Mobile Kommunikation/Statistische Bindungen innerhalb des Rayleigh-Prozesses

1. Mobile Kommunikation
2. Zeitvariante Übertragungskanäle
3. Statistische Bindungen innerhalb des Rayleigh-Prozesses

• Vorherige Seite
• Nächste Seite

• Vorherige Seite
• Nächste Seite

Einige allgemeine Bemerkungen zu AKF und LDS

Zur Beschreibung der inneren statistischen Bindungen zwischen den benachbarten Signalwerten r(t) und r(t + Δt) eignet sich die Autokorrelationsfunktion (AKF):

\[\varphi_r ({\rm \Delta}t) = {1}/{2} \cdot {\rm E}\left [ r(t) \cdot r^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\right ] \hspace{0.05cm}.\]

Gegenüber der Definition unter obigem Link sind folgende Unterschiede zu erkennen:

• Die AKF–Variable ist hier mit Δt anstelle von τ bezeichnet, da wir in diesem Buch das „τ” noch für die 2D–Impulsantwort h(t, τ) benötigen.
  

• Das äquivalente Tiefpass–Signal r(t) ist komplex. Durch den Faktor 1/2 bezieht sich aber die AKF φ_r(Δt) und insbesondere die Leistung φ_r(Δt = 0) auf das Bandpass–Signal r_BP(t).
  
  

Beim Rayleigh–Fading–Kanalmodell gilt r(t) = s(t) · z(t). Damit ergibt sich für dessen AKF:

\[\varphi_r ({\rm \Delta}t) = {1}/{2} \cdot {\rm E}\left [ s(t) \cdot z(t) \cdot s^{\star}(t + {\rm \Delta}t) \cdot z^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\right ] = \varphi_s ({\rm \Delta}t) \cdot \varphi_z ({\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm}.\]

Für die AKF von Sendesignal s(t) und multiplikativem Faktor z(t) gelten folgende Definitionen:

\[ \varphi_s ({\rm \Delta}t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {1}/{2} \cdot {\rm E}\left [ s(t) \cdot s^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\right ] \hspace{0.05cm},\] \[\varphi_z ({\rm \Delta}t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm E}\left [ z(t) \cdot z^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\right ]\hspace{0.05cm}.\]

Der Faktor 1/2 ist nur bei der AKF–Berechnung von BP–Signalen im äquivalenten TP–Bereich zu berücksichtigen, nicht jedoch bei φ_z(Δt). Ansonsten würde sich φ_r(Δt) ≠ φ_s(Δt) · φ_z(Δt) ergeben.

Aufgrund der Definition φ_z(Δt) = E[z(t) · z*(t + Δt)] ist die AKF auch bei einer komplexen Zeitfunktion z(t) stets reell und zudem bezüglich Δt gerade. Berücksichtigen wir weiterhin, dass

• z(t) = x(t) + j · y(t) ist,
  

• x(t) und y(t) gleiche statistische Eigenschaften aufweisen, und
  

• es zwischen x(t) und y(t) keine statistischen Bindungen gibt,
  
  

so lässt sich für die AKF des komplexen Faktors z(t) schreiben:

\[\varphi_z ({\rm \Delta}t) = \varphi_x ({\rm \Delta}t) + \varphi_y ({\rm \Delta}t) = 2 \cdot \varphi_x ({\rm \Delta}t) \hspace{0.05cm}.\]

Daraus ergibt sich folgende Vereinfachung:

• Zur Ermittlung der statistischen Bindungen der komplexen Größe z(t) muss nur einer der beiden Gaußschen Zufallsprozesse betrachtet werden. Im Folgenden sei dies x(t).
  

• Wir berechnen zuerst die Autokorrelationsfunktion φ_x(Δt) = E[x(t) · x(t + Δt)] des Realteils und anschließend auch dessen Leistungsdichtespektrum (LDS)

\[{\it \Phi}_x (f_{\rm D}) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi_x ({\rm \Delta}t) \cdot {\rm exp} [ -{\rm j} \cdot 2 \pi \cdot f_{\rm D} \cdot {\rm \Delta}t] \hspace{0.15cm}{\rm d}({\rm \Delta}t) \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.3cm} \varphi_x ({\rm \Delta}t) \hspace{0.05cm}.\]

• Für die entsprechenden Kenngrößen des komplexen Zufallsprozesses z(t) gilt dann:

\[\varphi_z ({\rm \Delta}t) = 2 \cdot \varphi_x ({\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\it \Phi}_z (f_{\rm D}) = 2 \cdot {\it \Phi}_x (f_{\rm D}) \hspace{0.05cm}.\]

Die LDS–Variable ist die Dopplerfrequenz f_D, da beim Mobilfunk der Dopplereffekt die Ursache der statistischen Bindungen ist. Dieser Effekt wird auf der nächsten Seite erläutert.

Phänomenologische Beschreibung des Dopplereffektes (1)

Die statistischen Bindungen innerhalb der reellen „Signale” x(t) und y(t) bzw. innerhalb der komplexen Größe z(t) sind auf den Dopplereffekt zurückzuführen. Dieser wurde Mitte des 19. Jahrhunderts von dem österreichischen Mathematiker, Physiker und Astronomen Christian Andreas Doppler theoretisch vorhergesagt und nach ihm benannt.

: Als Dopplereffekt bezeichnet man die Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen jeder Art, die sich dann ergibt, wenn sich Quelle (Sender) und Beobachter (Empfänger) relativ zueinander bewegen.

Qualitativ lässt sich der Dopplerreffekt wie folgt beschreiben:

• Nähern sich Beobachter und Quelle einander an, so erhöht sich aus Sicht des Beobachters die Frequenz, egal, ob sich der Beobachter bewegt oder die Quelle oder beide.
  

• Entfernt sich die Quelle vom Beobachter oder der Beobachter von der Quelle, so nimmt der Beobachter eine niedrigere Frequenz wahr, als tatsächlich gesendet wurde.
  
  

: Wir betrachten die Tonhöhenänderung des Martinhorns eines Rettungswagens. Solange sich das Fahrzeug nähert, hört der Beobachter einen höheren Ton als bei stehendem Wagen. Entfernt sich der Rettungswagen, so wird ein tieferer Ton wahrgenommen.
Den gleichen Effekt stellt man auch bei einem Autorennen fest. Die Frequenzänderungen und der „Sound” sind dabei um so deutlicher, je schneller die Autos fahren.

Den Sachverhalt kann man sich in diesem Lerntutorial mit dem Interaktionsmodul Dopplereffekt Please add file and don't upload flash videos. verdeutlichen. Einige Eigenschaften dieses noch aus dem Physikunterricht bekannten Effekts sollen nun anhand von Bildschirmabzügen aus dieser Flash–Animation dargestellt werden, wobei natürlich die dynamischen Programmeigenschaften verloren gehen.

Die Grafik zeigt die Ausgangssituation. Der ruhende Sender (S) gibt eine konstante Frequenz f_S ab. Die Wellenausbreitung ist in der Grafik durch konzentrische Kreise um (S) veranschaulicht. Beim ebenfalls ruhenden Empfänger (E) kommt dann natürlich die Frequenz f_E = f_S an.

Die phänomenologische Erklärung des Dopplereffektes wird auf der nächsten Seite fortgesetzt.

Phänomenologische Beschreibung des Dopplereffektes (2)

Der nächste Schnappschuss zeigt den Fall, dass sich der Sender (S) mit konstanter Geschwindigkeit υ von seinem Startpunkt S₀ auf den Empfänger (E) zu bewegt hat.

Das Diagramm zeigt, dass die vom Empfänger wahrgenommene Frequenz f_E (blaue Schwingung) um etwa 20% größer ist als die Frequenz f_S am Sender (rote Schwingung). Aufgrund der Bewegung des Senders sind nun die Kreise nicht mehr konzentrisch.

Die zweite Szenerie ergibt sich, wenn sich der Sender (S) vom Empfänger entfernt. Dann ist die Empfangsfrequenz f_E (blaue Schwingung) um etwa 20% kleiner als die gesendete Frequenz f_S.

Diese Angaben gelten für unrealistisch große Geschwindigkeit (υ = c/5). Beim Mobilfunk sind die Abweichungen zwischen f_S und f_E meist nur ein Bruchteil der Sendefrequenz.

Die exakte Gleichung für die Empfangsfrequenz f_E unter Einbeziehung eines Winkels α zwischen der Bewegungsrichtung und der Verbindungslinie Sender–Empfänger lautet:

\[f_{\rm E} = f_{\rm S} \cdot \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2}}{1 - v/c \cdot \cos(\alpha)} \hspace{0.3cm}{\rm mit }\hspace{0.3cm} c = 3 \cdot 10^8 \, {\rm m/s} \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\rm Lichtgeschwindigkeit} \hspace{0.05cm}.\]

Wie in Aufgabe Z1.4 gezeigt werden soll, kann man bei realistischen Geschwindigkeiten (υ << c) von der folgenden Näherung ausgehen, bei der die durch die Relativitätstheorie beschriebenen Effekte unberücksichtigt bleiben:

\[f_{\rm E} \approx f_{\rm S} \cdot \left [1 +{v}/{c} \cdot \cos(\alpha) \right ] \hspace{0.05cm}.\]

Wir weisen Sie noch auf das folgende Interaktionsmodul hin:
Zur Verdeutlichung des Dopplereffekts. Please add link and do not upload flash videos

Dopplerfrequenz und deren Verteilung (1)

Wir fassen die Aussagen der letzten Seite nochmals kurz zusammen, wobei wir von der zweiten, also der nichtrelativistischen Gleichung ausgehen:

• Bei einer Relativbewegung zwischen Sender (Quelle) und Empfänger (Beobachter) kommt es zu einer Frequenzverschiebung um die Dopplerfrequenz f_D = f_E – f_S.
  

• Eine positive Dopplerfrequenz (f_E > f_S) ergibt sich dann, wenn sich Sender und Empfänger (relativ) aufeinander zu bewegen. Eine negative Dopplerfrequenz (f_E < f_S) bedeutet, dass sich Sender und Empfänger (direkt oder unter einem Winkel) voneinander entfernen.
  

• Die maximale Frequenzverschiebung tritt auf, wenn sich Sender und Empfänger direkt aufeinander zu bewegen (⇒ Winkel α = 0°). Dieser Maximalwert hängt in erster Näherung von der Sendefrequenz f_S und der Geschwindigkeit υ ab (c ist die Lichtgeschwindigkeit):

\[f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} = f_{\rm S} \cdot {v}/{c} \hspace{0.05cm}.\]

• Erfolgt die Relativbewegung unter einem beliebigen Winkel α zu der Verbindungslinie Sender–Empfänger, so entsteht eine Dopplerverschiebung um

\[f_{\rm D} = f_{\rm E} - f_{\rm S} = f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \cos(\alpha) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} - \hspace{-0.05cm}f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \le f_{\rm D} \le + \hspace{-0.05cm}f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \hspace{0.05cm}.\]

Unter der Annahme gleichwahrscheinlicher Bewegungsrichtungen (Gleichverteilung für den Winkel α im Bereich <nobr>–π ≤ α ≤ +π)</nobr> ergibt sich für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Dopplerfrequenz im Bereich –f_D, max ≤ f_D ≤ +f_D, max:

\[{\rm wdf}(f_{\rm D}) = \frac{1}{2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \sqrt {1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 } } \hspace{0.05cm}.\]

Außerhalb des Bereichs |f_D| > f_D, max ist die Wahrscheinlichkeitsdichte identisch 0.

Herleitung: Die entstehende Dopplerfrequenz in Abhängigkeit des Bewegungswinkels α lautet:

\[f_{\rm D} = f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \cos(\alpha) = g(\alpha) \hspace{0.05cm}.\]

Wir bezeichnen diese Funktion mit g(α) und gehen davon aus, dass α alle Winkelwerte zwischen ±π mit gleicher Wahrscheinlichkeit annimmt. Dann ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit der Dopplerfrequenz entsprechend dem Kapitel 3.7 im Buch „Stochastische Signaltheorie”

\[{\rm wdf}(f_{\rm D})=\frac{{\rm wdf}(\alpha)}{\mid g'(\alpha)\mid}\Bigg |_{\hspace{0.1cm} \alpha=h(f_{\rm D})} \hspace{0.05cm}\]

mit der Ableitung g'(α) = –f_{D, max} · sin(α) und der Umkehrfunktion α = h(f_D). Im betrachteten Beispiel lautet die Umkehrfunktion: α = arccos(f_D/f_D, max).

Die Herleitung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt. Diese überspringen?

Dopplerfrequenz und deren Verteilung (2)

Die Grafik veranschaulicht den Rechengang zur Bestimmung der Dopplerfrequenz–WDF:

• Da die Kennlinie g(α) = f_D, max &middot cos(α) zwischen der Dopplerfrequenz f_D und dem Winkel α auf ±f_D, max begrenzt ist, ist für f_D kein Wert außerhalb dieses Bereichs möglich.
  

• Bei der Transformation von Zufallsgrößen muss zwischen Bereichen mit positiver und negativer Steigung der Transformationskennlinie unterschieden werden. Die α–Werte zwischen –π und 0 (positive Steigung der Transformationskennlinie) liefern das Ergebnis

\[{\rm wdf}(f_{\rm D})\hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm}\frac{1/(2\pi)}{f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \sin(\alpha)}\Bigg |_{\hspace{0.1cm} \alpha=\arccos(f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})} = \frac{(2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} )^{-1}}{ \sin(\arccos(f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}))} = \]

\[ \hspace{1.5cm} = \hspace{-0.1cm} \frac{1}{2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \sqrt { 1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 } } \hspace{0.05cm}.\]

• Aus Symmetriegründen trägt der positive α–Bereich in gleicher Weise bei, so dass im inneren Bereich insgesamt gilt:

\[{\rm wdf}(f_{\rm D}) = \frac{1}{\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \sqrt { 1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 } } \hspace{0.05cm}.\]

• Winkel im Bereich um α = ±π/2 führen zu einer kleinen Dopplerfrequenz  ⇒  f_D ≈ 0 (violette Markierung). Aufgrund der relativ großen Steigung der cosinusförmigen Kennlinie g(α) bei α = ±π/2 ist der WDF–Wert bei <nobr>f_D ≈ 0</nobr> allerdings sehr klein.
  

• Kleine Winkel (um α ≈ 0) führen dagegen zur maximalen Dopplerfrequenz  ⇒  f_D ≈ f_{D, max} (rote Markierung). Aufgrund der nahezu horizontalen Kennlinie g(α) ist hier die f_D–WDF deutlich größer. Für f_D = f_{D, max} ergibt sich sogar ein unendlich großer Wert.
  

• Winkel um α = ±π führen zur Dopplerfrequenz  ⇒  f_D ≈ –f_D, max (grüne Markierung). Auch hier ist die Kennlinie nahezu horizontal und es ergibt sich wiederum ein großer WDF–Wert.