Aufgabe 4.16: Eigenwerte und Eigenvektoren

Obwohl die Beschreibung Gaußscher Zufallsgrößen mit Hilfe von Vektoren und Matrizen eigentlich nur bei mehr als $N = 2$ Dimensionen erforderlich ist und Sinn macht, beschränken wir uns hier zur Vereinfachung auf den Sonderfall zweidimensionaler Zufallsgrößen.

In der Grafik ist oben die allgemeine Korrelationsmatrix $\mathbf{K_x}$ der 2D–Zufallsgröße $\mathbf{x} = (x_1, x_2)^{\rm T}$ angegeben, wobei $\sigma_1^2$ und $\sigma_2^2$ die Varianzen der Einzelkomponenten beschreiben. $\rho$ bezeichnet den Korrelationskoeffizienten zwischen den beiden Komponenten.

Die Zufallsgrößen $\mathbf{y}$ und $\mathbf{z}$ geben zwei Spezialfälle von $\mathbf{x}$ an, deren Prozessparameter aus den Korrelationsmatrix $\mathbf{K_y}$ bzw. $\mathbf{K_z}$ bestimmt werden sollen.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen.
Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten
- Determinante einer Matrix
- Inverse einer Matrix.
Entsprechend der Seite "Höhenlinien bei korrelierten Zufallsgrößen" ist der Winkel $\alpha$ zwischen dem alten und dem neuen System durch folgende Gleichung gegeben:

$$\alpha = {1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot\rho \cdot\frac{\sigma_1\cdot\sigma_2}{\sigma_1^2 -\sigma_2^2}).$$

Insbesondere ist zu beachten:
- Eine $2×2$–Kovarianzmatrix besitzt zwei reelle Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2$.
- Diese beiden Eigenwerte bestimmen zwei Eigenvektoren $\xi_1$ und $\xi_2$.
- Diese spannen ein neues Koordinatensystem in Richtung der Hauptachsen des alten Systems auf.

Fragebogen

	$\mathbf{K_y}$ beschreibt alle möglichen 2D-Zufallsgrößen mit $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.
	Der Wertebereich des Korrelationskoeffizienten ist $-1 \le \rho \le +1$.
	Der Wertebereich des Korrelationskoeffizienten ist $0 < \rho < 1$.

$\lambda_1 \ = \ $ $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$

$\lambda_2 \ = \ $ $\ (\lambda_2 \le \lambda_1)$

$\lambda_1 \ = \ $ $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$

$\lambda_2 \ = \ $ $\ (\lambda_2 \le \lambda_1)$

	$\mathbf{\eta_1}$ und $\mathbf{\eta_2}$ liegen in Richtung der Ellipsenhauptachsen.
	Die neuen Koordinaten sind um $45^\circ$ gedreht.
	Die Streuungen bezüglich des neuen Systems sind $\lambda_1$ und $\lambda_2$.

$\sigma_1 = \ $

$\sigma_2 = \ $

$\rho = \ $

$\lambda_1 \ = \ $ $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$

$\lambda_2 \ = \ $ $\ (\lambda_2 \le \lambda_1)$

$\alpha \ = \ $ $\ \rm Grad$

Musterlösung

(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

$\mathbf{K_y}$ ist tatsächlich die allgemeinste Korrelationsmatrix einer 2D-Zufallsgröße mit $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.
Der Parameter $\rho$ gibt den Korrelationskoeffizienten an. Dieser kann alle Werte zwischen $\pm 1$ inclusive dieser Randwerte annehmen.

(2) In diesem Fall lautet die Bestimmungsgleichung:

$${\rm det}\left[ \begin{array}{cc}1- \lambda & 0 \\0 & 1- \lambda\end{array} \right] = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}(1- \lambda)^2 = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \hspace{0.15cm}\underline{\lambda_{1/2} =1}.$$

(3) Bei positivem $\rho$ lautet die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte:

$$(1- \lambda)^2 -\rho^2 = 0\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}\lambda^2 - 2\lambda + 1 - \rho^2 =0\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}\lambda_{1/2} =1 \pm \rho.$$

Für $\rho= 0.5$ erhält man $\underline{\lambda_{1} =1.5}$ und $\underline{\lambda_{2} =0.5}$.
Die Gleichung gilt übrigens im gesamten Definitionsbereich $-1 \le \rho \le +1$.
Für $\rho = 0$ ist $\lambda_1 = \lambda_2 = +1$ ⇒ siehe Teilaufgabe (2).
Für $\rho = \pm 1$ ergibt sich $\lambda_1 = 2$ und $\lambda_2 = 0$.

(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2.

Die Eigenvektoren erhält man durch Einsetzen der Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2$ in die Korrelationsmatrix:

$$\left[ \begin{array}{cc}1- (1+\rho) & \rho \\\rho & 1- (1+\rho)\end{array} \right]\cdot{\boldsymbol{\eta_1}} = \left[ \begin{array}{cc}-\rho & \rho \\\rho & -\rho\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{c}\eta_{11} \\\eta_{12}\end{array} \right]=0$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}-\rho \cdot \eta_{11} + \rho \cdot\eta_{12} = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\eta_{11}={\rm const} \cdot\eta_{12}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\boldsymbol{\eta_1}}={\rm const}\cdot \left[ \begin{array}{c}1 \\1\end{array} \right];$$

$$\left[ \begin{array}{cc}1- (1-\rho) & \rho \\\rho & 1- (1-\rho)\end{array} \right]\cdot{\boldsymbol{\eta_2}} = \left[ \begin{array}{cc}\rho & \rho \\\rho & \rho\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{c}\eta_{21} \\\eta_{22}\end{array} \right]=0$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\rho \cdot \eta_{21} + \rho \cdot\eta_{22} = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\eta_{21}=-{\rm const} \cdot\eta_{22}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\boldsymbol{\eta_2}}={\rm const}\cdot \left[ \begin{array}{c}-1 \\1\end{array} \right].$$

Bringt man diese in die so genannte Orthonormalform, so gilt:

$${\boldsymbol{\eta_1}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[\begin{array}{c}1 \\1\end{array} \right],\hspace{0.5cm}{\boldsymbol{\eta_2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[\begin{array}{c}-1 \\1\end{array} \right].$$

In der Skizze ist das Ergebnis verdeutlicht:

Das durch $\mathbf{\eta_1}$ und $\mathbf{\eta_2}$ festgelegte Koordinatensystem liegt in Richtung der Hauptachsen des ursprünglichen Systems.
Mit $\sigma_1 = \sigma_2$ ergibt sich fast immer $($Ausnahme: $\rho= 0)$ der Drehwinkel $\alpha = 45^\circ$.
Dies folgt auch aus der im Theorieteil angegebenen Gleichung:

$$\alpha = {1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot\rho \cdot\frac{\sigma_1\cdot\sigma_2}{\sigma_1^2 -\sigma_2^2})={1}/{2}\cdot \arctan(\infty)\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha = 45^\circ.$$

Die Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2$ kennzeichnen nicht die Streuungen bezüglich der neuen Achsen, sondern die Varianzen.

(5) Durch Vergleich der Matrizen $\mathbf{K_x}$ und $\mathbf{K_z}$ erhält man

$\sigma_{1}\hspace{0.15cm}\underline{ =2}$,
$\sigma_{2}\hspace{0.15cm}\underline{ =1}$,
$\rho = 2/(\sigma_{1} \cdot \sigma_{2})\hspace{0.15cm}\underline{ =1}$.

(6) Nach dem inzwischen altbekannten Schema gilt:

$$(4- \lambda) \cdot (1- \lambda) -4 = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\lambda^2 - 5\lambda =0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{\lambda_{1}=5,\hspace{0.1cm} \lambda_{2} =0}.$$

(7) Nach der auf dem Angabenblatt vorgegebenen Gleichung gilt:

$$\alpha ={1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot 1 \cdot \frac{2 \cdot1}{2^2 -1^2})= {1}/{2}\cdot \arctan ({4}/{3}) =26.56^\circ.$$

Zum gleichen Ergebnis gelangt man über den Eigenvektor:

$$\left[ \begin{array}{cc}4-5 & 2 \\2 & 1-5\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{c}\zeta_{11} \\\zeta_{12}\end{array}\right]=0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}-\zeta_{11}=2\zeta_{12}=0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\zeta_{12}={\zeta_{11}}/{2}$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha = \arctan({\zeta_{12}}/{\zeta_{11}}) = \arctan(0.5) \hspace{0.15cm}\underline{= 26.56^\circ}.$$

Die nebenstehende Skizze zeigt die 2D-WDF der Zufallsgröße $\mathbf{z}$:

Wegen $\rho = 1$ liegen alle Werte auf der Korrelationsgeraden mit den Koordinaten $z_1$ und $z_2 = z_1/2$.
Durch die Drehung um den Winkel $\alpha = \arctan(0.5) = 26.56^\circ$ entsteht ein neues Koordinatensystem.
Die Varianz entlang der Achse $\mathbf{\zeta_1}$ beträgt $\lambda_1 = 5$ $($Streuung $\sigma_1 = \sqrt{5} = 2.236)$,
während in der dazu orthogonalen Richtung $\mathbf{\zeta_2}$ die Zufallsgröße nicht ausgedehnt ist $(\lambda_2 = \sigma_2 = 0)$.