Aufgabe 1.4Z: Summe von Ternärgrößen

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Summe von Ternärgrößen

Gegeben seien die ternären Zufallsgrößen

  • $x ∈ {–2, 0, +2}$,
  • $y ∈ {–1, 0, +1}$.

Diese beiden Ternärwerte treten jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Daraus wird als eine neue Zufallsgröße die Summe $s = x + y$ gebildet.

Das nebenstehendes Schema zeigt, dass die Summe $s$ alle ganzzahligen Werte zwischen $–3$ und $+3$ annehmen kann: 

\( s \in \{-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3\}.\)


Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.
  • Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
  • Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das nachfolgende Lernvideo:
Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit


Fragebogen

1

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe $s$ positv ist:

${\rm Pr}(s>0) \ = $

2

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl die Eingangsgröße $x$ als auch die Summe $s$ positiv sind:

${\rm Pr}[(x>0) \cap (s>0)] \ =$

3

Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Eingangsgröße $x > 0$ ist, wenn $s > 0$ gilt:

${\rm Pr}(x>0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}s>0)\ =$

4

Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Summe $s$ positiv ist, wenn die Eingangsgröße $x >$ 0 ist:

${\rm Pr}(s>0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x>0)\ =$


Musterlösung

P ID99 Sto Z 1 4 a.png
In der nebenstehenden Grafik sind die drei zum Ereignis $„x > 0“$ gehörenden Felder violett umrandet, während die Felder für $„s > 0“$ gelb hinterlegt sind. Alle gesuchten Wahrscheinlichkeiten können hier mit Hilfe der klassischen Definition ermittelt werden.


1.  Dieses Ereignis ist durch die gelb hinterlegten Felder gekennzeichnet:
$$\rm Pr (\it s > \rm 0) = \rm 4/9 \hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.444}.$$
2.  Hier gilt folgender Sachverhalt:

$$\rm Pr((\it x > \rm 0) \cap (\it s>\rm 0) ) = \rm Pr(\it x > \rm 0) =\rm 3/9\hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.333}. $$

3.  Mit den Ergebnissen aus (a) und (b) folgt:
$$\rm Pr(\it x > \rm 0 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} \it s > \rm 0) = \frac{{\rm Pr} ((\it x > \rm 0) \cap (\it s > \rm 0))}{{\rm Pr}(\it s > \rm 0)}= \frac{3/9}{4/9}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.75}.$$
4.  Analog zur Teilfrage (c) gilt nun:
$$\rm Pr(\it s > \rm 0 \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} \it x > \rm 0)=\frac{Pr((\it x > \rm 0) \cap (\it s > \rm 0))}{Pr(\it x >\rm 0)}=\rm \frac{3/9}{3/9}\hspace{0.15cm}\underline {= 1}.$$