Aufgabe 5.1: Zum Abtasttheorem

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Zur Abtastung eines analogen Signals  $x(t)$

Gegeben ist ein Analogsignal  $x(t)$  entsprechend der Skizze:

• Bekannt ist, dass dieses Signal keine höheren Frequenzen als  $B_{\rm NF} = 4 \ \text{kHz}$  beinhaltet.
• Durch Abtastung mit der Abtastrate  $f_{\rm A}$  erhält man das in der Grafik rot skizzierte Signal  $x_{\rm A}(t)$.
• Zur Signalrekonstruktion wird ein Tiefpass verwendet, für dessen Frequenzgang gilt:

$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c} {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ \end{array}\begin{array}{*{5}c} |f| < f_1 \hspace{0.05cm}, \\ |f| > f_2 \hspace{0.05cm} \\ \end{array}$$

Der Bereich zwischen den Frequenzen  $f_1$  und  $f_2 > f_1$  ist für die Lösung dieser Aufgabe nicht relevant.

Die Eckfrequenzen  $f_1$  und  $f_2$  sind so zu bestimmen, dass das Ausgangssignal  $y(t)$  des Tiefpasses mit dem Signal  $x(t)$  exakt übereinstimmt.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Zeitdiskrete Signaldarstellung.

• Zu der hier behandelten Thematik gibt es ein interaktives Applet:  Abtastung periodischer Signale & Signalrekonstruktion

Fragebogen

1

Ermitteln Sie aus der Grafik die zugrundeliegende Abtastrate.

$f_{\rm A}\ = \ $  $\text{kHz}$

2

Bei welchen Frequenzen besitzt die Spektralfunktion  $X_{\rm A}(f)$  mit Sicherheit keine Anteile?

	$f = 2.5 \ \text{kHz},$
	$f= 5.5 \ \text{kHz},$
	$f= 6.5 \ \text{kHz},$
	$f= 34.5 \ \text{kHz}.$

3

Wie groß muss die untere Eckfrequenz  $f_1$  mindestens sein, damit das Signal perfekt rekonstruiert wird?

$f_{1,\ \text{min}}\ = \ $  $\text{kHz}$

4

Wie groß darf die obere Eckfrequenz  $f_2$  höchstens sein, damit das Signal perfekt rekonstruiert wird?

$f_{2,\ \text{max}}\ = \ $  $\text{kHz}$

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Der Abstand zweier benachbarter Abtastwerte beträgt $T_{\rm A} = 0.1 \ \text{ms}$. Somit erhält man für die Abtastrate $f_{\rm A} = 1/ T_{\rm A} \;\underline {= 10 \ \text{kHz}}$.

Spektrum $X_{\rm A}(f)$ des abgetasteten Signals (schematisch)

(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 4:

• Das Spektrum $X_{\rm A}(f)$ des abgetasteten Signals erhält man aus $X(f)$ durch periodische Fortsetzung im Abstand $f_{\rm A} = 10 \ \text{kHz}$.
• Aus der Skizze erkennt man, dass $X_{\rm A}(f)$ durchaus Anteile bei $f = 2.5 \ \text{kHz}$ und $f = 6.5 \ \text{kHz}$ besitzen kann.
• Dagegen gibt es bei $f = 5.5 \ \text{kHz}$ keine Anteile.
• Auch bei $f = 34.5 \ \text{kHz}$ wird auf jeden Fall $X_{\rm A}(f) = 0$ gelten.

(3)  Es muss sichergestellt sein, dass alle Frequenzen des Analogsignals mit $H(f) = 1$ bewertet werden. Daraus folgt entsprechend der Skizze:

$$f_{1, \ \text{min}} = B_{\rm NF} \;\underline{= 4 \ \text{kHz}}.$$

(4)  Ebenso muss garantiert werden, dass alle Spektralanteile von $X_{\rm A}(f)$, die in $X(f)$ nicht enthalten sind, durch den Tiefpass entfernt werden. Entsprechend der Skizze muss also gelten:

$$f_{2, \ \text{max}} = f_{\rm A} – B_{\rm NF} \;\underline{= 6 \ \text{kHz}}.$$