Aufgabe 4.2Z: Gemischte Zufallsgrößen
Man spricht von einer gemischten Zufallsgröße, wenn die Zufallsgröße neben einem kontinuierlichen Anteil auch noch diskrete Anteile beinhaltet.
- Die Zufallsgröße $Y$ mit der Verteilungsfunktion $F_Y(y)$ gemäß der unteren Skizze besitzt beispielsweise sowohl einen kontinuierlichen als auch einen diskreten Anteil.
- Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_Y(y)$ erhält man aus $F_Y(y)$ durch Differentiation.
- Aus dem Sprung bei $y= 1$ in der Verteilungsfunktion (VTF) wird somit ein „Dirac” in der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF).
- In der Teilaufgabe $(4)$ soll die differentielle Entropie $h(Y)$ der Zufallsgröße $Y$ ermittelt werden (in bit), wobei von folgender Gleichung auszugehen ist:
- $$h(Y) = \hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}\hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_Y)} \hspace{-0.35cm} f_Y(y) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} [ f_Y(y) ] \hspace{0.1cm}{\rm d}y \hspace{0.05cm}.$$
- In der Teilaufgabe $(2)$ ist die differentielle Entropie $h(X)$ der Zufallsgröße $X$ zu berechnen, deren WDF $f_X(x)$ oben skizziert ist. Führt man einen geeigneten Grenzübergang durch, so wird auch aus der Zufallsgröße $X$ eine gemischte Zufallsgröße.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Differentielle Entropie.
- Weitere Informationen zu gemischten Zufallsgrößen finden Sie im Kapitel Verteilungsfunktion des Buches „Stochastische Signaltheorie”.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
- $$f_X(x) \hspace{0.1cm}{\rm d}x = 0.25 \cdot 2 + (A - 0.25) \cdot \varepsilon \stackrel{!}{=} 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}(A - 0.25) \cdot \varepsilon \stackrel{!}{=} 0.5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} A = 0.5/\varepsilon +0.25\hspace{0.05cm}.$$
(2) Die differentielle Entropie (in „bit”) ist wie folgt gegeben:
- $$h(X) = \hspace{0.1cm} \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}(f_X)} \hspace{-0.35cm} f_X(x) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{f_X(x)} \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.05cm}.$$
Wir unterteilen nun das Integral in drei Teilintegrale:
- $$h(X) = \hspace{-0.25cm} \int\limits_{0}^{1-\varepsilon/2} \hspace{-0.15cm} 0.25 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.25} \hspace{0.1cm}{\rm d}x + \hspace{-0.25cm}\int\limits_{1+\varepsilon/2}^{2} \hspace{-0.15cm} 0.25 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.25} \hspace{0.1cm}{\rm d}x + \hspace{-0.25cm}\int\limits_{1-\varepsilon/2}^{1+\varepsilon/2} \hspace{-0.15cm} [0.5/\varepsilon + 0.25] \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.5/\varepsilon + 0.25} \hspace{0.1cm}{\rm d}x $$
- $$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} h(X) = 2 \cdot 0.25 \cdot 2 \cdot (2-\varepsilon) - (0.5 + 0.25 \cdot \varepsilon) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}(0.5/\varepsilon +0.25) \hspace{0.05cm}.$$
Insbesondere erhält man
- für $\varepsilon = 0.1$:
- $$h(X) =1.9 - 0.525 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}(5.25) = 1.9 - 1.256 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.644\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm},$$
- für $\varepsilon = 0.01$:
- $$h(X) =1.99 - 0.5025 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}(50.25)= 1.99 - 2.84 \hspace{0.15cm}\underline{= -0.850\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}$$
- für $\varepsilon = 0.001$:
- $$h(X) =1.999 - 0.50025 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}(500.25) = 1.999 - 8.967 \hspace{0.15cm}\underline{= -6.968\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Alle Lösungsvorschläge sind hier zutreffend:
- Nach dem Grenzübergang ε → 0 erhält man für die differentielle Entropie
- $$h(X) = \lim\limits_{\varepsilon \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm} 0} \hspace{0.1cm}[(2-\varepsilon) - (0.5 + 0.25 \cdot \varepsilon) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}(0.5/\varepsilon +0.25)] = 2\,{\rm bit} - 0.5 \cdot \lim\limits_{\varepsilon \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm} 0}\hspace{0.1cm}{\rm log}_2 \hspace{0.1cm}(0.5/\varepsilon) \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} - \infty \hspace{0.05cm}.$$
- Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) ergibt sich in diesem Fall zu
- $$f_X(x) = \left\{ \begin{array}{c} 0.25 + 0.5 \cdot \delta (x-1) \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm} 0 \le x \le 2, \\ {\rm sonst} \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$
Es handelt sich demzufolge um eine „gemischte” Zufallsgröße mit
- einem stochastischen, gleichverteilten Anteil im Bereich $0 \le x \le 2$, und
- einem diskreten Anteil bei $x = 1$ mit der Wahrscheinlichkeit $0.5$.
Die Grafik zeigt links die WDF $f_X(x)$ und rechts die Verteilungsfunktion (kurz VTF) $F_X(x)$.
(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2, 3 und 5. Die untere Grafik zeigt die WDF und die VTF der Zufallsgröße $Y$. Man erkennt:
- $Y$ beinhaltet wie $X$ sowohl einen kontinuierlichen als auch einen diskreten Anteil.
- Der diskrete Anteil tritt mit der Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(Y = 1) = 0.1$ auf.
- Da $F_Y(y)= Pr({\rm Pr}(Y \le y)$ gilt, ergibt sich der rechtsseitige Grenzwert: $F_Y(y = 1) = 0.55$.
- Der kontinuierliche Anteil ist nicht gleichverteilt; vielmehr liegt eine Dreieckverteilung vor.
Richtig ist auch der letzte Vorschlag: $h(Y) = h(X) = - \infty$.
Denn: Bei jeder Zufallsgröße mit einem diskreten Anteil – und ist er auch noch so klein, ist die differentielle Entropie gleich minus unendlich.