Aufgabe 4.9: Höherstufige Modulation

Einige Kanalkapazitätskurven

Die Grafik zeigt AWGN–Kanalkapazitätskurven über der Abszisse $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$:

$C_\text{Gauß}$: Shannonsche Grenzkurve,
$C_\text{BPSK}$: gültig für "Binary Phase Shift Keying" $\rm (BPSK)$.

Die beiden weiteren Kurvenverläufe $C_\text{rot}$ und $C_\text{braun}$ sollen in den Teilaufgaben (3) und (4) analysiert und möglichen Modulationsverfahren zugeordnet werden.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$.
Da die Ergebnisse in „bit” angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen „log” ⇒ „log₂” verwendet.
Die im Fragebogen genannten Modulationsverfahren werden anhand ihrer Signalraumkonstellation beschrieben.

Vorgeschlagene Signalraumkonstellationen

Anmerkungen zur Nomenklatur:

In der Literatur wird manchmal die „BPSK” auch mit „2–ASK” bezeichnet:

$$x ∈ X = \{+1,\ -1\}.$$

Dagegen verstehen wir hier als „ASK” den unipolaren Fall:

$$x ∈ X = \{0,\ 1 \}.$$

Nach unserer Nomenklatur gilt deshalb:

$$C_\text{ASK} < C_\text{BPSK}.$$

Dieser Sachverhalt ist allerdings unerheblich für die Lösung der vorliegenden Aufgabe.

Fragebogen

Musterlösung

(1) Richtig ist der Vorschlag 2, wie die Rechnung für $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 15 \ \rm dB$ ⇒ $E_{\rm S}/{N_0} = 31.62$ zeigt:

$$C_2(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + 2 \cdot 31.62 ) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 64.25 ) \approx 3\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}. $$

Die beiden anderen Lösungsvorschläge liefern folgende Zahlenwerte:

$$C_3(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \ = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + 31.62 ) \approx 5.03\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm},$$

$$ C_1(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \ = \ C_3/2 \approx 2.51\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}.$$

Der Lösungsvorschlag 3 entspricht dabei dem Fall "Zweier unabhängiger Gaußkanäle" mit jeweils halber Sendeleistung pro Kanal.

(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 4:

Würde man $E_{\rm S}$ durch $E_{\rm B}$ ersetzen, so wäre auch die Aussage 3 richtig.
Für $E_{\rm B}/{N_0} < \ln (2)$ gilt nämlich $C_{\rm Gauß} ≡ 0$ und damit auch $C_{\rm BPSK} ≡ 0$.

(3) Richtig sind die Aussagen 2, 3 und 5:

Der rote Kurvenzug $C_{\rm rot}$ liegt stets oberhalb von $C_{\rm BPSK}$, aber unterhalb von $C_{\rm braun}$ und der Shannon–Grenzkurve $C_{\rm Gauß}$.
Die Aussagen gelten auch, wenn Kurven innerhalb der Zeichengenauigkeit für gewisse $E_{\rm S}/{N_0}$–Wertenicht zu unterscheiden sind.
Aus dem Grenzwert $C_{\rm rot}= 2 \ \rm bit/Kanalzugriff$ für $E_{\rm S}/{N_0} → ∞$ ergibt sich der Symbolumfang $M_X = |X| = 4$.
Die rote Kurve beschreibt also die 4–ASK. $M_X = |X| = 2$ würde für die BPSK gelten.
Die 4–QAM führt genau zum gleichen Endwert „$\rm 2 bit/Kanalzugriff$”.
Aus dem Grenzwert $C_{\rm rot}= 2 bit/Kanalzugriff$”. Für kleine $E_{\rm S}/{N_0}$–Werte liegt aber die Kanalkapazität $C_{\rm 4–QAM}$ oberhalb der roten Kurve, da $C_{\rm rot}$ von der Gauß–Grenzkurve $C_2$ begrenzt wird, $C_{\rm 4–QAM}$ aber von $C_3$.

Die Bezeichnungen $C_2$ und $C_3$ beziehen sich hierbei auf die Teilaufgabe (1).

Kanalkapazitätsgrenzen für
BPSK, 4–ASK und 8–ASK

(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 5:

Aus dem braunen Kurvenverlauf erkennt man die Richtigkeit der beiden ersten Aussagen.
Die 8–PSK mit I– und Q–Komponente – also mit $K = 2$ Dimensionen – liegt für kleine $E_{\rm S}/{N_0}$–Werte etwas oberhalb der braunen Kurve ⇒ die Antwort 3 ist falsch.

In der Grafik sind auch die beiden 8–ASK–Systeme gemäß den Vorschlägen 4 und 5 als Punkte eingezeichnet.

Der violette Punkt liegt über der Kurve $C_{\rm 8–ASK}$ ⇒ $R = 2.5$ und $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$ reichen nicht aus, um die 8–ASK fehlerfrei decodieren zu können ⇒ $R > C$ ⇒ das Kanalcodierungstheorem wird nicht erfüllt ⇒ Antwort 4 ist falsch.
Reduziert man aber die Coderate gemäß dem gelben Punkt bei gleichem $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$ auf $R = 2 < C_{\rm 8–ASK}$, so wird das Kanalcodierungstheorem erfüllt ⇒ Antwort 5 ist richtig.

	$C_{\rm BPSK}$ kann nicht in geschlossener Form angegeben werden.
	$C_{\rm BPSK}$ ist größer als Null, wenn $E_{\rm S}/{N_0} > 0$ vorausgesetzt wird.
	Für $E_{\rm S}/{N_0} < \ln (2)$ ist $C_{\rm BPSK} ≡ 0$.
	Im gesamten Bereich gilt $C_{\rm BPSK} < C_{\rm Gauß} $.

	Für die zugehörige Zufallsgröße $X$ gilt $M_X = \|X\| = 2$.
	Für die zugehörige Zufallsgröße $X$ gilt $M_X = \|X\| = 4$.
	$C_{\rm rot}$ ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 4–ASK.
	$C_{\rm rot}$ ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 4–QAM.
	Für alle $E_{\rm S}/{N_0} > 0$ liegt $C_{\rm rot}$ zwischen „grün” und „braun”.

	Für die zugehörige Zufallsgröße $X$ gilt $M_X = \|X\| = 8$.
	$C_{\rm braun}$ ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 8–ASK.
	$C_{\rm braun}$ ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 8–PSK.
	$p_{\rm B} ≡ 0$ ist mit 8–ASK, $R = 2.5$ und $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$ möglich.
	$p_{\rm B} ≡ 0$ ist mit 8–ASK, $R = 2$ und $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$ möglich.

	Es gilt $C_{\rm Gauß} = C_1= {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + E_{\rm S}/{N_0})$,
	Es gilt $C_{\rm Gauß} = C_2= {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + 2 \cdot E_{\rm S}/{N_0})$,
	Es gilt $C_{\rm Gauß} = C_3= {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + E_{\rm S}/{N_0})$.