Digitalsignalübertragung/Eigenschaften von Nyquistsystemen: Unterschied zwischen den Versionen
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\frac{k}{T} ) \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}2 \pi | \frac{k}{T} ) \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}2 \pi |
Version vom 21. November 2016, 15:08 Uhr
Erstes Nyquistkriterium im Zeitbereich
Für dieses Kapitel wurde vorausgesetzt, dass die Detektion eines Symbols nicht durch Nachbarimpulse beeinträchtigt werden soll. Dies erreicht man durch die Detektion des Signals
\(d(t) = \sum \limits_{\it (\nu)} a_\nu \cdot g_d ( t - \nu T)\)
zu den Zeitpunkten νT immer dann, wenn der Detektionsgrundimpuls gd(t)
- auf den Bereich | t | < T beschränkt ist, was für das Kapitel 1.2 vorausgesetzt wurde, oder
- äquidistante Nulldurchgänge zu den Zeitpunkten νT aufweist.
Aus Gründen einer möglichst einfachen Darstellung wird im Kapitel 1.3 das Detektionsstörsignal dN(t) als vernachlässigbar klein angenommen.
- \[g_d ( t = \nu T)= 0 \hspace{0.3cm}{\rm{f\ddot{u}r}}\hspace{0.3cm} \nu = \pm 1, \pm 2,\pm 3,\hspace{0.05cm}...\]
Zu den Detektionszeitpunkten gilt d(νT) = aν · gNyq(0), wie aus den blauen Kreisen und dem grünen Raster hervorgeht. Die Nachläufer der vorangegangenen Impulse (ν < 0) sowie die Vorläufer der nachfolgenden Impulse (ν > 0) beeinflussen beim Nyquistsystem die Detektion des Symbols a0 nicht.
Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass für diese Grafik der Detektionsgrundimpuls
\(g_{\rm Nyq} ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( \frac{\pi \cdot
t}{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( \frac{\pi \cdot t}{2 \cdot
T}\right)\)
Erstes Nyquistkriterium im Frequenzbereich
Harry Nyquist hat die Bedingung für eine impulsinterferenzfreie Detektion nicht nur für den Zeitbereich formuliert, sondern 1928 auch das entsprechende Kriterium im Frequenzbereich angegeben.
Erstes Nyquistkriterium: Erfüllt das Spektrum Gd(f) des Detektionsgrundimpulses die Bedingung
\(\sum \limits_{\it k = -\infty}^{+\infty} G_d \left ( f - \frac{k}{T} \right)=
g_0 \cdot T = {\rm const.} \hspace{0.05cm}, \)
so ist gd(t) ein Nyquistimpuls mit äquidistanten Nulldurchgängen zu den Zeitpunkten
νT (ν ≠ 0) und der Amplitude gd(t = 0) = g0. Hinweis: Sie finden den Beweis auf Beweis des ersten Nyquistkriteriums.
Die nachfolgende Grafik zeigt zwei Nyquistspektren. Das Spektrum
\(G_1(f) = \left\{ \begin{array}{c} g_0 \cdot T \\
0 \\ \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}
\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}
|f| < {1}/({2T})\hspace{0.05cm}, \\
|f| > {1}/({2T}) \hspace{0.1cm} \\
\end{array}\)
erfüllt offensichtlich die oben formulierte Bedingung und zwar mit der kleinstmöglichen Bandbreite. Der dazugehörige Nyquistimpuls g1(t) = g0 · si(πt/T) klingt sehr langsam ab, nämlich asymptotisch mit 1/t.
Der rechts oben dargestellte Realteil des Spektrums G2(f) wurde aus dem Rechteckspektrum G1(f) durch Verschiebung von Teilstücken um 1/T nach rechts oder links konstruiert. Wegen
\(\sum \limits_{\it k = -\infty}^{+\infty} {\rm Re}\left[G_2 \left ( f -
\frac{k}{T} \right)\right]= g_0 \cdot T \hspace{0.05cm},
\hspace{1cm}\sum \limits_{\it k = -\infty}^{+\infty} {\rm Im}\left[G_2 \left ( f -
\frac{k}{T} \right)\right]= 0\)
handelt es sich bei G2(f) ebenfalls um ein Nyquistspektrum. Beim Imaginärteil heben sich die jeweils gleich schraffierten Anteile, die jeweils um 2/T auseinander liegen, auf. Die Angabe des dazugehörigen Nyquistimpulses g2(t) ist allerdings sehr kompliziert.
Beweis des ersten Nyquistkriteriums
- Wir gehen von der ersten Nyquistbedingung im Zeitbereich aus:\[g_{\rm Nyq}(\nu T) = \left\{ \begin{array}{c} g_0 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} \nu = 0 \hspace{0.05cm}, \\ \nu \ne 0 \hspace{0.1cm}. \\ \end{array}\]
- Aus dem zweiten Fourierintegral erhält man somit für ν ≠ 0:\[g_{\rm Nyq}(\nu T) = \int_{-\infty}^{+\infty}G_{\rm Nyq}(f) \cdot {\rm e}^{ \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}2 \pi f \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}T}\,{\rm d} f = 0 \hspace{0.05cm}.\]
- Zerlegt man das Fourierintegral in Teilintegrale der Breite 1/T, so lauten die Bedingungsgleichungen:\[\sum_{k = -\infty}^{+\infty} \hspace{0.2cm} \int_{(k-1/2)/T}^{(k+1/2)/T}G_{\rm Nyq}(f) \cdot {\rm e}^{ \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}2 \pi f \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}T}\,{\rm d} f = 0 \hspace{0.05cm}.\]
- Mit der Substitution f ' = f + k/T folgt daraus:\[\sum_{k = -\infty}^{+\infty} \hspace{0.2cm} \int_{-1/(2T)}^{1/(2T)}G_{\rm Nyq}(f' - \frac{k}{T} ) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} (f'- k/T) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm}T}\,{\rm d} f ' = 0 \hspace{0.05cm}.\]
- Für alle ganzzahligen Werte von k und ν gilt:\[{\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm} \nu } = 1 \hspace{0.4cm} \Rightarrow \hspace{0.4cm}\sum_{k = -\infty}^{+\infty} \hspace{0.2cm} \int_{-1/(2T)}^{1/(2T)}G_{\rm Nyq}(f' - \frac{k}{T} ) \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.02cm}f' \hspace{0.02cm} \nu \hspace{0.05cm}T}\,{\rm d} f ' = 0 \hspace{0.05cm}.\]
- Durch Vertauschen von Summation und Integration sowie Umbenennen von f ' in f folgt weiter:\[\int_{-1/(2T)}^{1/(2T)}\hspace{0.2cm} \sum_{k = -\infty}^{+\infty} G_{\rm Nyq}(f - \frac{k}{T} ) \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.02cm}f \hspace{0.02cm} \nu \hspace{0.05cm}T}\,{\rm d} f = 0 \hspace{0.05cm}.\]
- Diese Forderung ist für alle ν ≠ 0 nur dann zu erfüllen, wenn die unendliche Summe unabhängig von f ist, also einen konstanten Wert besitzt:\[\sum_{k = -\infty}^{+\infty} G_{\rm Nyq}(f - \frac{k}{T} ) = K_{\rm Nyq} \hspace{0.05cm}.\]
- Aus der vorletzten Gleichung erhält man gleichzeitig für ν = 0:\[\int_{-1/(2T)}^{1/(2T)}\hspace{0.2cm} \sum_{k = -\infty}^{+\infty} G_{\rm Nyq}(f - \frac{k}{T} ) \,{\rm d} f = K_{\rm Nyq} \cdot \frac{1}{T} = g_0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}K_{\rm Nyq} = g_0 \cdot T \hspace{0.05cm}.\]