Aufgabe 1.2: Verzerrungen? Oder keine Verzerrung?

Betrachtete Sinkensignale für das
gegebene Eingangssignal $q(t)$

Die Nachrichtensysteme $S_1$, $S_2$ und $S_3$ werden hinsichtlich der durch sie verursachten Verzerrungen analysiert. Zu diesem Zwecke wird an den Eingang eines jeden Systems das cosinusförmige Testsignal mit der Signalfrequenz $f_{\rm N} = 1\text{ kHz}$ angelegt:

$$q(t) = 2 \;{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t )$$

Gemessen werden die drei Signale am Systemausgang, die in der Grafik dargestellt sind:

$$v_1(t) = 2 \;{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t )\hspace{0.05cm},$$

$$v_2(t) = 1 \;{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t + 1 \;{\rm V} \cdot \sin(2 \pi f_{\rm N} t) \hspace{0.05cm},$$

$$v_3(t)= 1.5 \;{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t) - 0.3 \;{\rm V} \cdot \cos(6 \pi f_{\rm N} t)\hspace{0.05cm}.$$

Die in der Praxis stets vorhandenen Rauschanteile werden hier als vernachlässigbar klein angenommen werden.
Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Qualitätskriterien. Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Signal-zu-Stör-Leistungsverhältnis und auf das Kapitel Nichtlineare Verzerrungen im Buch „Lineare zeitinvariante Systeme”.
Bei nichtlinearen Verzerrungen ist das Sinken–SNR $ρ_v = 1/K^2,$ wobei der Klirrfaktor $K$ das Verhältnis der Effektivwerte aller Oberwellen zum Effektivwert der Grundfrequenz angibt.

Fragebogen

Musterlösung

(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 3:

Das System $S_1$ könnte durchaus ein ideales System sein, nämlich dann, wenn für alle Frequenzen $f_{\rm N}$ die Bedingung $v(t) = q(t)$ erfüllt wäre.
Auch die zweite Alternative ist möglich, da das ideale System ein Sonderfall der verzerrungsfreien Systeme darstellt.
Würde bei einer anderen Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} \ne 1$ kHz die Bedingung $v(t) = q(t)$ allerdings nicht erfüllt, so würde ein linear verzerrendes System vorliegen, dessen Frequenzgang bei der Frequenz $f_{\rm N}$ zufällig gleich 1 wäre.
Dagegen kann ein nichtlinear verzerrendes System (Vorschlag 4) aufgrund fehlender Oberwellen ausgeschlossen werden.

(2) Entsprechend den Ausführungen im Kapitel „Harmonische Schwingung” im Buch „Signaldarstellung” gelten folgende Gleichungen:

$$A \cdot \cos(\omega_{\rm N} t ) + B \cdot \sin(\omega_{\rm N} t ) = C \cdot \cos(\omega_{\rm N} t - \varphi)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} C = \sqrt{A^2 + B^2},\hspace{0.5cm}\varphi ={\rm arctan}\hspace{0.1cm} ({A}/{B})\hspace{0.05cm}$$

Angewandt auf das vorliegende Beispiel erhält man

$$C = \sqrt{(1 \,{\rm V})^2 + (1 \,{\rm V})^2}= 1.414\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$

Der Dämpfungsfaktor des Systems hat somit den Wert $α = 1.414/2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.707}$, und für die Phase gilt:

$$ \varphi ={\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac {1 \,{\rm V}}{1 \,{\rm V}} = 45^{\circ} = {\pi}/{4}\hspace{0.05cm}.$$

Die Umformung $\cos(\omega_{\rm N} t - \varphi)= \cos[\omega_{\rm N} (t - \tau)]$ erlaubt Aussagen über die Laufzeit:

$$\tau =\frac {\varphi}{2\pi f_{\rm N}} = \frac {\pi /4}{2\pi f_{\rm N}} = \frac {1}{8 \cdot 1 \,{\rm kHz}} \hspace{0.15cm}\underline {= 125\,{\rm µ s}}\hspace{0.05cm}.$$

(3) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

Das System $S_2$ ist nach den Ausführungen zur Teilaufgabe (1) weder ideal noch nichtlinear verzerrend.
Dagegen sind die Alternativen 2 und 3 möglich, je nachdem, ob die berechneten Werte von $α$ und $τ$ für alle Frequenzen erhalten bleiben oder nicht.
Mit einer einzigen Messung bei nur einer Frequenz kann allerdings diese Frage nicht geklärt werden.

(4) Das Signal $v_3(t)$ beinhaltet eine Oberwelle dritter Ordnung. Deshalb ist die Verzerrung nichtlinear ⇒ Lösungsvorschlag 2.

(5) Mit den Amplituden $A_1 = 1.5 \ \rm V$ und $A_3 = -0.3\ \rm V$ erhält man für den Klirrfaktor:

$$ K_3 =\frac {|A_3|}{|A_1|} = 0.2\hspace{0.05cm}.$$

Deshalb beträgt das Sinken–SNR entsprechend der angegebenen Gleichung $ρ_{v3} = 1/K_3^{ 2 } = 25$.

Zum gleichen Ergebnis kommt man nach der allgemeinen Berechnung. Aus den Amplituden von Quellensignal und Grundwelle des Sinkensignals erhält man für den frequenzunabhängigen Dämpfungsfaktor:

$$ \alpha =\frac {1.5 \,{\rm V}}{2 \,{\rm V}} = 0.75\hspace{0.05cm}.$$

Das von den nichtlinearen Verzerrungen herrührende Fehlersignal lautet deshalb: $\varepsilon_3(t) = v_3(t) - \alpha \cdot q(t) = - 0.3 \,{\rm V} \cdot \cos(6 \pi f_{\rm N} t)\hspace{0.05cm}.$ Damit ergibt sich die Verzerrungsleistung:

$$P_{\varepsilon 3}= {1}/{2} \cdot (0.3 \,{\rm V})^2 = 0.045 \,{\rm V}^2\hspace{0.05cm}.$$

Mit der Leistung des Quellensignals,

$$P_{q}= {1}/{2} \cdot (2\,{\rm V})^2 = 2 \,{\rm V}^2\hspace{0.05cm},$$

erhält man unter Berücksichtigung des gerade berechneten Dämpfungsfaktors $ \alpha = 0.75 $:

$$\rho_{v3} = \frac{\alpha^2 \cdot P_{q}}{P_{\varepsilon 3}} = \frac{0.75^2 \cdot 2 {\rm V}^2}{0.045 } \hspace{0.15cm}\underline {= 25}\hspace{0.05cm}.$$

	$S_1$ könnte ein ideales System sein.
	$S_1$ könnte ein verzerrungsfreies System sein.
	$S_1$ könnte ein linear verzerrendes System sein.
	$S_1$ könnte ein nichtlinear verzerrendes System sein.

	$S_2$ könnte ein ideales System sein.
	$S_2$ könnte ein verzerrungsfreies System sein.
	$S_2$ könnte ein linear verzerrendes System sein.
	$S_2$ könnte ein nichtlinear verzerrendes System sein.

	Es handelt sich um lineare Verzerrungen.
	Es handelt sich um nichtlineare Verzerrungen.