Aufgabe 4.2: Wieder Dreieckgebiet
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Version vom 18. März 2017, 17:06 Uhr von Guenter (Diskussion | Beiträge)
Wir betrachten die gleiche Zufallsgröße (x, y) wie in Aufgabe 4.1:
- In einem durch die Eckpunkte (0,1), (4,3) und (4,5) definierten dreieckförmigen Gebiet D sei die 2D–WDF fxy(x,y)=0.25. *Außerhalb dieses in der Grafik rot markierten Definitionsgebietes D gibt es keine Werte.
Weiterhin sind in der Grafik die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichten bezüglich den Größen x und y eingezeichnet, die bereits in der Aufgabe 4.1 ermittelt wurden. Daraus lassen sich mit den Gleichungen des Kapitels Erwartungswerte und Momente die Kenngrößen der beiden Zufallsgrößen bestimmen:
mx=8/3,σx=√8/9,
my=3,σy=√2/3.
Aufgrund der Tatsache, dass das Definitionsgebiet D durch zwei Gerade y1(x) und y2(x) begrenzt ist, kann hier das gemeinsame Moment erster Ordnung wie folgt berechnet werden. mxy=E[x⋅y]=∫x2x1x⋅∫y2(x)y1(x)y⋅fxy(x,y)dydx.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweidimensionale Zufallsgrößen.
- Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Erwartungswerte und Momente.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
- 1. Richtig ist der mittlere Vorschlag: Sowohl y1(x) als auch y2(x) schneiden die y-Achse bei y = 1. Die untere Begrenzungslinie hat die Steigung 0.5, die obere die Steigung 1.
- 2. Entsprechend den Hinweisen erhalten wir:
- mxy=∫40x⋅∫x+1x/2+114⋅ydydx=18⋅∫40x⋅[(x+1)2−(x2+1)2]dx.
- Dies führt zum Integral bzw. Endergebnis:
- mxy=18∫40(34x3+x2)dx=18⋅(316⋅44+433)=263≈8.667_.
- 3. Da beide Zufallsgrößen jeweils einen Mittelwert ungleich 0 besitzen, folgt für die Kovarianz:
- μxy=mxy−mx⋅my=263−83⋅3=2/3=0.667_.
- 4. Mit den angegebenen Streuungen erhält man:
- ρxy=μxyσx⋅σy=2/3√8/9⋅√2/3=√0.75=0.866_.
- 5. Für die Korrelationsgerade gilt allgemein:
- y−my=ρxy⋅σyσx⋅(x−mx).
- Mit den oben berechneten Zahlenwerten erhält man
- y=3/4⋅x+1.
- Die Korrelationsgerade schneidet die y-Achse bei y0 = 1 und geht auch durch den Punkt (4, 4). Jedes andere Ergebnis wäre auch nicht zu interpretieren, wenn man das Definitionsgebiet betrachtet. Setzt man mx = 8/3 ein, so erhält man y = my = 3. Das heißt: Die berechnete Korrelationsgerade geht tatsächlich durch den Punkt (mx, my), wie es die Theorie besagt.