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Aufgabe 4.2: Wieder Dreieckgebiet

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Dreieckiges 2D-Gebiet und Randwahrscheinlichkeitsdichten

Wir betrachten die gleiche Zufallsgröße (x, y) wie in Aufgabe 4.1:

  • In einem durch die Eckpunkte (0,1), (4,3) und (4,5) definierten dreieckförmigen Gebiet D sei die 2D–WDF fxy(x,y)=0.25. *Außerhalb dieses in der Grafik rot markierten Definitionsgebietes D gibt es keine Werte.


Weiterhin sind in der Grafik die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichten bezüglich den Größen x und y eingezeichnet, die bereits in der Aufgabe 4.1 ermittelt wurden. Daraus lassen sich mit den Gleichungen des Kapitels Erwartungswerte und Momente die Kenngrößen der beiden Zufallsgrößen bestimmen: mx=8/3,σx=8/9, my=3,σy=2/3.

Aufgrund der Tatsache, dass das Definitionsgebiet D durch zwei Gerade y1(x) und y2(x) begrenzt ist, kann hier das gemeinsame Moment erster Ordnung wie folgt berechnet werden. mxy=E[xy]=x2x1xy2(x)y1(x)yfxy(x,y)dydx.


Hinweise:


Fragebogen

1

Wie lauten die Grenzgeraden des inneren Integrals zur mxy-Berechnung?

y1(x)=x+1,     y2(x)=2x+1.
y1(x)=x/2+1,     y2(x)=x+1.
y1(x)=x1,     y2(x)=2x+1.

2

Berechnen Sie das gemeinsame Moment mxy gemäß dem Doppelintegral auf der Angabenseite. Hinweis: Setzen Sie x1=0 und x2=4 .

mxy =

3

Welcher Wert ergibt sich für die Kovarianz μxy ?

μxy =

4

Wie groß ist der Korrelationskoeffizient ρxy?

ρxy =

5

Wie lautet die Gleichung der Korrelationsgeraden y=K(x)? An welcher Stelle y0 schneidet die Gerade die y-Achse? Zeigen Sie, dass die Korrelationsgerade auch durch den Punkt (mx,my) geht.

y0 =


Musterlösung

1.  Richtig ist der mittlere Vorschlag: Sowohl y1(x) als auch y2(x) schneiden die y-Achse bei y = 1. Die untere Begrenzungslinie hat die Steigung 0.5, die obere die Steigung 1.
2.  Entsprechend den Hinweisen erhalten wir:
mxy=40xx+1x/2+114ydydx=1840x[(x+1)2(x2+1)2]dx.
Dies führt zum Integral bzw. Endergebnis:
mxy=1840(34x3+x2)dx=18(31644+433)=2638.667_.
3.  Da beide Zufallsgrößen jeweils einen Mittelwert ungleich 0 besitzen, folgt für die Kovarianz:
μxy=mxymxmy=263833=2/3=0.667_.
4.  Mit den angegebenen Streuungen erhält man:
ρxy=μxyσxσy=2/38/92/3=0.75=0.866_.
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5.  Für die Korrelationsgerade gilt allgemein:
ymy=ρxyσyσx(xmx).
Mit den oben berechneten Zahlenwerten erhält man
y=3/4x+1.
Die Korrelationsgerade schneidet die y-Achse bei y0 = 1 und geht auch durch den Punkt (4, 4). Jedes andere Ergebnis wäre auch nicht zu interpretieren, wenn man das Definitionsgebiet betrachtet. Setzt man mx = 8/3 ein, so erhält man y = my = 3. Das heißt: Die berechnete Korrelationsgerade geht tatsächlich durch den Punkt (mx, my), wie es die Theorie besagt.