hat den Wert 1. Der erste Faktor beschreibt wiederum das S/N–Verhältnis bei weißem Rauschen. Damit ergeben sich folgende Gleichungen:
- $$\Delta \rho _d = \rho _{d,\rm WR} \cdot \frac{1}{{4{\rm{\pi }}\left( {\Delta t \cdot f_0 } \right)^2 }}, \hspace{1cm} \rho _d = \rho _{d,\rm WR} + \Delta \rho _d = \rho _{d, \rm WR} \left( {1 + \frac{1}{{4{\rm{\pi }}\left( {\Delta t \cdot f_0 } \right)^2 }}} \right).$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \Delta t \cdot f_0 = 0.5 : \hspace{0.3cm} \rho _d = 1.318 \cdot \rho _{d,\rm WR} = 7.46 \cdot 10^3 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \quad 10\lg \rho _d \hspace{0.15cm}\underline {= 38.73\;{\rm{dB}}}.$$
- Es ergibt sich ein um 1.2 dB besseres Ergebnis als bei weißem Rauschen, da hier Φn(f) im gesamten Frequenzbereich mit Ausnahme der Frequenz f = 0 (hier gilt das Gleichheitszeichen) kleiner ist als N0/2. Diese Tatsache wird auch vom Matched–Filter ausgenutzt.