Aufgabe 3.6Z: Komplexe Exponentialfunktion

In Zusammenhang mit Bandpass-Systemen (Kapitel 4) wird oft mit einseitigen Spektren gearbeitet. In der Abbildung sehen Sie eine solche einseitige Spektralfunktion $\text{X(f)}$ , die ein komplexes Zeitsignal $\text{x(t)}$ zur Folge hat.

In der unteren Skizze ist $\text{X(f)}$ in einen – bezüglich der Frequenz – geraden Anteil $\text{G(f)}$ sowie einen ungeraden Anteil $\text{U(f)}$ aufgespaltet.

Verwenden Sie für die Aufgabe die Parameterwerte

$A = 1 \text{V}$ ,

$f_0 = 125 \text{kHz}.$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation.
Alle dort dargelegten Gesetzmäßigkeiten werden im Lernvideo Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation (Dauer Teil 1: 5:57 – Teil 2: 5:55) an Beispielen verdeutlicht.
Lösen Sie diese Aufgabe mit Hilfe des Zuordnungssatzes.
Verwenden Sie für die beiden ersten Teilaufgaben die Signalparameter $A_u = 1\,\text{ V}$ und $T = 1\,\text{ ms}$ .
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Zuordnungssatz und den Verschiebungssatz im Kapitel 3.3. Alle im Kapitel 3.3 dargelegten Gesetzmäßigkeiten - unter Anderem auch der Verschiebungssatz und der Integrationssatz - werden in einem Lernvideo an Beispielen verdeutlicht:

Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation

Fragebogen

Musterlösung

1.

$\text{G(f)}$ ist die Spektralfunktion eines Cosinussignals mit der Periodendauer

$T_0 = 1/f_0 = 8 \text{$\mu$s}$ :

$g( t ) = A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$

Bei $t = 1 \text{$\mu$s}$ ist der Signalwert gleich $A \cdot cos(\pi /4)$ , also $0.707 \text{V}$ (Realteil) und $0$ (Imaginärteil).

2. Ausgehend von der Fourierkorrespondenz

$A \cdot {\rm \delta} ( f )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, A$

erhält man durch zweimalige Anwendung des Verschiebungssatzes (im Frequenzbereich):

$U( f ) = \frac{A}{2} \cdot \delta ( {f - f_0 } ) - \frac{A}{2} \cdot \delta ( {f + f_0 } )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, u( t ) = \frac{A}{2}\left( {{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{\pi }}f_0 t} - {\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{\rm{\pi }}f_0 t} } \right).$

Nach dem Satz von Euler kann hierfür auch geschrieben werden:

$u( t ) = {\rm{j}} \cdot A \cdot \sin ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$

Der Realteil dieses Signals ist stets $0$ . Der Imaginärteil hat zur Zeit $t = 1 \text{$\mu$s}$ den Wert $0.707 \text{V}$ .

3. Wegen $\text{X(f)} = \text{G(f)} + \text{U(f)}$ gilt auch:

$x(t) = g(t) + u(t) = A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ) + {\rm{j}} \cdot A \cdot \sin( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$

Dieses Ergebnis kann mit dem Satz von Euler wie folgt zusammengefasst werden:

$x(t) = A \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{\pi }}f_0 t} .$

Das Signal dreht in der komplexen Ebene in mathematisch positiver Richtung, also entgegen dem Uhrzeigersinn. Für eine Umdrehung benötigt der „Zeiger” die Periodendauer $T_0 = 1/f_0 = 8 \text{$\mu$s}$ . Richtig sind also die vorgegebenen Alternativen 1 und 3.

	Das Signal lautet $\text{x(t)} = A \cdot exp(j2\pi f_0 t)$ .
	In der komplexen Ebene dreht $\text{x(t)}$ im Uhrzeigersinn.
	$\text{x(t)}$ dreht stattdessen entgegen dem Uhrzeigersinn.
	Für eine Umdrehung wird eine Mikrosekunde benötigt.