Aufgabe 1.7Z: BARBARA-Generator
Betrachtet wird hier ein ternärer Zufallsgenerator mit den Symbolen $A$, $B$ und $R$, der durch eine homogene und stationäre Markovkette erster Ordnung beschrieben werden kann.
Die Übergangswahrscheinlichkeiten können dem skizzierten Markovdiagramm entnommen werden. Für die ersten drei Teilaufgaben soll stets $p = 1/4$ gelten.
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Markovketten.
Fragebogen
Musterlösung
- Die Summe aller abgehenden Pfeile muss immer $1$ sein. Deshalb gilt $q = 1 - p$.
- Aufgrund der Symmetrie des Markovdiagramms sind die ergodischen Wahrscheinlichkeiten alle gleich:
- $${\rm Pr}(A) ={\rm Pr}(B) ={\rm Pr}(R) = 1/3.$$
(2) Wenn man zum Startzeitpunkt $\nu = 0$ im Zustand $B$ ist, ist für den Zeitpunkt $\nu=1$ wegen ${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 0$ der Zustand $B$ nicht möglich.
Man scheitert hier bereits beim Anfangsbuchstaben $B$:
- $$p_{\rm B} \; \underline{ =0}.$$
Für die Berechnung von $p_{\rm A}$ ist zu beachten: Ausgehend von $A$ geht man im Markovdiagramm zunächst zu $B$ (mit der Wahrscheinlichkeit $q$), dann fünfmal im Uhrzeigersinn (jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $p$) und schließlich noch von $R$ nach $A$ (mit der Wahrscheinlichkeit $q$). Das bedeutet:
- $$p_{\rm A} = q^2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} p^5 = 3^2 / 4^7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.549 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 10^{-3}}.$$
In ähnlicher Weise erhält man:
- $$p_{\rm R} = q \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} p^6 = 3 / 4^7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.183 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 10^{-3}}.$$
(3) Durch Mittelung über die bedingten Wahrscheinlichkeiten erhält man:
- $${\rm Pr}(BARBARA) = p_{\rm A} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(A) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}p_{\rm B} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(B) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}p_{\rm R} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(R).$$
Dies führt zum Ergebnis:
- $${\rm Pr}(BARBARA) = {1}/{3} \cdot \left( q^2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} p^5 \hspace{0.1cm} +\hspace{0.1cm}0 \hspace{0.1cm} +\hspace{0.1cm}q \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} p^6 \right) = \frac{q \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} p^5 }{3} \cdot (p+q) = \hspace{-0.15cm} \frac{q \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} p^5 }{3} \hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.244 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 10^{-3}}.$$
(4) Die im Punkt (3) berechnete Wahrscheinlichkeit lautet $p^5 \cdot (1-p)/3$, wobei $q= 1-p$ berücksichtigt ist.
Durch Nullsetzen des Differentials erhält man die Bestimmungsgleichung:
- $$5 \cdot p^4 - 6 \cdot p^5 = 0 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} p_{\rm opt} = 5/6 \hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.833}.$$
Damit ergibt sich ein gegenüberder Teilaufgabe (3) etwa um den Faktor $90$ größerer Wert:
- $${\rm Pr}(BARBARA) \hspace{0.15cm}\underline { \approx 22 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 10^{-3}}.$$