Aufgabe 5.1: Zum Abtasttheorem
Gegeben ist ein Analogsignal x(t) entsprechend der Skizze. Bekannt ist, dass dieses Signal keine höheren Frequenzen als BNF = 4 kHz beinhaltet. Durch Abtastung (Abtastrate fA) erhält man das in der Grafik rot eingezeichnete Signal xA(t). Zur Signalrekonstruktion wird ein Tiefpass mit dem Frequenzgang
$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c} {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ \end{array}\begin{array}{*{5}c} |f| < f_1 \hspace{0.05cm}, \\ |f| > f_2 \hspace{0.05cm} \\ \end{array}$$
eingesetzt. Der Bereich zwischen den Frequenzen f1 und f2 > f1 ist für die Lösung dieser Aufgabe nicht relevant. Die Eckfrequenzen f1 und f2 sind so zu bestimmen, dass das Ausgangssignal y(t) des Tiefpasses mit dem Signal x(t) exakt übereinstimmt. Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 5.1. Zu der hier behandelten Thematik gibt es auch ein Interaktionsmodul: Abtastung periodischer Signale und Signalrekonstruktion
Fragebogen
Musterlösung
c) Es muss sichergestellt sein, dass alle Frequenzen des Analogsignals mit H(f) = 1 bewertet werden. Daraus folgt (siehe Skizze): f1, min = BNF = 4 kHz. d) Ebenso muss garantiert werden, dass alle Spektralanteile von XA(f), die in X(f) nicht enthalten sind, durch den Tiefpass entfernt werden. Entsprechend der Skizze gilt f2, max = fA – BNF = 6 kHz.