Aufgabe 5.1: Zum Abtasttheorem
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Gegeben ist ein Analogsignal $x(t)$ entsprechend der Skizze.
- Bekannt ist, dass dieses Signal keine höheren Frequenzen als $B_{\rm NF} = 4 \ \text{kHz}$ beinhaltet.
- Durch Abtastung mit der Abtastrate $f_{\rm A}$ erhält man das in der Grafik rot skizzierte Signal $x_{\rm A}(t)$.
- Zur Signalrekonstruktion wird ein Tiefpass verwendet, für dessen Frequenzgang gilt:
- $$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c} {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ \end{array}\begin{array}{*{5}c} |f| < f_1 \hspace{0.05cm}, \\ |f| > f_2 \hspace{0.05cm} \\ \end{array}$$
Der Bereich zwischen den Frequenzen $f_1$ und $f_2 > f_1$ ist für die Lösung dieser Aufgabe nicht relevant.
Die Eckfrequenzen $f_1$ und $f_2$ sind so zu bestimmen, dass das Ausgangssignal $y(t)$ des Tiefpasses mit dem Signal $x(t)$ exakt übereinstimmt.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zeitdiskrete Signaldarstellung.
- Zu der hier behandelten Thematik gibt es ein interaktives Applet: Abtastung periodischer Signale & Signalrekonstruktion
Fragebogen
Musterlösung
(1) Der Abstand zweier benachbarter Abtastwerte beträgt $T_{\rm A} = 0.1 \ \text{ms}$. Somit erhält man für die Abtastrate $f_{\rm A} = 1/ T_{\rm A} \;\underline {= 10 \ \text{kHz}}$.
(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 4:
- Das Spektrum $X_{\rm A}(f)$ des abgetasteten Signals erhält man aus $X(f)$ durch periodische Fortsetzung im Abstand $f_{\rm A} = 10 \ \text{kHz}$.
- Aus der Skizze erkennt man, dass $X_{\rm A}(f)$ durchaus Anteile bei $f = 2.5 \ \text{kHz}$ und $f = 6.5 \ \text{kHz}$ besitzen kann.
- Dagegen gibt es bei $f = 5.5 \ \text{kHz}$ keine Anteile.
- Auch bei $f = 34.5 \ \text{kHz}$ wird $X_{\rm A}(f)$ = 0 auf jeden Fall gelten.
(3) Es muss sichergestellt sein, dass alle Frequenzen des Analogsignals mit $H(f) = 1$ bewertet werden. Daraus folgt entsprechend der Skizze:
- $$f_{1, \ \text{min}} = B_{\rm NF} \;\underline{= 4 \ \text{kHz}}.$$
(4) Ebenso muss garantiert werden, dass alle Spektralanteile von $X_{\rm A}(f)$, die in $X(f)$ nicht enthalten sind, durch den Tiefpass entfernt werden. Entsprechend der Skizze muss also gelten:
- $$f_{2, \ \text{max}} = f_{\rm A} – B_{\rm NF} \;\underline{= 6 \ \text{kHz}}.$$