Aufgabe 3.7: Winkelmodulation einer harmonischen Schwingung

Möglicher FM–Demodulator

Das an einem Empfänger ankommende Signal lautet:

$$ r(t) = 3\,{\rm V} \cdot \cos\left[2 \pi \cdot 1\,{\rm MHz} \cdot t + 3 \cdot \cos(2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t)\right]\hspace{0.05cm}.$$

Bei $r(t)$ handelt es sich um ein winkelmoduliertes Signal, das bei der Übertragung weder verzerrt noch durch Rauschen beaufschlagt wurde. Die Signale $v_{\rm PM}(t)$ und $v_{\rm FM}(t)$ ergeben sich nach idealer Demodulation mittels

Phasendemodulator, gegeben durch die Gleichung

$$ v_{\rm PM}(t) = \frac{1}{K_{\rm PM}} \cdot \phi_r(t) \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} {K_{\rm PM}} = 2\,{\rm V}^{-1}\hspace{0.05cm},$$

Frequenzdemodulator, bestehend aus PM–Demodulator, Differenzierer und einer Konstanten $K$. Damit alle Signale gleiche Einheiten besitzen, ist diese Konstante $K$ dimensionsbehaftet.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Frequenzmodulation.
Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel Phasenmodulation und insbesondere auf den Abschnitt Signalverl.äufe bei Frequenzmodulation.

Fragebogen

	Es könnte eine PM–Modulation vorliegen.
	Es könnte eine FM–Modulation vorliegen.
	Die Nachrichtenphase ist sicher $ϕ_{\rm N} = 0$.
	Die Nachrichtenfrequenz ist sicher $f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$.

$v_{\rm PM}(t = 0) \ = \ $

$\ \rm V$

$ϕ_{\rm N} \ = \ $

$\ \rm Grad$

$K\ = \ $

$\ \rm \cdot 10^4 \ 1/s$

	Der Phasenhub beträgt $ϕ_{\rm max} = 3$.
	Der Frequenzhub beträgt $Δf_{\rm A} = 30 \ \rm kHz$.
	Es treten Augenblicksfrequenzen zwischen $0.97\ \rm MHz$ und $1.03 \ \rm MHz$ auf.
	Mit $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$ würde sich am Phasenhub nichts ändern.
	Mit $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$ würde sich am Frequenzhub nichts ändern.

Musterlösung

(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 4:

Aus der Gleichung für $r(t)$ kann lediglich abgelesen werden, dass es sich um eine Winkelmodulation handelt, nicht jedoch, ob eine Phasenmodulation (PM) oder eine Frequenzmodulation (FM) vorliegt.
Aufgrund der Gleichung steht fest, dass die Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$ beträgt.
Die Phase $ϕ_{\rm N} = 0$ des Quellensignals würde dagegen nur zutreffen, wenn eine Phasenmodulation vorläge.

(2) Mit der Modulatorkonstanten $K_{\rm PM} = 2 \ \rm V^{–1}$ erhält man hierfür:

$$v_{\rm PM}(t) = \frac{1}{K_{\rm PM}} \cdot \phi_r(t) = \frac{3}{2\,{\rm V}^{-1}} \cdot \cos(2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$

Für den Zeitpunkt $t = 0$ gilt deshalb:

$$v_{\rm PM}(t = 0) = {A_{\rm N}} \hspace{0.15cm}\underline {= 1.5\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

(3) Für das Ausgangssignal $v_{\rm FM}(t)$ des FM–Demodulators – bestehend aus PM–Demodulator und Differenzierer – kann man schreiben:

$$v_{\rm FM}(t) = \frac{{\rm d}v_{\rm PM}(t)}{{\rm d}t} \cdot K = \frac{K \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm N}} \cdot (- \sin(2 \pi \cdot {f_{\rm N}} \cdot t))= \frac{K \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm N}} \cdot \cos(2 \pi \cdot {f_{\rm N}} \cdot t + 90^\circ)\hspace{0.05cm}.$$

Die Nachrichtenphase ist somit $ϕ_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline {= 90^\circ}$.

(4) In diesem Fall muss gelten: $ K ={2 \pi \cdot f_{\rm N}} \hspace{0.15cm}\underline { = 6.28 \cdot 10^{4} \,\,{1}/{ s}} \hspace{0.05cm}.$

(5) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2, 3 und 5:

Der Phasenhub ist identisch mit dem Modulationsindex, der aus der angegebenen Gleichung abgelesen werden kann:

$$\phi_{\rm max} = \eta = 3 = \frac{\Delta f_{\rm A}}{ f_{\rm N}} \hspace{0.05cm}.$$

Damit erhält man den Frequenzhub $Δf_{\rm A} = 3 · f_{\rm N} = 30 \ \rm kHz$.
Mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 1 \ \rm MHz$ kann somit die Augenblicksfrequenz $f_{\rm T}(t)$ nur Werte zwischen $1±0.03 MHz$ annehmen.

Es gilt also auch folgende Aussage: Bei halber Nachrichtenfrequenz verdoppelt sich der Phasenhub $η$, während der Frequenzhub $Δf_{\rm A}$ davon nicht beeinflusst wird:

$$\eta = \frac{K_{\rm PM} \cdot A_{\rm N}}{ f_{\rm N}} = 6 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\Delta f_{\rm A} = \eta \cdot f_{\rm N} = 6 \cdot 5\,{\rm kHz} = 30\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$