Aufgabe 2.3Z: Polynomdivision
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Multiplikation und insbesondere der Division von Polynomen im Galoisfeld $\rm GF(2)$. In der Abbildung ist jeweils die Vorgehensweise an einem einfachen und selbsterklärenden Beispiel verdeutlicht:
- Die Multiplikation der beiden Polynome $x^2 + 1$ und $x +1$ liefert das Ergebnis $a(x) = x^3 + x^2 + x + 1$.
- Die Division des Polynoms $a(x) = x^3$ durch $p(x) = x + 1$ liefert den Quotienten $q(x) = x^2 + x$ und den Rest $r(x) = x$.
- Man kann das letztere Ergebnis wie folgt überprüfen:
- $$a(x) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} p(x) \cdot q(x) + r(x)\hspace{0.05cm}= $$
- $$\hspace{0.7cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}[(x+1) \cdot (x^2+x)] +x =$$
- $$\hspace{0.7cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}[x^3+ x^2+x^2+ x] +x = x^3\hspace{0.05cm}.$$
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Erweiterungskörper.
Fragebogen
Musterlösung
- $$a(x) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (x^3+ x+1) \cdot (x^2+1)= $$
- $$\hspace{0.7cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} x^5+x^3+ x^2+ x^3+x+1 = x^5+ x^2+x+1\hspace{0.05cm}.$$
Richtig ist somit der Lösungsvorschlag 2. Der letzte Lösungsvorschlag kann schon alleine deshalb nicht simmen, da der Grad des Produktpolynoms $≠ 5$ wäre.
(2) Mit den Abkürzungen
- $$a(x) = x^5+ x^2+x+1\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}p(x) = x^3+ x+1\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}q(x) = x^2+ 1$$
und dem Ergebnis aus der Teilaufgabe (1) erhält man $a(x) = p(x) \cdot q(x)$. Das heißt: Die Divisionen $a(x)/p(x)$ und $a(x)/q(x)$ sind restfrei möglich ⇒ Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2. Auch ohne Rechnung erkennt man, dass $a(x)/x^2$ einen Rest ergeben muss. Nach Rechnung ergibt sich explizit:
- $$(x^5 + x^2+x+1)/(x^2) = x^3 + 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}{\rm Rest}\hspace{0.15cm} r(x) = x+1\hspace{0.05cm}.$$
Zum letzten Lösungsvorschlag. Wir verwenden zur Abkürzung $b(x) = x^5 + x^2 + x = a(x) + 1$. Damit ist der vorgegebene Quotient:
- $$b(x)/q(x) = a(x)/q(x) + 1/q(x) \hspace{0.05cm}.$$
Der erste Quotient $a(x)/q(x)$ ergibt entsprechend der Teilaufgabe (2) genau $p(x)$ ohne Rest, der zweite Quotient $0$ mit Rest $1$. Somit ist hier der Rest des Quotienten $b(x)/q(x)$ gleich $r(x) = 1$, wie auch die nebenstehende Rechnung zeigt.
(3) Die Polynomdivision ist nachfolgend ausführlich erläutert. Richtig ist der Lösungsvorschlag 3.