Aufgaben:Aufgabe 3.10Z: BSC–Kanalkapazität

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Die Kanalkapazität $C$ wurde von Claude $E$. Shannon als die maximale Transinformation definiert, wobei sich die Maximierung allein auf die Quellenstatistik bezieh $$ C = \max_{P_X(X)} \hspace{0.15cm} I(X;Y) \hspace{0.05cm}$$ Beim Binärkanal mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_X(X) = [p_0, p:1]$ ist nur ein Parameter optimierbar, beispielsweise $p_0$. Die Wahrscheinlichkeit für eine $„1”$ ist damit ebenfalls festgelegt: $p_1 = 1 – p_0$

Die obere Grafik (rot hinterlegt) fasst die Ergebnisse für den unsymmetrischen Binärkanal mit $ε_0 = 0.01$ und $ε_1 = 0.2$ zusammen, der im Theorieteil betrachtet wurde. Die Maximierung führt zum Ergebnis $p_0 = 0.55$

$\Rightarrow p_1 = 0.45$, und man erhält für die Kanalkapazität: $$C_{\rm BC} = \hspace{-0.05cm} \max_{P_X(X)} \hspace{0.1cm} I(X;Y) \big |_{p_0 \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}0.55} \hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm} 0.5779\,{\rm bit} \hspace{0.05cm}$$

In der unteren Grafik (blaue Hinterlegung) sind die gleichen informationstheoretischen Größen für den symmetrischen Kanal $\Rightarrow$ Binary Symmetric Channel (BSC) mit den Verfälschungswahrscheinlichkeiten $ε1 = ε2 = ε = 0.1$ angegeben, der auch für die Aufgabe A3.9 vorausgesetzt wurde.

In der vorliegenden Aufgabe sollen Sie für das BSC–Kanalmodell (zunächst für $ε = 0\ cdot 1$)

• die Entropien $H(X)$, $H(Y)$, $H(X|Y)$, $H(Y|X)$ analysieren,
• den Quellenparameter $p_0$ hinsichtlich maximaler Transinformation $I(X; Y)$ optimieren,
• somit die Kanalkapazität $C(ε)$ bestimmen, sowie
• durch Verallgemeinerung eine geschlossene Gleichung für $C(ε)$ angeben.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die Thematik von Kapitel 3.3

Fragebogen

1 Berechnen Sie die Quellenentropie allgemein und für $p_0 = 0.4.$

$p_0 = 0.4: H(X)$ = $bit$

2 Berechnen Sie die Sinkenentropie allgemein und für $p_0 = 0.4.$

$p_0 = 0 \cdot 4: H(Y)$ = $bit$

3 Berechnen Sie die Verbundentropie allgemein und für $p_0 = 0.4.$

$p_0 = 0\cdot 4: H(XY)$ = $bit$

4 Berechnen Sie die Transinformation allgemein und für $p_0 = 0.4.$

$p_0 = 0\cdot 4: I(X; Y)$ = $bit$

5 Welche Wahrscheinlichkeit $p_0$ führt zur Kanalkapazität $C$?

$ Maximierung: p_0$ =

6 Wie groß ist die Kanalkapazität des vorliegenden Kanals?

$C$ = $bit$

7 Wie groß sind die bedingten Entropien?

$p_0 gemäß (e): H(X|Y)$ = $bit$

$H(Y|X)$ = $bit$

Musterlösung

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