Aufgabe 4.3: Algebraische und Modulo-Summe

Ein getakteter Zufallsgenerator liefert eine Folge $\langle x_\nu \rangle$ von binären Zufallszahlen.

Es wird vorausgesetzt, dass die Binärzahlen $0$ und $1$ mit gleichen Wahrscheinlichkeiten auftreten und dass die einzelnen Zufallszahlen nicht voneinander abhängen.
Die Zufallszahlen $ x_\nu \in \{0, 1\}$ werden in die erste Speicherstelle eines Schieberegisters eingetragen und mit jeden Takt um eine Stelle nach unten verschoben.

Aus den Inhalten des dreistelligen Schieberegisters werden zwei neue Zufallsfolgen $\langle a_\nu \rangle$ und $\langle m_\nu \rangle$ gebildet:

die "algebraische Summe" $a_\nu$:

$$a_\nu=x_\nu+x_{\nu-1}+x_{\nu-2},$$

die "Modulo-2-Summe" $m_\nu$:

$$m_\nu=x_\nu\oplus x_{\nu-1}\oplus x_{\nu-2}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweidimensionale Zufallsgrößen.
Nebenstehende Tabelle kann zur Momentenberechnung herangezogen werden.

Fragebogen

Musterlösung

(1) Aus der Tabelle auf der Angabenseite ist ersichtlich, dass bei der Modulo-2-Summe die beiden Werte $0$ und $1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten:

$${\rm Pr}(m_\nu = 0) = {\rm Pr}(m_\nu = 1)\hspace{0.15cm}\underline{=0.5}.$$

(2) Die Tabelle zeigt, dass bei jeder Vorbelegung ⇒ $( x_{\nu-1}, x_{\nu-2}) = (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)$ die Werte $m_\nu = 0$ bzw. $m_\nu = 1$ gleichwahrscheinlich sind.

Anders ausgedrückt: ${\rm Pr}(m_{\nu}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m_{\nu-1}) = {\rm Pr}( m_{\nu}).$
Dies entspricht genau der Definition der „statistischen Unabhängigkeit” ⇒ Antwort 1.

(3) Richtig sind der zweite und der letzte Lösungsvorschlag.

Die 2D–WDF besteht aus vier Diracfunktionen, jeweils mit dem Gewicht $1/4$.
Man erhält dieses Ergebnis beispielsweise durch Auswertung der Tabelle auf der Angabenseite.
Da $f_{xm}(x_\nu, m_\nu)$ gleich dem Produkt $f_{x}(x_\nu) \cdot f_{m}(m_\nu)$ ist, sind die Größen $x_\nu$ und $m_\nu$ statistisch unabhängig.
Statistisch unabhängige Zufallsgrößen sind aber auch linear statistisch unabhängig, also mit Sicherheit unkorreliert.

(4) Innerhalb der Folge $\langle a_\nu \rangle$ der algebraischen Summe gibt es statistische Bindungen ⇒ Antwort 2.

Man erkennt dies daran, dass die unbedingte Wahrscheinlichkeit $ {\rm Pr}( a_{\nu} = 0) =1/8$ ist,
während zum Beispiel ${\rm Pr}(a_{\nu} = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}a_{\nu-1} = 3) =0$ gilt.

(5) Richtig sind der erste und der letzte Lösungsvorschlag:

Wie bei der Teilaufgabe (3) gibt es wieder vier Diracfunktionen, diesmal aber nicht mit gleichen Impulsgewichten $1/4$.
Die zweidimensionale WDF lässt sich somit nicht als Produkt der zwei Randwahrscheinlichkeitsdichten schreiben.
Das bedeutet aber, dass statistische Bindungen zwischen $a_\nu$ und $m_\nu$ bestehen müssen.
Für den gemeinsamen Erwartungswert erhält man:

$${\rm E}\big[a\cdot m \big] = \rm \frac{1}{8}\cdot 0 \cdot 0 +\frac{3}{8}\cdot 2 \cdot 0 +\frac{3}{8}\cdot 1 \cdot 1 + \frac{1}{8}\cdot 3 \cdot 1 = \frac{3}{4}.$$

Mit den linearen Mittelwerten ${\rm E}\big[a \big] = 1.5$ und ${\rm E}[m] = 0.5$ folgt damit für die Kovarianz:

$$\mu_{am}= {\rm E}\big[ a\cdot m \big] - {\rm E}\big[ a \big]\cdot {\rm E} \big[ m \big] = \rm 0.75-1.5\cdot 0.5 = \rm 0.$$

Damit ist auch der Korrelationskoeffizient $\rho_{am}= 0$. Das heißt: Die vorhandenen Abhängigkeiten sind nichtlinear.
Die Größen $a_\nu$ und $m_\nu$ sind zwar statistisch abhängig, trotzdem aber unkorreliert.

	Die Zufallsgrößen $x_\nu$ und $m_\nu$ sind statistisch abhängig.
	Die Zufallsgrößen $x_\nu$ und $m_\nu$ sind statistisch unabhängig.
	Die Zufallsgrößen $x_\nu$ und $m_\nu$ sind korreliert.
	Die Zufallsgrößen $x_\nu$ und $m_\nu$ sind unkorreliert.

	Die Zufallsgrößen $a_\nu$ und $m_\nu$ sind statistisch abhängig.
	Die Zufallsgrößen $a_\nu$ und $m_\nu$ sind statistisch unabhängig.
	Die Zufallsgrößen $a_\nu$ und $m_\nu$ sind korreliert.
	Die Zufallsgrößen $a_\nu$ und $m_\nu$ sind unkorreliert.

	Die Folgenelemente $m_\nu$ sind statistisch unabhängig.
	Es bestehen statistische Bindungen innerhalb der Folge $\langle m_\nu \rangle$.

	Die Folgenelemente $a_\nu$ sind statistisch unabhängig.
	Es bestehen statistische Bindungen innerhalb der Folge $\langle a_\nu \rangle$.