Aufgabe 5.2: Bandspreizung und Schmalbandstörer

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Betrachtetes Modell
der Bandspreizung

Betrachtet wird ein  "Spread Spectrum System"  gemäß der vorliegenden Grafik im äquivalenten Tiefpassbereich:

• Das Digitalsignal  $q(t)$  besitze das Leistungsdichtespektrum  $\rm (LDS)$   ${\it \Phi}_q(f)$,  das als rechteckförmig mit der Bandbreite  $B = 1/T = 100\ \rm kHz$  angenähert werden soll  (eine eher unrealistische Annahme):

$${\it \Phi}_{q}(f) =\left\{ \begin{array}{c} {\it \Phi}_{0} \\0 \\ \end{array} \right.\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{sonst}} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}|f| <B/2 \hspace{0.05cm}, \\\\\end{array}$$

• Im Tiefpassbereich ist somit die Bandbreite   (nur die Anteile bei positiven Frequenzen)  gleich  $B/2$  und die Bandbreite im Bandpassbereich ist  $B$.
• Die Bandspreizung erfolgt durch Multiplikation mit der PN–Sequenz  $c(t)$  der Chipdauer  $T_c = T/100$ 
  („PN” steht dabei für „Pseudo-Noise”).
• Für die Autokorrelationsfunktion gelte vereinfachend:

$$ {\it \varphi}_{c}(\tau) = \left\{ \begin{array}{c}1 - |\tau|/T_c \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{sonst}} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} -T_c \le \tau \le T_c \hspace{0.05cm}, \\ \\ \end{array}$$

• Beim Empfänger wird wieder die gleiche Spreizfolge  $c(t)$  phasensynchron zugesetzt.
• Das Interferenzsignal  $i(t)$  soll zunächst vernachlässigt werden.
• In der Teilaufgabe  (4)  bezeichnet  $i(t)$  einen schmalbandigen Störer bei der Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 30 \ \rm MHz = f_{\rm I}$  mit der Leistung  $P_{\rm I}$.
• Der Einfluss des  (stets vorhandenen)  AWGN–Rauschens  $n(t)$  wird in dieser Aufgabe nicht betrachtet.

Hinweis:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  PN–Modulation.

Fragebogen

1 Wie lautet das Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_c(f )$  des Spreizsignals  $c(t)$?   Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz  $f = 0$?

${\it \Phi}_c(f = 0) \ = \ $ $\ \cdot 10^{-6} \ \rm 1/Hz$

2 Berechnen Sie die äquivalente Bandbreite  $B_c$  des Spreizsignals als Breite des flächengleichen  $\rm LDS$–Rechtecks.

$B_c \ = \ $ $\ \rm MHz$

3 Welche Aussagen sind für die Bandbreiten der Signale  $s(t)$   ⇒   $B_s$ und  $b(t)$   ⇒   $B_b$ zutreffend?  Die (zweiseitige) Bandbreite von  $q(t)$  ist  $B$.

	$B_s$  ist exakt gleich  $B_c$.
	$B_s$  ist näherungsweise gleich  $B_c + B$.
	$B_b$  ist exakt gleich  $B_s$.
	$B_b$  ist gleich  $B_s + B_c = 2B_c + B$.
	$B_b$  ist exakt gleich  $B$.

4 Welchen Einfluss hat eine Bandspreizung auf einen schmalbandigen Störer bei der Trägerfrequenz?  Es gelte also  $f_{\rm I} = f_{\rm T}$.

	Der störende Einfluss wird durch Bandspreizung abgeschwächt.
	Die Störleistung ist nur mehr halb so groß.
	Die Störleistung wird durch die Bandspreizung nicht verändert.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Das Leistungsdichtesprektrum  ${\it \Phi}_c(f)$  ist die Fouriertransformierte der dreieckförmigen AKF,  die mit Rechtecken der Breite  $T_c$  wie folgt dargestellt werden kann:

$${\it \varphi}_{c}(\tau) = \frac{1}{T_c} \cdot {\rm rect} \big(\frac{\tau}{T_c} \big ) \star {\rm rect} \big(\frac{\tau}{T_c} \big ) \hspace{0.05cm}.$$

• Daraus folgt  ${\it \Phi}_{c}(f) = {1}/{T_c} \cdot \big[ T_c \cdot {\rm si} \left(\pi f T_c \right ) \big ] \cdot \big[ T_c \cdot {\rm si} \left(\pi f T_c \right ) \big ] = T_c \cdot {\rm si}^2 \left(\pi f T_c \right ) \hspace{0.05cm}$  mit dem Maximalwert

$${\it \Phi}_{c}(f = 0) = T_c = \frac{T}{100}= \frac{1}{100 \cdot B} = \frac{1}{100 \cdot 10^5\,{\rm 1/s}} = 10^{-7}\,{\rm 1/Hz} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1 \cdot 10^{-6}\,{\rm 1/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$

(2)  Gemäß Definition gilt mit  $T_c = T/100 = 0.1\ \rm µ s$:

Leistungsdichtespektrum des PN–Spreizsignals

$$B_c= \frac{1}{T_c} \cdot \hspace{-0.03cm} \int_{-\infty }^{+\infty} \hspace{-0.03cm} {\it \Phi}_{c}(f)\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \hspace{-0.03cm} \int_{-\infty }^{+\infty} \hspace{-0.03cm} {\rm si}^2 \left(\pi f T_c \right )\hspace{0.1cm} {\rm d}f $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} B_c= \frac{1}{T_c}\hspace{0.15cm}\underline {= 10\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}$$

Die Grafik verdeutlicht,

• dass  $B_c$  durch die erste Nullstelle der  $\rm si^2$–Funktion im äquivalenten Tiefpassbereich vorgegeben wird,
• aber auch gleichzeitig die äquivalente  (flächengleiche)  Bandbreite im Bandpassbereich angibt.

(3)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 2 und 5:

• Das LDS  ${\it \Phi}_s(f)$  ergibt sich aus der Faltung von  ${\it \Phi}_q(f)$  und  ${\it \Phi}_c(f)$.  Damit erhält man für die Bandbreite des Sendesignals tatsächlich  $B_s = B_c + B$.
• Da das Spreizsignal  $c(t) ∈ \{+1, –1\}$  mit sich selbst multipliziert immer den Wert  $1$  ergibt,  ist natürlich  $b(t) ≡ q(t)$  und demzufolge  $B_b = B$.
• Offensichtlich ist,  dass die Bandbreite  $B_b$  des bandgestauchten Signals ungleich  $2B_c + B$  ist,  obwohl die Faltung  ${\it \Phi}_s(f) ∗ {\it \Phi}_c(f)$  dies suggeriert.
• Dies hängt damit zusammen,  dass nicht die Leistungsdichtespektren gefaltet werden dürfen,  sondern von den Spektralfunktionen  (Amplitudenspektren)  $S(f)$  und  $C(f)$  unter Berücksichtigung der Phasenbeziehungen auszugehen ist.
• Erst danach kann aus  $B(f)$  das LDS  ${\it \Phi}_b(f)$  bestimmt werden.  Es gilt offensichtlich auch:  $C(f) ∗ C(f) = δ(f)$.

(4)  Richtig ist nur der  erste Lösungsvorschlag.  Die Lösung soll anhand der Skizze am Seitenende verdeutlicht werden:

• Im oberen Diagramm ist das LDS  ${\it \Phi}_i(f)$  des Schmalbandstörers durch zwei Diracfunktionen bei  $±f_{\rm T}$  mit Gewichten  $P_{\rm I}/2$  angenähert.  Eingezeichnet ist auch die Bandbreite  $B = 0.1 \ \rm MHz$  (nicht ganz maßstäblich).

• Die empfängerseitige Multiplikation mit  $c(t)$  – eigentlich mit der Funktion der Bandstauchung,  zumindest bezüglich des Nutzanteils von  $r(t)$ – bewirkt hinsichtlich des Störsignals  $i(t)$  eine Bandspreizung.  Ohne Berücksichtigung des Nutzsignals ist  $b(t) = n(t) = i(t) · c(t)$.   Daraus folgt:

$${\it \Phi}_{n}(f) = {\it \Phi}_{i}(f) \star {\it \Phi}_{c}(f) = \frac{P_{\rm I}\cdot T_c}{2}\cdot {\rm si}^2 \left( \pi \cdot (f - f_{\rm T}) \cdot T_c \right )+ \frac{P_{\rm I}\cdot T_c}{2}\cdot {\rm si}^2 \left( \pi \cdot (f + f_{\rm T}) \cdot T_c \right ) \hspace{0.05cm}.$$

Leistungsdichtespektren vor und nach der Bandspreizung

• Anzumerken ist,  dass  $n(t)$  hier nur als Abkürzung verwendet wird und nicht AWGN–Rauschen bezeichnet. 
• In einem engen Bereich um die Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 30 \ \rm MHz$  ist das LDS  ${\it \Phi}_n(f)$  nahezu konstant.  Damit gilt für die Störleistung nach der Bandspreizung:

$$ P_{n} = P_{\rm I} \cdot T_c \cdot B = P_{\rm I}\cdot \frac{B}{B_c} = \frac{P_{\rm I}}{J}\hspace{0.05cm}. $$

• Das bedeutet:   Die Störleistung wird durch Bandspreizung um den Faktor  $J = T/T_c$  herabgesetzt, weshalb  $J$  häufig auch als Spreizgewinn bezeichnet wird.
• Ein solcher Spreizgewinn ist allerdings nur bei einem Schmalbandstörer gegeben.