Aufgabe 4.7: Spektren von ASK und BPSK
Die Sendesignale von $\rm ASK$ ("Amplitude Shift Keying") und $\rm BPSK$ ("Binary Phase Shift Keying") können in der Form
- $$s(t) = q(t) · z(t)$$
dargestellt werden, wobei $z(t)$ eine harmonische Schwingung mit der Frequenz $f_{\rm T}$ und der Amplitude $1$ darstellt. Die Trägerphase $ϕ_{\rm T}$ ist für die hier betrachteten Leistungsdichtespektren nicht von Bedeutung.
- Die Quelle ist jeweils redundanzfrei, was bedeutet, dass die beiden möglichen Symbole gleichwahrscheinlich sind und die Symbole statistisch voneinander unabhängig.
- Bei ASK sind unipolare Amplitudenkoeffizienten – das heißt: $a_ν ∈ \{0,\ 1\}$ – des Quellensignals
- $$ q(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_\nu \cdot g_q (t - \nu \cdot T)$$
- anzusetzen, während im Fall der BPSK $a_ν ∈ \{-1,\ +1\}$ zu berücksichtigen ist.
In der Grafik sind die Leistungsdichtespektren ${\it Φ}_q(f)$ und ${\it Φ}_s(f)$ von Quellensignal und Sendesignal angegeben, die sich bei einem NRZ–Rechteckimpuls $g_q(t)$ mit der Amplitude $s_0 = 2 \ \rm V$ und der Dauer $T = 1 \ \rm µ s$ ergeben. Damit lautet die Spektralfunktion:
- $$G_q(f) = s_0 \cdot T \cdot {\rm si}(\pi f T)\hspace{0.05cm}.$$
Zu bestimmen sind die Konstanten $A$, $B$, $C$ und $D$ für die Modulationsverfahren $\rm ASK$ und $\rm BPSK$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Lineare digitale Modulation.
- Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel Grundlagen der codierten Übertragung im Buch „Digitalsignalübertragung”.
- Die Leistungen sind in $\rm V^2$ anzugeben; sie beziehen sich somit auf den Bezugswiderstand $R = 1 \ \rm \Omega$.
Fragebogen
Musterlösung
- Ohne diesen Gleichanteil ergäbe sich das stochastische Rechtecksignal $q(t) - m_q ∈ \{+s_0/2, -s_0/2\}$.
- Dieses gleichsignalfreie Signal besitzt den kontinuierlichen LDS–Anteil $(s_0/2)^2 · T · {\rm si}^2(πfT)$.
- Hieraus lässt sich der gesuchte Wert bei der Frequenz $f = 0$ ermitteln:
- $$A = \frac {s_0^2 \cdot T }{4} = \frac {(2\,{\rm V})^2 \cdot 10^{-6} \,{\rm s}}{4}\hspace{0.15cm}\underline {= 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}}.$$
(2) Das Spektrum $Z(f)$ eines Cosinussignals $z(t)$ besteht aus zwei Diracfunktionen bei $\pm f_{\rm T}$, jeweils mit dem Gewicht $1/2$.
- Das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_z(f)$ besteht ebenfalls aus den beiden Diracfunktionen, nun aber mit jeweiligem Gewicht $1/4$.
- Die Faltung ${\it Φ}_q(f) ∗ {\it Φ}_z(f)$ ergibt das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_s(f)$ des Sendesignals. Daraus folgt:
- $$C = {A}/{4} \hspace{0.15cm}\underline { = 0.25 \cdot 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}},\hspace{0.2cm}D = {B}/{4}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.25 \,{\rm V^{2}}}.$$
Anmerkung: Die Leistung pro Bit ergibt sich als das Integral über ${\it Φ}_s(f)$:
- $$P_{\rm S} = \int_{ - \infty }^\infty \hspace{-0.3cm} {{\it \Phi}_s(f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = 2 \cdot \int_{ 0 }^\infty \hspace{-0.3cm} {\left [ C \cdot {\rm si}^2(\pi f T) + D \cdot \delta (f - f_{\rm T}]\right ]}\hspace{0.1cm} {\rm d}f= 2 \cdot \left [ \frac{C}{T} + D \right ] = 2 \cdot \left [ \frac{0.25 \cdot 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}}{10^{-6} \,{\rm s}} + 0.25 \,{\rm V^{2}} \right ] \hspace{0.15cm}\underline {= 1 \,{\rm V^{2}}}.$$
(3) Bei BPSK ist das Quellensignal $q(t)$ bipolar anzusetzen.
- Im Leistungsdichtespektrum fehlt deshalb die Diraclinie ⇒ $\underline{B = 0}$.
- Der kontinuierliche LDS–Anteil ist viermal so groß wie bei der ASK:
- $$A = {s_0^2 \cdot T }\hspace{0.15cm}\underline { = 4 \cdot 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}}.$$
(4) Für die LDS–Parameter des BPSK–Sendesignals gilt analog zur ASK:
- $$C = \frac {A}{4}\hspace{0.15cm}\underline { = 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}},\hspace{0.2cm}D = \frac {B}{4} \hspace{0.15cm}\underline {= 0}.$$
(5) Richtig ist nur die erste Aussage:
- Bei BPSK (bipolares Quellensignal) beinhaltet ${\it Φ}_q(f)$ auch dann keine einzige Diraclinie, wenn $g_q(t)$ von der Rechteckform abweicht (gleichwahrscheinliche Symbole vorausgesetzt).
- Dagegen beinhaltet das unipolare ASK–Quellensignal unendlich viele Diraclinien bei allen Vielfachen von $1/T$.
Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie auf der Seite „AKF und LDS bei unipolaren Binärsignalen” im Buch „Digitalsignalübertragung”.