Aufgabe 1.1Z: Tiefpass 1. und 2. Ordnung
Z1.1 Tiefpass 1. und 2. Ordnung
Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend der Aufgabe A1.1 – hat den folgenden Frequenzgang: $$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$ Man spricht dann von einem Tiefpass erster Ordnung. Der Dämpfungsverlauf $a_1(f)$ und der Phasenverlauf $b_1(f)$ dieses Filters sind in der Grafik dargestellt.
Entsprechend gilt für einen Tiefpass $n$–ter Ordnung die folgende Definitionsgleichung: $$H_n(f) = H_{\rm 1}(f)^n.$$ In dieser Aufgabe sollen – ausgehend von den Funktionen $a_1(f)$ und $b_1(f)$ eines Tiefpasses erster Ordnung – der Dämpfungs– und Phasenverlauf eines solchen Tiefpasses höherer Ordnung analysiert werden. Allgemein gilt: $$H(f) = {\rm e}^{-a(f) - {\rm j}\cdot b(f)}.$$
Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 1.1. Zwischen dem Np– und dem dB–Wert eines Amplitudenwertes $|H| = 1/x$ besteht folgender Zusammenhang:
$$a_{\rm Np} = \ln (x) = \ln (10) \cdot \lg (x) = \frac{\ln
(10)}{20} \cdot a_{\rm dB} \approx 0.11513 \cdot a_{\rm dB}.$$
Berücksichtigen Sie weiter, dass für zwei komplexe Größen $z_1$ und $z_2$ folgende Gleichungen gelten:
$$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|, \hspace{0.5 cm}{\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1 \cdot z_2) = {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1) + {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_2).$$
Fragebogen
Musterlösung
- a)
- b)
- c)
- d)
- e)
- f)
- g)
