Aufgabe 3.6Z: Komplexe Exponentialfunktion
In Zusammenhang mit den Bandpass-Systemen wird oft mit einseitigen Spektren gearbeitet. In der Abbildung sehen Sie eine solche einseitige Spektralfunktion ${X(f)}$, die ein komplexes Zeitsignal ${x(t)}$ zur Folge hat.
In der unteren Skizze ist ${X(f)}$ in einen – bezüglich der Frequenz – geraden Anteil ${G(f)}$ sowie einen ungeraden Anteil ${U(f)}$ aufgespaltet.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation.
- Alle dort dargelegten Gesetzmäßigkeiten werden im Lernvideo Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation an Beispielen verdeutlicht.
- Lösen Sie diese Aufgabe mit Hilfe des Zuordnungssatzes und des Verschiebungssatzes.
- Verwenden Sie für die beiden ersten Teilaufgaben die Signalparameter $A = 1\, \text{V}$ und $f_0 = 125 \,\text{kHz}.$
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
- $$g( t ) = A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$
Bei $t = 1 \, \mu\text {s}$ ist der Signalwert gleich $A \cdot \cos(\pi /4)$:
- Realteil $\text{Re}[g(t = 1 \, \mu \text {s})] = \;\underline{0.707\, \text{V}}$,
- Imaginärteil $\text{Im}[g(t = 1 \, \mu \text {s})] = \;\underline{0.}$.
2. Ausgehend von der Fourierkorrespondenz
- $$A \cdot {\rm \delta} ( f )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, A$$
erhält man durch zweimalige Anwendung des Verschiebungssatzes (im Frequenzbereich):
- $$U( f ) = {A}/{2} \cdot \delta ( {f - f_0 } ) - {A}/{2} \cdot \delta ( {f + f_0 } )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, u( t ) = {A}/{2} \cdot \left( {{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{\pi }}f_0 t} - {\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{\rm{\pi }}f_0 t} } \right).$$
Nach dem Satz von Euler kann hierfür auch geschrieben werden:
- $$u( t ) = {\rm{j}} \cdot A \cdot \sin ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$
- Der Realteil dieses Signals ist stets $0$.
- Bei $t = 1 \, \mu\text {s}$ gilt für den Imaginärteil: $\text{Im}[g(t = 1 \, \mu \text {s})] = \;\underline{0.707\, \text{V}}$.
3. Wegen $X(f) = G(f) + U(f)$ gilt auch:
- $$x(t) = g(t) + u(t) = A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ) + {\rm{j}} \cdot A \cdot \sin( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$
Dieses Ergebnis kann mit dem Satz von Euler wie folgt zusammengefasst werden:
- $$x(t) = A \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{\pi }}f_0 t} .$$
Richtig sind die vorgegebenen Alternativen 1 und 3.
- Das Signal dreht in der komplexen Ebene in mathematisch positiver Richtung, also entgegen dem Uhrzeigersinn.
- Für eine Umdrehung benötigt der „Zeiger” die Periodendauer $T_0 = 1/f_0 = 8 \, \mu\text {s}$.