Aufgabe 4.14: AKF und KKF bei Rechtecksignalen

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AKF und KKF bei Rechtecken

Wir betrachten ein periodisches Rechtecksignal $p(t)$ entsprechend der oberen Skizze mit den beiden möglichen Amplitudenwerten $0 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ und der Rechteckdauer $T$. Die Periodendauer beträgt somit $T_0 = 2T$.

Darunter ist das Zufallssignal $z(t)$ gezeichnet.

  • Dieses ist zwischen $(2i-1)T$ und $2i T$ mit $i=$ ... , $-1, 0, +1$, ... (im Bild rot hervorgehoben) jeweils $z(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$.
  • Dagegen ist in den blau gezeichneten Intervallen zwischen $(2i+1) \cdot T$ der Signalwert zweipunktverteilt $\pm 1 \hspace{0.05cm} \rm V$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass in den blau dargestellten Intervallen $z(t)=+1 \hspace{0.05cm} \rm V$ gilt, sei allgemein gleich $p$ und unabhängig von den vorher ausgewürfelten Werten.

Das unterste Signal in nebenstehender Grafik kann aus den beiden ersten konstruiert werden. Es gilt:

$$s(t) = {1}/{2} \cdot [p(t) + z(t)].$$

In den rot eingezeichneten Zeitintervallen zwischen $(2i-1)T$ und $2i T$ ($i$ ganzzahlig) gilt $s(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$, da hier sowohl $p(t)$ als auch $z(t)$ gleich $0$ sind. In den dazwischen liegenden Intervallen ist der Amplitudenwert zweipunktverteilt zwischen $0 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $1 \hspace{0.05cm} \rm V$, wobei der Wert $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ wieder mit der Wahrscheinlichkeit $p$ auftritt.

Oder anders ausgedrückt: Die Signale $z(t)$ und $s(t)$ sind äquivalente Mustersignale des identischen Zufallsprozesses mit bipolarer $(-1 \hspace{0.05cm} \rm V, +1 \hspace{0.05cm} \rm V)$ bzw. unipolarer $(0 \hspace{0.05cm} \rm V, 1 \hspace{0.05cm} \rm V)$ Signaldarstellung.


Hinweise:


Fragebogen

1

Berechnen Sie die AKF $\varphi_z(\tau)$ und skizzieren Sie diese für $p = 0.25$. Welche Werte ergeben sich für $\tau = 0$, $\tau = 3T$ und $\tau = 6T$?

$\varphi_z(\tau= 0) \ = $

$\ \rm V^2$
$\varphi_z(\tau= 3T) \ = $

$\ \rm V^2$
$\varphi_z(\tau= 6T) \ = $

$\ \rm V^2$

2

Berechnen Sie nun unter Zuhilfenahme des Ergebnisses aus (1) die AKF $\varphi_p(\tau)$. Welche Werte ergeben sich für $\tau = 0$, $\tau = 3T$ und $\tau = 6T$?

$\varphi_p(\tau= 0) \ = $

$\ \rm V^2$
$\varphi_p(\tau= 3T) \ = $

$\ \rm V^2$
$\varphi_p(\tau= 6T) \ = $

$\ \rm V^2$

3

Es gelte wieder $p = 0.25$. Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion $\varphi_{pz}(\tau)$) für $\tau = 0$, $\tau = 3T$ und $\tau = 6T$?

$\varphi_{pz}(\tau= 0) \ = $

$\ \rm V^2$
$\varphi_{pz}(\tau= 3T) \ = $

$\ \rm V^2$
$\varphi_{pz}(\tau= 6T) \ = $

$\ \rm V^2$

4

Welche AKF $\varphi_c(\tau)$ ergibt sich allgemein für die Summe $c(t) = a(t) + b(t)$?

$\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) + \varphi_b(\tau)$.
$\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) + \varphi_{ab}(\tau) + \varphi_{ba}(\tau) + \varphi_b(\tau)$).
$\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) \star \varphi_b(\tau)$.

5

Berechnen Sie unter Berücksichtigung des Ergebnisses von (4) die AKF $\varphi_s(\tau)$. Welche Werte ergeben sich mit $p = 0.25$ für $\tau = 0$, $\tau = 3T$ und $\tau = 6T$?

$\varphi_s(\tau= 0) \ = $

$\ \rm V^2$
$\varphi_s(\tau= 3T) \ = $

$\ \rm V^2$
$\varphi_s(\tau= 6T) \ = $

$\ \rm V^2$


Musterlösung

(1)  Der AKF-Wert bei τ = 0 gibt die mittlere Leistung an:

$$\varphi_z ( \tau = 0) = \frac {1}{2} \cdot (1 {\rm V})^2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 {\rm V}^2}.$$

Für τ = ±T, ±3T, ... ergibt sich φz(τ) = 0, während für die Zwischenwerte τ = ±2T, ±4T, ... gilt:

$$\varphi_z ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_z ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm}= \\ = \frac {1 {\rm V}^2}{2} \left(p \hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}p \hspace{0.2cm} + \hspace{0.2cm}p \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}(p-1) \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (p-1)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}p \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (p-1)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}(p-1)\right) \\ = 0.5\, {\rm V}^2 \left( p^2 \hspace{0.2cm} - \hspace{0.2cm}2p \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}(1-p) \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (1-p)^2 \right) = 0.5\, {\rm V}^2 \cdot (1-2p)^2 .$$

Hierbei steht p für p · (+1) und (p – 1) für (1 – p) · (–1), also jeweils Wahrscheinlichkeit mal normierter Amplitudenwert. Für p = 0.25 ergeben sich diese Zwischenwerte zu 0.125 V2.

Die nachfolgende Skizze zeigt den Verlauf von φz(τ) für p = 0.25 im Bereich von - 7Tτ ≤ 7T als blaue Kurve. Aufgrund des rechteckförmigen Signalverlaufs ergeben sich eine Summe von Dreieckfunktionen. Für p = 0.5 würden die äußeren (kleineren) Dreiecke verschwinden.

P ID437 Sto A 4 14 a.png

(2)  Das Ergebnis ist in der allgemeingültigen Darstellung von (a) als Sonderfall für p = 1 enthalten. Man erhält nun eine periodische AKF (siehe roter Kurvenverlauf in obiger Skizze) mit

$$\varphi_p ( \tau = 0) = \varphi_p ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_p ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 {\rm V}^2},$$
$$\varphi_p ( \tau = \pm T) = \varphi_p ( \tau = \pm 3T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$

(3)  Auch für die KKF ergibt sich für τ = ±T, ±3T, ... stets der Wert 0. Dagegen sind die KKF-Werte für τ = ±2T, ±4T, ... identisch mit denen bei τ = 0:

$$\varphi_{pz} ( \tau = 0) = \varphi_{pz} ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_{pz} ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm}= \\ = \frac {1 {\rm V}^2}{2} \left( p - (1-p)\right) = \frac {2p -1}{2}\, {\rm V}^2 .$$
Man erhält mit p = 0.25 folgende Ergebnisse (siehe grüne Kurve in obiger Skizze):
$$\varphi_{pz} ( \tau = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.25 {\rm V}^2},\hspace{0.5cm} \varphi_{pz} ( \tau = 3T)\hspace{0.15cm}\underline{= 0},\hspace{0.5cm} \varphi_{pz} ( \tau = 6T)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.25 {\rm V}^2}.$$
Mit p = 1 würde dagegen z(t) ≡ p(t) gelten und damit natürlich auch φpz(τ) ≡ φp(τ) ≡ φz(τ). Für den Sonderfall p = 0.5 ergäbe sich keine Korrelation zwischen p(t) und z(t): φpz(τ) = 0.

(4)  Durch Einsetzen von c(t) = a(t) + b(t) in die allgemeine AKF-Definition erhält man:

$$\varphi_c ( \tau ) = \overline{c(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} c(t + \tau)} = \overline{a(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} a(t + \tau)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\overline{a(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} b(t + \tau)} \hspace{0.1cm}\\ + \hspace{0.1cm}\overline{b(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} a(t + \tau)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\overline{b(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} b(t + \tau)}. $$
$$\Rightarrow \hspace{0.5cm} \varphi_c ( \tau ) = \varphi_{a} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{ab} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{ba} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}\varphi_{a} ( \tau ). $$
Richtig ist der Lösungsvorschlag 2. Der Lösungsvorschlag 1 trifft nur zu, wenn a(t) und b(t) unkorreliert sind. Der letzte Vorschlag, die Faltungsoperation, ist immer falsch. Eine ähnliche Gleichung würde sich nur dann ergeben, wenn wir die WDF fc(c) der Summe c(t) = a(t) + b(t) betrachten und a(t) und b(t) statistisch unabhängig sind:
$$f_c (c) = f_a (a) \star f_b (b) .$$

(5)  Mit dem Ergebnis von (4) und unter Berücksichtigung des Faktors 1/2 erhält man:

$$\varphi_s ( \tau ) = \frac{1}{4} \left( \varphi_{p} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{z} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 2 \cdot \varphi_{pz} ( \tau ) \right) . $$
Hierbei ist bereits berücksichtigt, dass die KKF zwischen p und z eine gerade Funktion ist, so dass auch φpz(τ) = φzp(τ) gilt. Für τ = 0 erhält man deshalb mit den obigen Ergebnissen allgemein:
$$\varphi_s( \tau = 0) = \frac {1 }{4} \left( 0.5 {\rm V}^2 +0.5 {\rm V}^2 + 2 \cdot \frac{2p-1}{2} {\rm V}^2\right) .$$
Mit p = 0.25 ergibt sich φzp(τ = 0) = 0.125 V2. Dieses Ergebnis ist plausibel. Im Mittel ist nur in jedem achten Intervall s(t) = 1 V; ansonsten ist s(t) = 0 V.
Für geradzahlige Vielfache von T gilt:
$$ \varphi_s ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_s ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm} = \\ = \frac {0.5 {\rm V}^2}{4} \left( (1-2p)^2 +1 + 2 \cdot (2p -1)\right) = 0.5 \, {\rm V}^2 \hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} p^2.$$
Mit p = 0.25 erhält man hierfür den Wert 0.03125 V2. Alle AKF-Werte bei ungeradzahligen Vielfachen von T sind wieder 0. Damit ergibt sich folgende AKF:
P ID441 Sto A 4 14 e.png
Die gesuchten Zahlenwerte sind somit:
$$\varphi_{s} ( \tau = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.125 {\rm V}^2},\hspace{0.5cm} \varphi_{s} ( \tau = 3T)\hspace{0.15cm}\underline{= 0},\hspace{0.5cm} \varphi_{s} ( \tau = 6T)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.03125 {\rm V}^2}.$$
Ein Vergleich mit der Skizze zur Aufgabe (a) zeigt, dass das binäre Signal s(t) bis auf den Faktor 1/4 die gleiche AKF aufweist wie das Ternärsignal z(t).