Optimierung der Basisbandübertragungssysteme
Inhaltsverzeichnis
Voraussetzungen und Optimierungskriterium
Für dieses Kapitel 1.4 gilt das folgende Blockschaltbild:
Wenn nicht explizit anders angegeben, wird im Folgenden von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:
- Die Übertragung erfolgt binär, bipolar und redundanzfrei; mehrstufige und/oder codierte Systeme werden im Kapitel 2 behandelt. Der Abstand aufeinander folgender Symbole beträgt T. Die (äquivalente) Bitrate ist bei den hier getroffenen Voraussetzungen gleich R = 1/T.
- Der Sendegrundimpuls gs(t) ist rechteckförmig und weist die Amplitude s0 sowie die Impulsdauer TS ≤ T auf. Stimmt die Sendeimpulsdauer TS mit der Symboldauer T überein, so spricht man von NRZ–Rechteckimpulsen. Im Fall TS/T < 1 liegt ein RZ–Format vor.
- Als Übertragungskanal wird das AWGN–Modell mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte N0 verwendet, so dass für das Empfangssignal r(t) = s(t) + n(t) gilt. Die für systemtheoretische Untersuchungen besser geeignete zweiseitige Rauschleistungsdichte beträgt somit N0/2.
- Die Impulsantwort hE(t) des Empfangsfilters ist ebenfalls rechteckförmig, allerdings mit der Höhe 1/TE und der Breite TE. Daraus folgt für den Gleichsignalübertragungsfaktor HE(f = 0) = 1. Nur im Sonderfall TE = TS kann man HE(f) als Matched–Filter bezeichnen.
- Um Impulsinterferenzen auszuschließen, muss bei der Optimierung der beiden Systemparameter TS bzw. TE stets die Randbedingung TS + TE ≤ 2T eingehalten werden. Impulsinterferenzen werden erst im Kapitel 3 Please add link betrachtet.
- Zur Gewinnung der Sinkensymbolfolge wird ein einfacher Schwellenwertentscheider mit optimaler Entscheiderschwelle E = 0 und optimalen Detektionszeitpunkten (bei νT) verwendet.
Unter Systemoptimierung verstehen wir hier, die Parameter TS und TE von Sendegrundimpuls und Empfangsfilter–Impulsantwort so zu bestimmen, dass die Bitfehlerwahrscheinlichkeit den kleinstmöglichen Wert annimmt.
Leistungs– und Spitzenwertbegrenzung (1)
Die Optimierung der Systemgrößen wird entscheidend dadurch beeinflusst, ob als Nebenbedingung der Optimierung Leistungsbegrenzung oder Spitzenwertbegrenzung des Sendesignals gefordert wird.
\[P_{\rm S}= {\rm E}[s(t)^2] = \overline{s(t)^2} \le P_{\rm S,\hspace{0.05cm} max}\hspace{0.05cm}.\] Um die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit zu erzielen, wird man natürlich die mittlere Sendeleistung PS im erlaubten Bereich möglichst groß wählen. Deshalb wird im Folgenden stets
PS = PS, max gesetzt.
Die Frage, ob als Nebenbedingung der Optimierung tatsächlich von Leistungsbegrenzung ausgegangen werden kann, hängt von den technischen Randbedingungen ab. Diese Annahme ist insbesondere bei Funkübertragungssystemen gerechtfertigt, unter Anderem deshalb, weil die als „Elektrosmog” bekannte Beeinträchtigung von Mensch und Tier in starkem Maße von der (mittleren) Strahlungsleistung abhängt.
Anzumerken ist, dass ein Funkübertragungssystem natürlich nicht im Basisband arbeitet. Die hier am Beispiel der Basisbandübertragung definierten Beschreibungsgrößen werden aber im Kapitel 4 dieses Buches dahingehend modifiziert, dass sie auch für digitale Trägerfrequenzsysteme anwendbar sind.
\[|s(t)| \le s_0\hspace{0.4cm}{\rm{f\ddot{u}r}}\hspace{0.15cm}{\rm alle}\hspace{0.15cm}t.\] Oft verwendet man anstelle von Spitzenwertbegrenzung auch den Begriff
Amplitudenbegrenzung, der aber den Sachverhalt nicht ganz richtig wiedergibt.
Natürlich wird auch bei Spitzenwertbegrenzung die Leistung begrenzt, aber nicht die mittlere, sondern die Spitzenleistung. Die Nebenbedingung „Spitzenwertbegrenzung” ist zum Beispiel dann sinnvoll und sogar notwendig, wenn
- der Aussteuerbereich des Senders wegen Nichtlinearitäten von Bauelementen und Endverstärkern beschränkt ist, oder
- die Nebensprechstörung zu keiner Zeit einen gewissen Wert nicht überschreiten darf. Hierauf ist insbesondere bei der Kommunikation über Zweidrahtleitungen zu achten.
Leistungs– und Spitzenwertbegrenzung (2)
- Beim System A (TS = T, TE = T) handelt es sich um die Matched–Filter–Realisierung mit NRZ–Rechteckimpulsen.
- Die Rauschleistung ist σd2 = N0/(2T). Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich somit unter Berücksichtigung von s02 · T = EB („Energie pro Bit”) wie folgt:
- \[p_{\rm B} ={\rm Q} \left( {{g_0}/{\sigma_d}}\right)=
{\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot s_0^2 \cdot
T}/{N_0}}\right)= {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.\]
- Beim System B (TS = T, TE = T/2) ist das Empfangsfilter hE(t) nicht an den Sendegrundimpuls gs(t) angepasst. Deshalb ergibt sich ein trapezförmiger Detektionsgrundimpuls gd(t):
- Die Rauschleistung ist σd2 = N0/(2T). Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich somit unter Berücksichtigung von s02 · T = EB („Energie pro Bit”) wie folgt:
- \[p_{\rm B} ={\rm Q} \left( {{g_0}/{\sigma_d}}\right)= {\rm Q} \left( \sqrt{{ s_0^2 \cdot T}/{N_0}}\right)= {\rm Q} \left( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.\]
- Beim System C (TS = T/2, TE = T/2) ist wie bei System A die Matched–Filter–Bedingung erfüllt, allerdings bei RZ–Rechteckimpulsen mit dem Tastverhältnis 1/2.
- Die Rauschleistung ist so groß wie bei System B ⇒ σd2 = N0/T. Bei der zweiten Gleichung ist berücksichtigt, dass die Energie pro Bit jetzt nur noch halb so groß ist ⇒ EB = 1/2 · s02 · T:
- \[p_{\rm B} ={\rm Q} \left( {{g_0}/{\sigma_d}}\right)= {\rm Q} \left( \sqrt{{ s_0^2 \cdot T}/{N_0}}\right)= {\rm Q} \left( \sqrt{2 \cdot {E_{\rm B}}/{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.\]
Leistungs– und Spitzenwertbegrenzung (3)
Diese beiden Diagramme in doppelt–logarithmischer Darstellung sind wie folgt zu interpretieren:
- Die linke Grafik vergleicht die Systeme bei gleicher mittlerer Leistung (Ps) bzw. bei konstanter Energie pro Bit (EB). Da der Abszissenwert zusätzlich auf N0 bezogen ist, gibt pB(EB/N0) den Sachverhalt auch für unterschiedliche Rauschleistungsdichten (N0) richtig wieder.
- Bei Leistungsbegrenzung sind die Konfigurationen A und C gleichwertig und stellen jeweils das Optimum dar. Wie auf den nächsten Seiten hergeleitet wird, liegt ein bei Leistungsbegrenzung optimales System immer dann vor, wenn gs(t) und hE(t) formgleich sind (Matched–Filter). Die kleinere Leistung von System C wird durch die hier gewählte Abszisse ausgeglichen.
- Dagegen wird bei System B die Matched–Filter–Bedingung nicht eingehalten (TE ≠ TS) und die Fehlerwahrscheinlichkeitskurve liegt nun um 3 dB rechts von der durch die Systeme A und C vorgegebenen Grenzkurve.
- Die rechte Grafik beschreibt das Optimierungsergebnis bei Spitzenwertbegrenzung, was an der Abszissenbeschriftung zu erkennen ist. Der Kurvenzug A (NRZ–Impuls, Matched–Filter) gibt auch hier die Grenzkurve an, die von keinem anderen System unterschritten werden kann.
- Die Kurve B in der rechten Grafik hat den genau gleichen Verlauf wie in der linken Darstellung, da wiederum NRZ–Sendeimpulse verwendet werden. Der Abstand von 3 dB zur Grenzkurve ist wieder auf die Nichteinhaltung der Matched–Filter–Bedingung zurückzuführen.
- Im Gegensatz zur linken Grafik liegt nun auch das Matched–Filter–System C um 3 dB rechts vom Optimum. Der Grund für diese Degradation ist, dass bei gleichem Spitzenwert (gleicher Spitzenleistung) das System C nur die halbe mittlere Leistung wie das System A bereitstellt.
Systemoptimierung bei Leistungsbegrenzung (1)
Die Minimierung der Bitfehlerwahrscheinlichkeit
\[p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_d}\right)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Minimum}\]
kann aufgrund des monotonen Funktionsverlaufs der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion Q(x) auf die Maximierung des Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnisses vor dem Schwellenwertentscheider (Detektions–SNR) zurückgeführt werden:
\[\rho_d ={g_0^2}/{\sigma_d^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow
\hspace{0.3cm}{\rm Maximum}\hspace{0.05cm}.\]
Hierbei steht g0 als Abkürzung für gd(t = 0). Gleichzeitig muss sichergestellt werden, dass
- der Detektionsgrundimpuls gd(t) = gs(t) ∗ hE(t) das erste Nyquistkriterium erfüllt, und
- die Energie des Sendegrundimpulses gs(t) einen vorgegebenen Wert EB nicht überschreitet.
In den vorangegangenen Abschnitten wurde bereits mehrfach erwähnt, dass beim AWGN–Kanal für das optimale System unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung gilt:
\[p_{\rm B, \hspace{0.05cm}min} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} L}}}\right)\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}
\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} L}}={2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}\hspace{0.05cm}.\]
\[\eta_{\rm L} = \frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}
L}}}= \frac{g_0^2 /\sigma_d^2}{2 \cdot E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.05cm}.\]
Hierbei sind folgende Systemgrößen verwendet:
- g0 = gd(t = 0) gibt die Amplitude des betrachteten Nyquistimpulses an.
- EB beschreibt die Energie des Sendegrundimpulses.
- N0 ist die (einseitige) AWGN-Rauschleistungsdichte.
- σd2 bezeichnet die Detektionsstörleistung für das gegebene Empfangsfilter.
Nachfolgend wird gezeigt, dass für den Systemwirkungsgrad stets ηL ≤ 1 gilt.
Systemoptimierung bei Leistungsbegrenzung (2)
Der Beweis erfolgt im Frequenzbereich. Aus Darstellungsgründen normieren wir den Sendegrundimpuls:\[h_{\rm S}(t) = \frac{g_s(t)}{g_0 \cdot T} \hspace{0.4cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.4cm}
H_{\rm S}(f) = \frac{G_s(f)}{g_0 \cdot T} \hspace{0.05cm}.\]
Damit hat hS(t) die Einheit 1/s und HS(f) ist dimensionslos. Für die einzelnen Systemgrößen folgt daraus:
- Aufgrund des ersten Nyquistkriteriums muss gelten:\[G_d(f) = G_s(f) \cdot H_{\rm E}(f) = G_{\rm Nyq}(f)\]
\(\Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f)= H_{\rm
Nyq}(f)= \frac{G_{\rm Nyq}(f)}{g_0 \cdot T}\hspace{0.05cm}.\)
- Die Amplitude des Detektionsgrundimpulses ist gleich
\[g_d(t=0) = g_0 \cdot T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f = g_0\hspace{0.05cm}.\]
- Die Energie des Sendegrundimpulses ist wie folgt gegeben:\[E_{\rm B} = g_0^2 \cdot T^2 \cdot
\int_{-\infty}^{+\infty}|H_{\rm S}(f)|^2 \,{\rm d} f \hspace{0.05cm}.\]
- Die Detektionsstörleistung lautet:\[\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}|H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f =
\frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\frac {|H_{\rm Nyq}(f)|^2}{|H_{\rm S}(f)|^2} \,{\rm d} f\hspace{0.05cm\]
- Setzt man diese Teilergebnisse in die Gleichung für den Systemwirkungsgrad ein, so erhält man:\[\eta_{\rm L} = \left [ {T \cdot
\int_{-\infty}^{+\infty}|H_{\rm S}(f)|^2 \,{\rm d} f
\hspace{0.2cm} \cdot \hspace{0.2cm}T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\frac {|H_{\rm Nyq}(f)|^2}{|H_{\rm S}(f)|^2} \,{\rm d} f } \right ]^{-1}\hspace{0.05cm}.\]
- Wendet man auf den Ausdruck in der Klammer die Schwartzsche Ungleichung Bronstein, I.N.; Semendjajew, K.A.: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Frankfurt: Harry Deutsch, 2001.
\(T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}|H_{\rm 1}(f)|^2 \,{\rm d} f
\hspace{0.2cm} \cdot \hspace{0.2cm} T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}|H_{\rm 2}(f)|^2 \,{\rm d} f
\hspace{0.3cm}\ge\hspace{0.3cm}
\left [ T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}|H_{\rm 1}(f) \cdot H_{\rm 2}(f)| \,{\rm d} f \right ]^2\)
\(\Rightarrow \hspace{0.3cm}T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}|H_{\rm S}(f)|^2 \,{\rm d} f
\hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\frac {|H_{\rm Nyq}(f)|^2}{|H_{\rm S}(f)|^2} \,{\rm d} f
\hspace{0.2cm}\ge\hspace{0.2cm}
\left [ T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.5cm}H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f \right ]^2 = 1 \)
an, so erkennt man, dass stets ηL ≤ 1 gilt. Die Auswertung zeigt, dass für
\(H_{\rm S, \hspace{0.05cm}opt}(f) = \gamma \cdot \sqrt{H_{\rm Nyq}(f)}\)
in obiger Ungleichung unabhängig vom Parameter γ das Gleichheitszeichen gilt:\[\gamma^2 \cdot T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.3cm} H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f
\hspace{0.2cm} \cdot \hspace{0.2cm} \frac {1}{\gamma^2} \cdot T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-0.3cm}H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f
= \left [ T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.3cm}H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f \right ]^2 = 1\]
\(\Rightarrow \hspace{0.3cm} \eta_{\rm L} = 1 \hspace{0.05cm}.\)
Im Folgenden wird meist vereinfachend γ = 1 gesetzt.
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