Aufgabe 1.08Z: Äquivalente Codes

Vier verschiedene (6, 3)–Blockcodes

In der Grafik sind die Zuordnungen $\underline{u} → \underline{x}$ für verschiedene Codes angegeben, die im Folgenden jeweils durch die Generatormatrix G und die Prüfmatrix H charakterisiert werden:

$\color{red}{\boldsymbol{\rm Code \ A}}$:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$

$${ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm A} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 1 &0 &1 &0 &1 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

$\color{red}{\boldsymbol{\rm Code \ B}}$:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B} = \begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &1 &1\\ 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &1 &1 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$

$$ { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm B} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

$\color{red}{\boldsymbol{\rm Code \ C}}$:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &0 &1 &1\\ 0 &0 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm C} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &0 &1 &0\\ 1 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$

$\color{red}{\boldsymbol{\rm Code \ D}}$:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &0 &0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe soll untersucht werden, welche dieser Codes bzw. Codepaare

systematisch sind,
identisch sind (das heißt: Verschiedene Codes haben gleiche Codeworte),
äquivalent sind (das heißt: Verschiedene Codes haben gleiche Codeparameter).

Hinweis :

Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes Anzumerken ist, dass die Angabe einer Prüfmatrix H nicht eindeutig ist. Verändert man die Reihenfolge der Prüfgleichungen, so entspricht dies einer Vertauschung von Zeilen.

Fragebogen

Musterlösung

(1) Für einen systematischen (6, 3)–Blockcode muss gelten

$$\underline{x} = ( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6) = ( u_1, u_2, u_3, p_1, p_2, p_{3}) \hspace{0.05cm}.$$

Diese Bedingung erfüllen die Codes A, C und D ⇒ Antwort 1, 2, 4.

(2) Nur Code A und Code B sind identische Codes ⇒ Antwort 1. Sie beinhalten genau die gleichen Codeworte und unterscheiden sich nur durch andere Zuordnungen $\underline{u} → \underline{x}$. Wie in der Musterlösung zur Aufgabe A1.08 (3) angegeben, gelangt man von der Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ zur Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A}$ allein durch Vertauschen/Permutieren von Zeilen oder durch Ersetzen einer Zeile durch die Linearkombination zwischen dieser Zeile und einer anderen.

(3) Code A und Code B sind mehr als äquivalent, nämlich identisch. Code C und D unterscheiden sich zum Beispiel auch durch die minimale Hamming–Distanz $d_{\rm min} = 3$ bzw. $d_{\rm min} = 2$ und sind somit auch nicht äquivalent.

Richtig ist somit allein Antwort 2. Code B und Code C haben gleiche Eigenschaften, beispielsweise gilt für beide $d_{\rm min} = 3$. Sie beinhalten aber andere Codeworte.

(4) Richtig ist Antwort 3:

Die letzte Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die erste Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$.
Die erste Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die zweite Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$.
Die zweite Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die dritte Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$, usw.

(5) Die Bedingung ${ \boldsymbol{\rm H}} · { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} = \boldsymbol{0}$ gilt für alle linearen Codes ⇒ Alle Aussagen treffen zu.

	Code A,
	Code B,
	Code C,
	Code D.

	Code A,
	Code B,
	Code C,
	Code D.

	Durch verschiedene Linearkombinationen verschiedener Zeilen.
	Durch zyklische Vertauschung der Zeilen um 1 nach unten.
	Durch zyklische Vertauschung der Spalten um 1 nach rechts.