Aufgaben:Aufgabe 5.5Z: AKF nach Filter 1. Ordnung: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 13. Oktober 2016, 21:31 Uhr
- Wir betrachten hier ein nichtrekursives Filter erster Ordnung (M = 1) mit den Filterkoeffizienten a0 = 0.4 und a1 = 0.3. Am Filterausgang wird eine Konstante K hinzuaddiert, die vorerst (bis einschließlich Teilaufgabe 3) zu Null gesetzt werden soll.
- Das zeitdiskrete Eingangssignal 〈xν〉
- ist gaußisch sowie mittelwertfrei,
- besitzt die Streuung σx = 1.</x>
- Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 5.3.
Fragebogen
Musterlösung
- 1. Der AKF-Wert φy(0) gibt die Varianz (Leistung) σx2 an, nicht die Streuung (Effektivwert) σx. Da ein nichtrekursives Filter erster Ordnung vorliegt, sind alle AKF-Werte φy(k · TA) = 0 für k ≥ 2. Der AKF-Wert φy(–TA) ist gleich φy(TA). Diese beiden AKF-Werte führen zu einer Cosinusfunktion im LDS, zu der sich noch der Gleichanteil φy(0) hinzuaddiert. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 2 und 3.
- 2. Die allgemeine Gleichung lautet mit M = 1 für k ∈ {0, 1}:
- $$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{M - k} {a_\mu \cdot a_{\mu + k} } .$$
- Daraus erhält man mit σx = 1:
- $$\varphi _y( 0 ) = a_0 ^2 + a_1 ^2 = 0.4^2 + 0.3^2 \hspace{0.15cm}\underline { = 0.25},$$
- $$\varphi _y ( { T_{\rm A} } ) = a_0 \cdot a_1 = 0.4 \cdot 0.3 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.12}.$$
- 3. Mit den bisherigen Einstellungen ist die Varianz σy2 = 0.25 und damit die Streuung σy = 0.5. Durch eine Verdoppelung der Koeffizienten erhält man wie gewünscht σy = 1:
- $$\hspace{0.15cm}\underline {a_0 = 0.8},\quad \hspace{0.15cm}\underline {a_1 = 0.6}.$$
- 4. Die Konstante K hebt die gesamte AKF um K2 an. Mit dem Ergebnis aus (b) folgt:
- $$K^2 = 0.5 - 0.25 = 0.25\quad \Rightarrow \quad \hspace{0.15cm}\underline {K = 0.5}.$$
- 5. Alle AKF-Werte sind nun um den konstanten Wert K2 = 0.25 größer. Somit ist
- $$\varphi _y ( { T_{\rm A} } ) = 0.12 + 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.37},\\ \varphi _y ( { 2T_{\rm A} } ) = 0 + 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}.$$
- 6. Durch die Konstante wird die Streuung nicht verändert, das heißt, es gilt weiterhin σy = 0.5. Formal kann diese Größe wie folgt berechnet werden:
- $$\sigma _y ^2 = \varphi _y ( 0 ) - \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = 0.5 - 0.25 = 0.25.$$
- Auch hiermit erhält man wieder σy = 0.5.