Aufgabe 1.1Z: Redundanzfreie Binärquelle
Eine jede digitale Quelle kann durch ihre Quellensymbolfolge
- $$\langle q_\nu \rangle = \langle \hspace{0.05cm}q_0 \hspace{0.05cm}, q_1 \hspace{0.05cm}, q_2 \hspace{0.05cm}, ... \hspace{0.05cm} \rangle$$
vollständig beschrieben werden, wobei hier entgegen dem Theorieteil die Laufvariable $\nu$ mit Null beginnt. Entstammt jedes einzelne Symbol $q_\nu$ dem Symbolvorrat $\{\rm L, \ H\}$, so spricht man von einer Binärquelle.
Unter Verwendung des Symbolabstandes $T$ kann man die Quellensymbolfolge $\langle q_\nu \rangle$ in äquivalenter Weise auch durch das diracförmige Quellensignal
- $$q(t) = \sum_{(\nu)} a_\nu \cdot {\rm \delta} ( t - \nu \cdot T)$$
kennzeichnen, was eher einer systemtheoretischen Betrachtungsweise entspricht. Hierbei bezeichnet man $a_\nu$ als die Amplitudenkoeffizienten.
- Im Falle einer binären unipolaren Digitalsignalübertragung gilt:
- $$a_\nu = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} q_\nu = \mathbf{H} \hspace{0.05cm}, \\ q_\nu = \mathbf{L} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
- Entsprechend gilt bei einem bipolaren System:
- $$a_\nu = \left\{ \begin{array}{c} +1 \\ -1 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} q_\nu = \mathbf{H} \hspace{0.05cm}, \\ q_\nu = \mathbf{L} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
In der Grafik ist das diracförmige Quellensignal $q(t)$ einer Binärquelle dargestellt. Von dieser ist bekannt, dass sie redundanzfrei ist. Diese Aussage ist für die Lösung der Aufgabe durchaus relevant.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Systemkomponenten eines Basisbandübertragungssystems".
- Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt "Kenngrößen der digitalen Quelle".
- In der Literatur werden die beiden möglichen Binärsymbole meist mit $\rm L$ und $\rm 0$ bezeichnet.
- Um die etwas verwirrende Zuordnung $a_\nu = 1$ für $q_\nu =\rm 0$ und $a_\nu = 0$ für $q_\nu =\rm L$ zu vermeiden, werden in unserem Lerntutorial die Symbole $\rm L$ („Low”) und $\rm H$ („High”) verwendet.
Fragebogen
Musterlösung
(2) Bei dieser redundanzfreien Binärquelle – und nur bei einer solchen – ist die Bitrate $R = 1/T\hspace{0.15cm}\underline{=500 \ \rm kbit/s}$.
(3) Die möglichen Amplitudenkoeffizienten sind $\pm 1$. Deshalb ist die gegebene Symbolfolge bipolar.
(4) Der Amplitudenkoeffizient $a_2$ kann bei $2T = 4 \ \rm µ s$ abgelesen werden.
- Bei bipolarer Zuordnung folgt aus $a_2 = -1$ für das Symbol $q_2 \hspace{0.15cm}\underline {=\rm L}$.
(5) Auch wenn die Grafik für den hier dargestellten kurzen Zeitabschnitt etwas anderes suggeriert:
- Bei einer redundanzfreien Binärquelle muss neben der statistischen Unabhängigkeit der Symbole auch $p_{\rm H} = p_{\rm L}\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}$ (gleichwahrscheinliche Symbole) gelten.