Aufgabe 2.5: „Binomial” oder „Poisson”?
Betrachtet werden zwei diskrete Zufallsgrößen $z_1$ und $z_2$, die alle ganzzahligen Werte zwischen $0$ und $5$ (einschließlich dieser Grenzen) annehmen können. Die Wahrscheinlichkeiten dieser Zufallsgrößen sind in nebenstehender Tabelle angegeben. Eine der beiden Zufallsgrößen ist allerdings nicht auf den angegebenen Wertebereich begrenzt.
Weiterhin ist bekannt, dass
- eine der Größen binomialverteilt ist, und
- die andere eine Poissonverteilung beschreibt.
Nicht bekannt ist allerdings, welche der beiden Zufallsgrößen $z_1$ und $z_2$ binomialverteilt und welche poissonverteilt ist.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Poissonverteilung.
- Bezug genommen wird aber auch auf das vorherige Kapitel Binomialverteilung.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
(2) Bei der Poissonverteilung ist zudem der Mittelwert gleich der Rate. Deshalb muss $\underline{\lambda = 2}$ gelten.
(3) Die entsprechende Wahrscheinlichkeit lautet: $$\rm Pr(z_1 = 6)=\frac{2^6}{6!}\cdot e^{-2}\hspace{0.15cm} \underline{=0.012}.$$
Die Wahrscheinlichkeit Pr(z1 > 6) ergibt sich zu 1 – Pr(0) – Pr(1) – ... – Pr(6). Es ergibt sich der Zahlenwert Pr(z1 > 6) ≈ 0.004.
(4) Für die Varianz der Binomialverteilung gilt: $$\sigma^{\rm 2}=\it I\cdot p\cdot (\rm 1-\it p)=\it m_{\rm 1}\cdot (\rm 1-\it p).$$
- Die charakteristische Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung ergibt sich damit aus der Varianz <nobr>1.0952 = 1.2</nobr> und dem Mittelwert 2 entsprechend der Gleichung:
$$ 1- p = \frac{\sigma^{2}}{m_1}= \frac{1.2}{2} = 0.6\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 0.4}.$$
(5) Aus dem Mittelwert m1 = 2 folgt weiterhin I = 5. Die Wahrscheinlichkeit für den Wert „0” müsste mit diesen Parametern wie folgt lauten: $$\rm Pr(z_2 = 0)=\left({5 \atop {0}}\right)\cdot \it p^{\rm 0}\cdot (\rm 1 -\it p)^{\rm 5-0}=\rm 0.6^5=0.078.$$
- Das bedeutet: Das Ergebnis ist richtig.