Aufgabe 1.4Z: Komplexes Nyquistspektrum
Betrachtet wird ein Impuls $g(t)$ mit dem Spektrum gemäß der Skizze. Man erkennt aus dieser Darstellung:
- Der Realteil von $G(f)$ verläuft trapezförmig mit den beiden Eckfrequenzen $f_{1} = 3 \ \rm kHz$ und $f_{2} = 7 \ \rm kHz$.
Im Bereich $|f| < f_{1}$ gilt $Re[G(f)]$ = $A = 10^{-4} \ \rm V/Hz$.
- Der Imaginärteil von $G(f)$ wird für die Teilaufgaben (1) bis (5) stets zu $0$ angenommen. In diesem Fall ist $g(t)$ sicher ein Nyquistimpuls.
- Ab der Teilaufgabe (6) hat der Imaginärteil $Im[G(f)]$ im Bereich $f_{1} \leq | f | \leq f_{2}$ einen Dreiecksverlauf mit den Werten $\pm B$ bei den Dreieckspitzen.
Zu überprüfen ist, ob der Impuls $g(t)$ auch mit komplexem Spektrum der ersten Nyquistbedingung genügt:
- $$g(\nu T) = \left\{ \begin{array}{c} g_0 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} \nu = 0 \hspace{0.05cm}, \\ \nu \ne 0 \hspace{0.1cm}. \\ \end{array}$$
Im Verlauf dieser Aufgabe wird auf folgende Beschreibungsgrößen Bezug genommen:
- Die Nyquistfrequenz gibt den Symmetriepunkt des Flankenabfalls an:
- $$f_{\rm Nyq}= \frac{1}{2T}= \frac{f_1 +f_2 } {2 }\hspace{0.05cm}.$$
- Der Rolloff–Faktor ist ein Maß für die Flankensteilheit:
- $$r = \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 } \hspace{0.05cm}.$$
Hinweis:
Die Aufgabe bezieht sich auf das Eigenschaften von Nyquistsystemen Als bekannt vorausgesetzt werden kann die Fourierrücktransformierte $g(t)$ eines trapezförmigen Nyquistspektrums mit Rolloff–Faktor $r$:
Ein dreieckförmiges Tiefpass–Spektrum $G(f)$, das auf $| f | < f_{0}$ begrenzt ist und für das $G(f = 0) = B$ gilt, führt nach der Fourierrücktransformation zu folgender Zeitfunktion:
- $$g ( t )= B \cdot f_0 \cdot {\rm si}^2 \left ( {\pi f_0 t}\right)\hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
- $$f_{\rm Nyq}= \frac{f_1 +f_2 } {2 }= \frac{3\, {\rm kHz} + 7\, {\rm kHz}} {2 } \hspace{0.1cm}\underline { = 5\, {\rm kHz}} \hspace{0.05cm}.$$
(2) Der Rolloff–Faktor ist ebenfalls durch die beiden Eckfrequenzen $f_{1}$ und $f_{2}$ festgelegt:
- $$r = \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 } = \frac{7\, {\rm kHz} - 3\, {\rm kHz}} {7\, {\rm kHz} + 3\, {\rm kHz} }\hspace{0.1cm}\underline { = 0.4 }\hspace{0.05cm}.$$
(3) Bei einem Impuls mit reellem Tiefpass–Spektrum liegt das Maximum stets bei $t = 0$ und es gilt:
- $$g_0 = g(t=0) = \int_{-\infty}^{+\infty}G(f) \,{\rm d} f = A \cdot 2 f_{\rm Nyq} = 10^{-4 }\,\frac{\rm V}{\rm Hz}\cdot 2 \cdot 5 \cdot10^{3} \,{\rm Hz}\hspace{0.1cm}\underline { = 1\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
(4) Beim Nyquistimpuls treten die äquidistanten Nulldurchgänge im Abstand $T = 1/(2f_{\rm Nyq) = 100 \ \mu \rm s$ auf. Daraus erhält man direkt:
- $$g(t= 100\,{\rm \mu s}) = \ \hspace{0.1cm}\underline { g(T) = 0,}$$
- $$g(t= 200\,{\rm \mu s}) = \ \hspace{0.1cm}\underline {g(2T) = 0} \hspace{0.05cm}.$$
Dieses Ergebnis folgt auch aus der angegebenen Gleichung mit $r = 0.4$:
- $$g ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot t}/{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot 0.4 \cdot t}/{T}\right) \hspace{0.05cm}.$$
Verantwortlich dafür, dass die erste Nyquistbedingung erfüllt wird, ist der erste Term.
(5) (6)