Real– und Imaginärteil einer kausalen Übertragungsfunktion (1)
Eine jede kausale Impulsantwort $h(t)$ kann als Summe eines geraden Anteils $h_g(t)$ und eines ungeraden Anteils $h_u(t)$ dargestellt werden, wobei gilt: $$ \begin{align*} h_Vorlage:\rm g(t) & = \frac{1}{2}\cdot \left[ h(t) + h(-t)
\right]\hspace{0.05cm},\\
h_Vorlage:\rm u(t) & = \frac{1}{2}\cdot \left[ h(t) - h(-t)
\right] = h_Vorlage:\rm g(t) \cdot {\rm sign}(t)\hspace{0.05cm} \end{align*}$$.
Hierbei ist die sogenannte Signum–Funktion verwendet: $${\rm sign}(t) = \left\{ \begin{array}{c} -1 \\
+1 \\ \end{array} \right.\quad \quad
\begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} { t < 0,} \\ { t > 0.} \\ \end{array}$$
Beispiel: Die Grafik zeigt diese Aufspaltung für eine kausale exponentiell abfallende Impulsantwort $$h(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\
0.5/T \\ 1/T \cdot {\rm e}^{-t/T} \end{array} \right.\quad \quad
\begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \end{array}\begin{array}{*{20}c} { t < 0\hspace{0.05cm},} \\ { t = 0\hspace{0.05cm},} \\{ t > 0\hspace{0.05cm}.} \end{array}$$
eines Tiefpasses erster Ordnung entsprechend Aufgabe Z1.3.
Man erkennt:
- Für positive Zeiten gilt $h_g(t) = h_u(t) = h(t)/2$.
- Für negative Zeiten unterscheiden sich $h_g(t)$ und $h_u(t)$ nur durch das Vorzeichen.
- Für alle Zeiten gilt $h(t) = h_g(t) + h_u(t)$, auch zum Zeitpunkt $t$ = 0 (durch Kreise markiert).
