Aufgabe 4.9: Höherstufige Modulation
Die Grafik zeigt AWGN–Kanalkapazitätskurven über der Abszisse 10 · lg (ES/N0):
- CGauß: Shannonsche Grenzkurve,
- CBPSK: gültig für BPSK.
Die beiden weiteren Kurvenverläufe Crot und Cbraun sollen in den Teilaufgaben (c) und (d) analysiert und möglichen Modulationsverfahren zugeordnet werden.
Hinweis
- Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 4.3.
Die hier genannten Modulationsverfahren werden anhand ihrer Signalraumkonstellation beschrieben:
In der Literatur wird manchmal die BPSK auch mit 2–ASK bezeichnet ⇒ x ∈ X = (+1, –1). Dagegen verstehen wir im LNTwww als ASK den unipolaren Fall x ∈ X = (0, 1). Nach unserer Nomenklatur gilt deshalb: CASK < CBPSK.
Dieser Sachverhalt hat aber keinen Einfluss auf die Lösung der vorliegenden Aufgabe.
Fragebogen
Musterlösung
(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 4. Würde man ES durch EB ersetzen, so wäre auch die Aussage 3 richtig. Für EB/N0 < ln 2 gilt nämlich CGauß ≡ 0 und damit auch CBPSK ≡ 0.
(3) Richtig sind die Aussagen 2, 3 und 5. Der rote Kurvenzug (Crot) liegt stets oberhalb von CBPSK, aber unterhalb von Cbraun und der Shannon–Grenzkurve CGauß. Diese Aussagen gelten auch, wenn für gewisse ES/N0–Werte Kurven innerhalb der Zeichengenauigkeit nicht zu unterscheiden sind.
Aus dem Grenzwert Crot = 2 bit/Kanalzugriff für ES/N0 → ∞ kann auf den Symbolumfang MX = 4 geschlossen werden. Die rote Kurve beschreibt also die 4–ASK. MX = 2 würde für die BPSK gelten.
Die 4–QAM führt genau zum gleichen Endwert 2 bit/Kanalzugriff. Für kleine ES/N0–Werte liegt aber die Kanalkapazität C4–QAM oberhalb der roten Kurve, da Crot von der Gauß–Grenzkurve C2 begrenzt wird, C4–QAM aber von C3. Die Bezeichnungen C2 und C3 beziehen sich hierbei auf die Teilaufgabe (a).
(4) Aus dem braunen Kurvenverlauf erkennt man die Richtigkeit der beiden ersten Aussagen, während die 8–PSK mit I– und Q–Komponente – also mit K = 2 Dimensionen – für kleinere ES/N0–Werte etwas oberhalb der braunen Kurve liegen wird.
In nebenstehender Grafik sind die beiden Systeme gemäß den Vorschlägen 4 und 5 eingezeichnet.
- Der violette Punkt liegt über der Kurve C8–ASK. Das heißt: 10 · lg (ES/N0) = 10 dB und R = 2.5 reichen nicht, um die 8–ASK fehlerfrei decodieren zu können ⇒ R > C ⇒ Kanalcodierungstheorem wird nicht erfüllt.
- Reduziert man die Coderate auf R = 2 < C, so wird das Kanalcodierungstheorem erfüllt ⇒ gelber Punkt.
Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1, 2 und 5.