Aufgabe 3.09: Grundlegendes zum Viterbi–Algorithmus
Die Grafik zeigt ein Trellisdiagramm und definiert gleichzeitig die Fehlergrößen ${\it \Gamma}_i(S_0)$ und ${\it \Gamma}_i(S_1)$ zu den Zeitpunkten $i = 0$ bis $i = 5$. Aus diesem Trellis können zum Beispiel abgelesen werden:
- die Coderate $R$,
- das Gedächtnis $m$,
- die freie Distanz $d_{\rm F}$,
- die Informationssequenzlänge $L$,
- die Sequenzlänge $L'$ inklusive der Terminierung.
In der Aufgabe ist weiter zu klären:
- die Bedeutung des Endwertes ${\it \Gamma}_5(S_0)$,
- Auswirkungen von einem bzw. zwei Übertragungsfehlern.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Decodierung von Faltungscodes.
Fragebogen
Musterlösung
- Es gibt hier $2^{k \cdot m} = 2$ Zustände. Daraus folgt $k = 1$ und $m = 1$.
- Pro Codierschritt werden $n = 2$ Codebits ausgegeben ⇒ $R = 1/2$.
- Die Informationssequenzlänge ist $L = 4$.
- Erst durch ein (da $m = 1$) zusätzliches Terminierungsbit kommt man zur Gesamtlänge $L' = 5$.
(2) Die freie Distanz $d_{\rm F}$ ist definiert als die Anzahl der Codebits, in denen sich zwei Sequenzen $\underline{x}$ und $\underline{x'}$ unterscheiden. Als Bezugssequenz wählen wir die Nullsequenz:
- $$\underline{x}\hspace{0.03cm}' = \underline{0} = \big (00\hspace{0.05cm}, 00\hspace{0.05cm}, 00\hspace{0.05cm}, 00\hspace{0.05cm}, ... \hspace{0.1cm} \big ) \hspace{0.05cm},$$
ausgedrückt mit der Zustandsabfolge: $S_0 → S_0 → S_0 → S_0 → \ \text{...} \ $
- Eine der Folgen $\underline{x} ≠ \underline{0}$, die sich von $\underline{0}$ nur in der minimalen Anzahl an Codebits unterscheidet, folgt dem Pfad $S_0 → S_1 → S_0 → S_0 → \\text{...} \ $:
- $$\underline{x} = \big (11\hspace{0.05cm}, 01\hspace{0.05cm}, 00\hspace{0.05cm}, 00\hspace{0.05cm}, ... \hspace{0.1cm} \big ) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} d_{\rm F}\hspace{0.1cm}\underline{ = 3} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Richtig ist hier nur der Vorschlag 3, weil das Ereignis „Kein Übertragungsfehler” sehr viel wahrscheinlicher ist als drei Fehler an genau vorgegebenen Positionen. Betrachten Sie hierzu die folgende Grafik:
- Wird die Nullsequenz gesendet und diese auch empfangen, so kann die Viterbi–Decodierung durch das nachfolgende Trellis veranschaulicht werden.
- Der Endwert der Fehlergröße ist ${\it \Gamma}_5(S_0) = 0$, und der Viterbi–Decoder entscheidet mit Sicherheit richtig: $\underline{z} = \underline{x} ⇒ \underline{v} = \underline{u}$.
- Für das untere Trellis gehen wir ebenfalls von $\underline{u} = (0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0) ⇒ \underline{x} = (00, \, 00, \, 00, \, 00, \, 00)$ aus. Empfangen wird aber nun $\underline{y} = (00, \, 00, \, 00, \, 11, \, 01)$. Trotzdem gilt ${\it \Gamma}_5(S_0) = 0$. Das Beispiel belegt, dass die beiden ersten Aussagen falsch sind.
(4) Richtig sind alle Antworten:
- Wenn man sicher weiß, dass nur ein Übertragungsfehler aufgetreten ist, funktioniert bei einem Faltungscode mit der freien Distanz $d_{\rm F} = 3$ der Viterbi–Algorithmus perfekt, egal, an welcher Position der Fehler aufgetreten ist.
(5) Keiner der Lösungsvorschläge ist richtig, wie aus den nachfolgenden Beispielen zu erkennen ist.