Aufgabe 5.1Z: cos² -Rauschbegrenzung
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- Wir betrachten ein bandbegrenztes weißes Rauschsignal x(t) mit dem oben skizzierten Leistungsdichtespektrum Φx(f). Dieses ist im Bereich |f| ≤ Bx konstant gleich N0/2 und außerhalb gleich Null.
- Gehen Sie von folgenden Zahlenwerten aus:
- N0 = 10–16 V²/Hz, Bx = 10 kHz.
- Dieses Signal wird an den Eingang eines Tiefpassfilters mit dem Frequenzgang
$$H(f) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\cos ^2 \left( {\frac{{{\rm{\pi }}f}}{2f_0 }} \right)} & {\rm{f\ddot{u}r}\quad \left| \it f \right| \le \it f_{\rm 0} ,} \\ 0 & {{\rm{sonst}}} \\\end{array}} \right.$$
- angelegt. Hierbei bezeichnet f0 die absolute Filterbandbreite, die zwischen Bx/2 und 2Bx variieren kann.
- Das Filterausgangssignal wird mit y(t) bezeichnet.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Stochastische Systemtheorie.
- Bezug genommen wird auch auf das Kapitel ZAutokorrelationsfunktion.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
- Berücksichtigen Sie die folgende Fourierkorrespondenz:
- $${\rm e}^{- \pi (f/{\rm \Delta} f)^2} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!\hspace{0.03cm}\circ \hspace{0.15cm}{\rm \Delta} f \cdot {\rm e}^{- \pi ({\rm \Delta} f \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} t)^2}.$$
- Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 3.5, Kapitel 4.5 und Kapitel 5.1. Benutzen Sie, falls nötig, die nachfolgenden Gleichungen:
- $${\rm Q}(x) \approx \frac{1}{{\sqrt {2{\rm{\pi }}} \cdot x}} \cdot {\rm{e}}^{ - x^2 /2} \quad {\rm{(f\ddot{u}r }}\;{\rm{grösse }}\;x{\rm{)}}{\rm{,}}$$
- $$\int {\rm{cos}}^{\rm{2}}( {ax} )\hspace{0.1cm}{\rm{d}}x = \frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{4a} \cdot \sin ( {2ax} ),$$
- $$\int {\cos ^4 } ( {ax} )\hspace{0.1cm}{\rm{d}}x = \frac{3}{8} \cdot x + \frac{1}{4a} \cdot \sin ( {2ax} ) + \frac{1}{32a} \cdot \sin ( {4ax} ).$$
Fragebogen
Musterlösung
- 1. Die Varianz (Leistung) ⇒ Effektivwert zum Quadrat des Signals x(t) beträgt
- $$\sigma _x ^2 = \frac{N_0 }{2} \cdot 2B_x = N_0 \cdot B_x = 10^{ - 12} \;{\rm{V}}^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \sigma _x \hspace{0.15cm}\underline{ = 1\,\,{\rm \mu}{\rm V}}.$$
- 2. Entsprechend dem Kapitel 3.5 und der hier angegebenen Näherung erhält man:
- $$\Pr \left( {\left| {x(t)} \right| > 5\;{\rm{\mu V}}} \right) = 2 \cdot {\rm Q}(5) = \frac{2}{{\sqrt {2{\rm{\pi }}} \cdot 5}} \cdot {\rm{e}}^{ - 12.5}\hspace{0.15cm} \underline{ \approx 6 \cdot 10^{ - 7}} .$$
- 3. Das Eingangssignal x(t) ist mittelwertfrei (mx = 0), da sonst Φx(f) noch eine Diracfunktion bei f = 0 beinhalten müsste. Der Mittelwert wird durch das lineare Filter nicht verändert ⇒ my = 0.
- 4. Für das Leistungsdichtespektrum des Ausgangssignals gilt allgemein:
- $${\it \Phi}_y (f) = \frac{N_0 }{2} \cdot \left| {H( f )} \right|^2 .$$
- Damit kann die Varianz σy2 berechnet werden. Unter Ausnützung der Symmetrie erhält man:
- $$\sigma _y ^2 = \frac{N_0 }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {H( f )} \right|^2 \left( f \right)\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f} = N_0 \cdot \int_0^{f_0 } {\cos ^4 } \left( {\frac{{{\rm{\pi }}f}}{2f_0 }} \right)\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f .$$
- Das bestimmte Integral ist vorgegeben. Bei jedem der drei Lösungsterme ergibt sich für die untere Grenze der Wert 0. Daraus folgt:
- $$\sigma _y ^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \left( {\frac{3}{8} \cdot f_0 + \frac{f_0 }{{2{\rm{\pi }}}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} ) + \frac{f_0 }{{16{\rm{\pi }}}} \cdot \sin ( {{\rm{2\pi }}} )} \right) = \frac{3}{8} \cdot N_0 \cdot f_0 .$$
- $$f_0 = B_x/2:\hspace{0.2cm}\sigma _y ^2 = \frac{3}{16} \cdot N_0 \cdot B_x = \frac{3}{16} \cdot \sigma _x ^2 = 0.1875 \cdot 10^{ - 12} \;{\rm{V}}^2 \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm}\sigma _y \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.433\;{\rm{\mu V}}}{\rm{.}}$$
- 5. Nun besitzt das Eingangs-LDS für |f| > Bx keine Anteile. Deshalb gilt:
- $$\sigma _y ^2 = N_0\cdot \int_0^{B_x } {\cos ^4 \left( {\frac{{{\rm{\pi }}f}}{2f_0 }} \right)\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f = N_0 \cdot \int_0^{f_0 /2} {\cos ^4 } \left( {\frac{{{\rm{\pi }}f}}{2f_0 }} \right)\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f.}$$
- Die numerische Auswertung liefert hierfür:
- $$\sigma _y ^2 = N_0 \left( {\frac{3}{8} \cdot B_x + \frac{B_x }{{2{\rm{\pi }}}} \cdot \sin ( {\frac{{\rm{\pi }}}{2}} ) + \frac{B_x }{{{\rm{16\pi }}}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} )} \right)$$
- $$ \Rightarrow \sigma _y ^2 = N_0 \cdot B_x \left( {\frac{3}{8} + \frac{1}{{2{\rm{\pi }}}}} \right) = 0.534\cdot \sigma _x ^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\sigma _y \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.731\;{\rm{\mu V}}}{\rm{.}}$$
- 6. Analog zur Musterlösung der Teilaufgabe (b) gilt:
- $$\Pr \left( {\left| {y\left( t \right)} \right| > 5\;{\rm{\mu V}}} \right) = 2 \cdot {\rm Q}\left( {\frac{{5\;{\rm{\mu V}}}}{{0.731\;{\rm{\mu V}}}}} \right) = 2 \cdot {\rm Q}( {6.84} ).$$
- Mit der angegebenen Näherung hat diese Wahrscheinlichkeit den Wert 8 · 10–12.