Aufgabe 1.08Z: Äquivalente Codes
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Version vom 15. Dezember 2017, 14:31 Uhr von Guenter (Diskussion | Beiträge)
In der Grafik sind die Zuordnungen $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$ für verschiedene Codes angegeben, die im Folgenden jeweils durch die Generatormatrix $\boldsymbol{\rm G}$ und die Prüfmatrix $\boldsymbol{\rm H}$ charakterisiert werden:
- ${\boldsymbol{\rm Code \ A}}$:
- $${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm A} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 1 &0 &1 &0 &1 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
- ${\boldsymbol{\rm Code \ B}}$:
- $${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B} = \begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &1 &1\\ 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &1 &1 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm B} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
- ${\boldsymbol{\rm Code \ C}}$:
- $${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &0 &1 &1\\ 0 &0 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm C} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &0 &1 &0\\ 1 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$
- ${\boldsymbol{\rm Code \ D}}$:
- $${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &0 &0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
In dieser Aufgabe soll untersucht werden, welche dieser Codes bzw. Codepaare
- systematisch sind,
- identisch sind (das heißt: Verschiedene Codes haben gleiche Codeworte),
- äquivalent sind (das heißt: Verschiedene Codes haben gleiche Codeparameter).
Hinweise :
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten Systematische Codes sowie Identische Codes .
- Anzumerken ist, dass die Angabe einer Prüfmatrix $\boldsymbol{\rm H}$ nicht eindeutig ist. Verändert man die Reihenfolge der Prüfgleichungen, so entspricht dies einer Vertauschung von Zeilen.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig sind die Antworten 1, 3 und 4:
- Für einen systematischen (6, 3)–Blockcode muss gelten:
- $$\underline{x} = ( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6) = ( u_1, u_2, u_3, p_1, p_2, p_{3}) \hspace{0.05cm}.$$
Diese Bedingung erfüllen die Code A, Code C und Code D, nicht aber Code B.
(2) Richtig ist nur Antwort 1:
- Nur Code A und Code B sind identische Codes. Sie beinhalten genau die gleichen Codeworte und unterscheiden sich nur durch andere Zuordnungen $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$.
- Wie in der Musterlösung zur Aufgabe A1.8 (3) angegeben, gelangt man von der Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ zur Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A}$
- allein durch Vertauschen/Permutieren von Zeilen,
- oder durch Ersetzen einer Zeile durch die Linearkombination zwischen dieser Zeile und einer anderen.
(3) Richtig ist somit allein Antwort 2:
- Code A und Code B sind mehr als äquivalent, nämlich identisch.
- Code C und D unterscheiden sich zum Beispiel auch durch die minimale Hamming–Distanz $d_{\rm min} = 3$ bzw. $d_{\rm min} = 2$ und sind somit auch nicht äquivalent.
- Code B und Code C zeigen dagegen gleiche Eigenschaften, beispielsweise gilt für beide $d_{\rm min} = 3$. Sie beinhalten aber andere Codeworte.
(4) Richtig ist Antwort 3:
- Die letzte Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die erste Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$.
- Die erste Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die zweite Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$.
- Die zweite Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die dritte Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$, usw.
(5) Alle Aussagen treffen zu:
- Die Bedingung ${ \boldsymbol{\rm H}} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} = \boldsymbol{0}$ gilt für alle linearen Codes.