Digitalsignalübertragung/Eigenschaften von Nyquistsystemen: Unterschied zwischen den Versionen
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#Für alle ganzzahligen Werte von <i>k</i> und <i>ν</i> gilt:: | #Für alle ganzzahligen Werte von <i>k</i> und <i>ν</i> gilt:: | ||
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− | \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm} \nu } | + | \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm} \nu }<align=left> q.e.d </align> |
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\hspace{0.4cm} \Rightarrow \hspace{0.4cm}\sum_{k = -\infty}^{+\infty} \hspace{0.2cm} \int_{-1/(2T)}^{1/(2T)}G_{\rm Nyq}(f' - | \hspace{0.4cm} \Rightarrow \hspace{0.4cm}\sum_{k = -\infty}^{+\infty} \hspace{0.2cm} \int_{-1/(2T)}^{1/(2T)}G_{\rm Nyq}(f' - | ||
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\frac{k}{T} ) \,{\rm d} f | \frac{k}{T} ) \,{\rm d} f | ||
= K_{\rm Nyq} \cdot \frac{1}{T} = g_0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}K_{\rm Nyq} = g_0 \cdot T \hspace{0.05cm}.</math> | = K_{\rm Nyq} \cdot \frac{1}{T} = g_0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}K_{\rm Nyq} = g_0 \cdot T \hspace{0.05cm}.</math> | ||
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Version vom 21. November 2016, 16:06 Uhr
Erstes Nyquistkriterium im Zeitbereich
Für dieses Kapitel wurde vorausgesetzt, dass die Detektion eines Symbols nicht durch Nachbarimpulse beeinträchtigt werden soll. Dies erreicht man durch die Detektion des Signals
d(t)=∑(ν)aν⋅gd(t−νT)
zu den Zeitpunkten νT immer dann, wenn der Detektionsgrundimpuls gd(t)
- auf den Bereich | t | < T beschränkt ist, was für das Kapitel 1.2 vorausgesetzt wurde, oder
- äquidistante Nulldurchgänge zu den Zeitpunkten νT aufweist.
Aus Gründen einer möglichst einfachen Darstellung wird im Kapitel 1.3 das Detektionsstörsignal dN(t) als vernachlässigbar klein angenommen.
- gd(t=νT)=0f¨urν=±1,±2,±3,...
Zu den Detektionszeitpunkten gilt d(νT) = aν · gNyq(0), wie aus den blauen Kreisen und dem grünen Raster hervorgeht. Die Nachläufer der vorangegangenen Impulse (ν < 0) sowie die Vorläufer der nachfolgenden Impulse (ν > 0) beeinflussen beim Nyquistsystem die Detektion des Symbols a0 nicht.
Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass für diese Grafik der Detektionsgrundimpuls
gNyq(t)=g0⋅si(π⋅tT)⋅si(π⋅t2⋅T)
Erstes Nyquistkriterium im Frequenzbereich
Harry Nyquist hat die Bedingung für eine impulsinterferenzfreie Detektion nicht nur für den Zeitbereich formuliert, sondern 1928 auch das entsprechende Kriterium im Frequenzbereich angegeben.
Erstes Nyquistkriterium: Erfüllt das Spektrum Gd(f) des Detektionsgrundimpulses die Bedingung
+∞∑k=−∞Gd(f−kT)=g0⋅T=const.,
so ist gd(t) ein Nyquistimpuls mit äquidistanten Nulldurchgängen zu den Zeitpunkten
νT (ν ≠ 0) und der Amplitude gd(t = 0) = g0. Hinweis: Sie finden den Beweis auf Beweis des ersten Nyquistkriteriums.
Die nachfolgende Grafik zeigt zwei Nyquistspektren. Das Spektrum
G1(f)={g0⋅T0f¨urf¨ur|f|<1/(2T),|f|>1/(2T)
erfüllt offensichtlich die oben formulierte Bedingung und zwar mit der kleinstmöglichen Bandbreite. Der dazugehörige Nyquistimpuls g1(t) = g0 · si(πt/T) klingt sehr langsam ab, nämlich asymptotisch mit 1/t.
Der rechts oben dargestellte Realteil des Spektrums G2(f) wurde aus dem Rechteckspektrum G1(f) durch Verschiebung von Teilstücken um 1/T nach rechts oder links konstruiert. Wegen
+∞∑k=−∞Re[G2(f−kT)]=g0⋅T,+∞∑k=−∞Im[G2(f−kT)]=0
handelt es sich bei G2(f) ebenfalls um ein Nyquistspektrum. Beim Imaginärteil heben sich die jeweils gleich schraffierten Anteile, die jeweils um 2/T auseinander liegen, auf. Die Angabe des dazugehörigen Nyquistimpulses g2(t) ist allerdings sehr kompliziert.
Beweis des ersten Nyquistkriteriums
- Wir gehen von der ersten Nyquistbedingung im Zeitbereich aus:gNyq(νT)={g00f¨urf¨urν=0,ν≠0.
- Aus dem zweiten Fourierintegral erhält man somit für ν ≠ 0:gNyq(νT)=∫+∞−∞GNyq(f)⋅ej2πfνTdf=0.
- Zerlegt man das Fourierintegral in Teilintegrale der Breite 1/T, so lauten die Bedingungsgleichungen:+∞∑k=−∞∫(k+1/2)/T(k−1/2)/TGNyq(f)⋅ej2πfνTdf=0.
- Mit der Substitution f ' = f + k/T folgt daraus:+∞∑k=−∞∫1/(2T)−1/(2T)GNyq(f′−kT)⋅ej2π⋅(f′−k/T)⋅νTdf′=0.
- Für alle ganzzahligen Werte von k und ν gilt:e−j2πkν<align=left>q.e.d</align>=1⇒+∞∑k=−∞∫1/(2T)−1/(2T)GNyq(f′−kT)⋅ej2πf′νTdf′=0.
- Durch Vertauschen von Summation und Integration sowie Umbenennen von
f ' in f folgt weiter:∫1/(2T)−1/(2T)+∞∑k=−∞GNyq(f−kT)⋅ej2πfνTdf=0.
- Diese Forderung ist für alle ν ≠ 0 nur dann zu erfüllen, wenn die unendliche Summe unabhängig von f ist, also einen konstanten Wert besitzt:+∞∑k=−∞GNyq(f−kT)=KNyq.
- Aus der vorletzten Gleichung erhält man gleichzeitig für ν = 0:∫1/(2T)−1/(2T)+∞∑k=−∞GNyq(f−kT)df=KNyq⋅1T=g0⇒KNyq=g0⋅T.