Aufgaben:Aufgabe 3.7Z: Regeneratorfeldlänge: Unterschied zwischen den Versionen
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Per Simulation wurde gezeigt, dass zwischen dem so genannten Systemwirkungsgrad $\eta$ und der charakteristischen Kabeldämpfung $a_*$ eines Koaxialkabels – beide in $\rm dB$ aufgetragen – etwa ein linearer Zusammenhang besteht, wenn die charakteristische Kabeldämpfung hinreichend groß ist $(a_* ≥ 40 \ \rm dB)$: | Per Simulation wurde gezeigt, dass zwischen dem so genannten Systemwirkungsgrad $\eta$ und der charakteristischen Kabeldämpfung $a_*$ eines Koaxialkabels – beide in $\rm dB$ aufgetragen – etwa ein linearer Zusammenhang besteht, wenn die charakteristische Kabeldämpfung hinreichend groß ist $(a_* ≥ 40 \ \rm dB)$: | ||
:$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta \hspace{0.15cm} {\rm (in \hspace{0.15cm}dB)}= A + B \cdot a_{\star} | :$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta \hspace{0.15cm} {\rm (in \hspace{0.15cm}dB)}= A + B \cdot a_{\star}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
In der Tabelle sind für vier beispielhafte Systemvarianten die empirisch gefundenen Koeffizienten $A$ und $B$ angegeben: | In der Tabelle sind für vier beispielhafte Systemvarianten die empirisch gefundenen Koeffizienten $A$ und $B$ angegeben: | ||
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Für die Berecnung der Regeneratorfeldlänge (Abstand zweier Zwischenverstärker) ist zu beachten, dass | Für die Berecnung der Regeneratorfeldlänge (Abstand zweier Zwischenverstärker) ist zu beachten, dass | ||
* die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit nicht größer sein soll als $10^{-10}$, woraus sich der minimale Sinkenstörabstand ergibt: | * die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit nicht größer sein soll als $10^{-10}$, woraus sich der minimale Sinkenstörabstand ergibt: | ||
:$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm min} \approx 16.1\,{\ | :$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm min} \approx 16.1\,{\rmdB} \hspace{0.05cm},$$ | ||
* das logarithmierte Verhältnis von Sendeenergie (pro Bit) und AWGN–Rauschleistungsdichte ca. $100 \ \rm dB$ beträgt, zum Beispiel: | * das logarithmierte Verhältnis von Sendeenergie (pro Bit) und AWGN–Rauschleistungsdichte ca. $100 \ \rm dB$ beträgt, zum Beispiel: | ||
:$$s_0 = 3\,{\rm V},\hspace{0.2cm}R_{\rm B} = 1\,{\ | :$$s_0 = 3\,{\rm V},\hspace{0.2cm}R_{\rm B} = 1\,{\rmGbit/s},\hspace{0.2cm}N_{\rm 0} = 9 \cdot 10^{-19}\,{\rm V^2/Hz}$$ | ||
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\frac{s_0^2 }{N_0 \cdot R_{\rm B}}= 10 \cdot {\rmlg} \hspace{0.1cm} \frac{9\,{\rm V^2} } {9 \cdot 10^{-19}\,{\rm V^2/Hz}\cdot 10^{-9}\,{\rm 1/s}}= 100\,{\rmdB} \hspace{0.05cm},$$ | |||
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\cdot 10^{-9}\,{\rm 1/s}} | |||
* ein Normalkoaxialkabel mit den Abmessungen $2.6 \ \rm mm$ (innen) und $9.5 \ \rm mm$ (außen) eingesetzt werden soll, bei dem der folgende Zusammenhang gültig ist: | * ein Normalkoaxialkabel mit den Abmessungen $2.6 \ \rm mm$ (innen) und $9.5 \ \rm mm$ (außen) eingesetzt werden soll, bei dem der folgende Zusammenhang gültig ist: | ||
:$$a_{\star} = \frac{2.36\,{\rm dB} } {{\rm km} \cdot \sqrt{{\ | :$$a_{\star} = \frac{2.36\,{\rm dB} } {{\rm km} \cdot \sqrt{{\rmMHz}}} \cdot l \cdot \sqrt{{R_{\rm B}}/{2}}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
:Hierbei bezeichnet $a_*$ die charakteristische Dämpfung bei der halben Bitrate – im Beispiel bei $500 \ \rm MHz$ – und $l$ die Kabellänge. | :Hierbei bezeichnet $a_*$ die charakteristische Dämpfung bei der halben Bitrate – im Beispiel bei $500 \ \rm MHz$ – und $l$ die Kabellänge. | ||
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'''(1)''' Berechnet man den Systemwirkungsgrad unter der Vorraussetzung $a_* = 40 \ \rm dB$, so erhält man für die vier Systemvarianten: | '''(1)''' Berechnet man den Systemwirkungsgrad unter der Vorraussetzung $a_* = 40 \ \rm dB$, so erhält man für die vier Systemvarianten: | ||
:$$({\rm GTP},\hspace{0.1cm}M=2) \text{:}\hspace{0.3cm} 10 \cdot {\ | :$$({\rm GTP},\hspace{0.1cm}M=2) \text{:}\hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rmlg}\hspace{0.1cm}\eta= +9.4\,{\rm dB} -1.10 \cdot 40\,{\rm dB} = -34.6\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},$$ | ||
:$$({\rm GTP},\hspace{0.1cm}M=8) \text{:}\hspace{0.3cm}10 \cdot {\rmlg}\hspace{0.1cm}\eta= -1.3\,{\rm dB} -0.91 \cdot 40\,{\rm dB} = -37.7\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},$$ | |||
= +9.4\,{\rm dB} -1.10 \cdot 40\,{\rm dB} = -34.6\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},$$ | :$$({\rm ONE},\hspace{0.1cm}M=2) \text{:}\hspace{0.3cm}10 \cdot {\rmlg}\hspace{0.1cm}\eta= +4.5\,{\rm dB} -0.96 \cdot 40 \,{\rm dB}= -33.9\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},$$ | ||
:$$({\rm GTP},\hspace{0.1cm}M=8) \text{:}\hspace{0.3cm}10 \cdot {\ | :$$({\rm ONE},\hspace{0.1cm}M=8) \text{:}\hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rmlg}\hspace{0.1cm}\eta = -9.3\,{\rm dB} -0.54 \cdot 40\,{\rm dB} = -30.9\,{\rmdB}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
= -1.3\,{\rm dB} -0.91 \cdot 40\,{\rm dB} = -37.7\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},$$ | |||
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'''(2)''' Als Bestimmungsgleichung benutzen wir hier: | '''(2)''' Als Bestimmungsgleichung benutzen wir hier: | ||
:$$-1.3\,{\rm dB} -0.91 \cdot a_{\star} = +4.5 \,{\rm dB}-0.96 \cdot a_{\star}\hspace{0.3cm} | :$$-1.3\,{\rm dB} -0.91 \cdot a_{\star} = +4.5 \,{\rm dB}-0.96 \cdot a_{\star}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 0.05 \cdot a_{\star} = 5.8\,{\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}a_{\star,\hspace{0.05cm}{\rm Grenz}} \hspace{0.15cm}\underline {= 116\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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Das heißt: | Das heißt: | ||
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'''(3)''' Das Sinken–SNR soll mindestens $16.1 \ \rm dB$ betragen, das heißt es muss gelten: | '''(3)''' Das Sinken–SNR soll mindestens $16.1 \ \rm dB$ betragen, das heißt es muss gelten: | ||
:$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho = 10 \cdot {\rm lg} | :$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho = 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\frac{s_0^2 }{N_0 \cdot R_{\rm B}} + 10 \cdot {\rmlg}\hspace{0.1cm}\eta \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta \ >\ 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm min} - 10 \cdot {\rmlg}\hspace{0.1cm}\frac{s_0^2 }{N_0 \cdot R_{\rm B}} =\ 16.1- 100\hspace{0.15cm}\underline {= -83.9\,{\rm dB} = 10 \cdot {\rmlg}\hspace{0.1cm}\eta_{\hspace{0.05cm} \rm min}}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta \ > | |||
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'''(4)''' Beim hier betrachteten System gilt: $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta = -9.3\,{\rm dB} -0.54 \cdot a_{\star}.$ | '''(4)''' Beim hier betrachteten System gilt: $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta = -9.3\,{\rm dB} -0.54 \cdot a_{\star}.$ | ||
*Aus der Bedingung für den Systemwirkungsgrad ⇒ $10 \cdot {\rm lg} \, \eta > \hspace{0.1cm}–83.9 \ \rm dB $ ergibt sich somit die Bedingung für die charakteristische Kabeldämpfung: | *Aus der Bedingung für den Systemwirkungsgrad ⇒ $10 \cdot {\rm lg} \, \eta > \hspace{0.1cm}–83.9 \ \rm dB $ ergibt sich somit die Bedingung für die charakteristische Kabeldämpfung: | ||
:$$a_{\star} < \frac{-83.9\,{\rm dB} + 9.3\,{\rm dB}} {-0.54} \ | :$$a_{\star} < \frac{-83.9\,{\rm dB} + 9.3\,{\rm dB}} {-0.54} \approx138.1\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
*Mit der angegebenen Gleichung | *Mit der angegebenen Gleichung | ||
:$$a_{\star} = \frac{2.36\,{\rm dB} } {{\rm km} \cdot \sqrt{{\ | :$$a_{\star} = \frac{2.36\,{\rm dB} } {{\rm km} \cdot \sqrt{{\rmMHz}}} \cdot l \cdot \sqrt{{R_{\rm B}}/{2}}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
:ist damit die maximale Kabellänge (Regeneratorfeldlänge) angebbar: | :ist damit die maximale Kabellänge (Regeneratorfeldlänge) angebbar: | ||
:$$l_{\rm max} = \frac{138.1\,{\rm dB} } {2.36\,{\rm dB}/{\ | :$$l_{\rm max} = \frac{138.1\,{\rm dB} } {2.36\,{\rm dB}/{\rmkm} \cdot \sqrt{\rm MHz})\cdot \sqrt{500\,{\rm MHz}}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.62\,{\rm km}} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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'''(5)''' Nach gleichem Vorgehen, aber in kompakterer Schreibweise, ergibt sich für dieses „schlechtere” System eine kleinere Regeneratorfeldlänge: | '''(5)''' Nach gleichem Vorgehen, aber in kompakterer Schreibweise, ergibt sich für dieses „schlechtere” System eine kleinere Regeneratorfeldlänge: | ||
:$$l_{\rm max} = \frac{-(83.9\,{\rm dB}+A)/B } {2.36\,{\rm dB}/{\ | :$$l_{\rm max} = \frac{-(83.9\,{\rm dB}+A)/B } {2.36\,{\rm dB}/{\rmkm} \cdot \sqrt{500}} = \frac{+(83.9+9.4)/1.10 } {2.36\cdot\sqrt{500}}\hspace{0.1cm}{\rm km}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.61\, {\rm km}}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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Version vom 24. Februar 2026, 15:39 Uhr
Per Simulation wurde gezeigt, dass zwischen dem so genannten Systemwirkungsgrad $\eta$ und der charakteristischen Kabeldämpfung $a_*$ eines Koaxialkabels – beide in $\rm dB$ aufgetragen – etwa ein linearer Zusammenhang besteht, wenn die charakteristische Kabeldämpfung hinreichend groß ist $(a_* ≥ 40 \ \rm dB)$:
- $$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta \hspace{0.15cm} {\rm (in \hspace{0.15cm}dB)}= A + B \cdot a_{\star}\hspace{0.05cm}.$$
In der Tabelle sind für vier beispielhafte Systemvarianten die empirisch gefundenen Koeffizienten $A$ und $B$ angegeben:
- für das impulsinterferenzbehaftete Binärsystem $(M = 2)$ mit Gaußtiefpass $\rm (GTP)$, siehe Kapitel
Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von Impulsinterferenzen, - für das impulsinterferenzbehaftete Oktalsystem $(M = 8)$ mit Gaußtiefpass $\rm (GTP)$, siehe Kapitel
Impulsinterferenzen bei mehrstufiger Übertragung, - für optimale impulsinterferenzfreie Systeme $\rm (ONE)$, siehe Kapitel Lineare Nyquistentzerrung; $M = 2$ und $M = 8$.
Je größer der Systemwirkungsgrad $\eta$ ist, um so besser ist ein System für einen gegebenen Wert $a_*$ (und damit eine feste Kabellänge).
Für die Berecnung der Regeneratorfeldlänge (Abstand zweier Zwischenverstärker) ist zu beachten, dass
- die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit nicht größer sein soll als $10^{-10}$, woraus sich der minimale Sinkenstörabstand ergibt:
- $$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm min} \approx 16.1\,{\rmdB} \hspace{0.05cm},$$
- das logarithmierte Verhältnis von Sendeenergie (pro Bit) und AWGN–Rauschleistungsdichte ca. $100 \ \rm dB$ beträgt, zum Beispiel:
- $$s_0 = 3\,{\rm V},\hspace{0.2cm}R_{\rm B} = 1\,{\rmGbit/s},\hspace{0.2cm}N_{\rm 0} = 9 \cdot 10^{-19}\,{\rm V^2/Hz}$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\frac{s_0^2 }{N_0 \cdot R_{\rm B}}= 10 \cdot {\rmlg} \hspace{0.1cm} \frac{9\,{\rm V^2} } {9 \cdot 10^{-19}\,{\rm V^2/Hz}\cdot 10^{-9}\,{\rm 1/s}}= 100\,{\rmdB} \hspace{0.05cm},$$
- ein Normalkoaxialkabel mit den Abmessungen $2.6 \ \rm mm$ (innen) und $9.5 \ \rm mm$ (außen) eingesetzt werden soll, bei dem der folgende Zusammenhang gültig ist:
- $$a_{\star} = \frac{2.36\,{\rm dB} } {{\rm km} \cdot \sqrtVorlage:\rmMHz} \cdot l \cdot \sqrt{{R_{\rm B}}/{2}}\hspace{0.05cm}.$$
- Hierbei bezeichnet $a_*$ die charakteristische Dämpfung bei der halben Bitrate – im Beispiel bei $500 \ \rm MHz$ – und $l$ die Kabellänge.
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Linare Nyquistentzerrung.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Berechnet man den Systemwirkungsgrad unter der Vorraussetzung $a_* = 40 \ \rm dB$, so erhält man für die vier Systemvarianten:
- $$({\rm GTP},\hspace{0.1cm}M=2) \text{:}\hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rmlg}\hspace{0.1cm}\eta= +9.4\,{\rm dB} -1.10 \cdot 40\,{\rm dB} = -34.6\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},$$
- $$({\rm GTP},\hspace{0.1cm}M=8) \text{:}\hspace{0.3cm}10 \cdot {\rmlg}\hspace{0.1cm}\eta= -1.3\,{\rm dB} -0.91 \cdot 40\,{\rm dB} = -37.7\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},$$
- $$({\rm ONE},\hspace{0.1cm}M=2) \text{:}\hspace{0.3cm}10 \cdot {\rmlg}\hspace{0.1cm}\eta= +4.5\,{\rm dB} -0.96 \cdot 40 \,{\rm dB}= -33.9\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},$$
- $$({\rm ONE},\hspace{0.1cm}M=8) \text{:}\hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rmlg}\hspace{0.1cm}\eta = -9.3\,{\rm dB} -0.54 \cdot 40\,{\rm dB} = -30.9\,{\rmdB}\hspace{0.05cm}.$$
Daraus ergibt sich:
- Die erste Aussage ist zutreffend, da das System $({\rm ONE},\hspace{0.1cm} M = 8)$ bereits bei $40 \ \rm dB$ Kabeldämpfung am besten ist und den günstigsten $\rm B$–Koeffizienten aufweist.
- Dagegen trifft die zweite Aussage nicht zu, da zum Beispiel bei $40 \ \rm dB$ Kabeldämpfung das oktale $\rm GTP$–System schlechter ist als das binäre.
(2) Als Bestimmungsgleichung benutzen wir hier:
- $$-1.3\,{\rm dB} -0.91 \cdot a_{\star} = +4.5 \,{\rm dB}-0.96 \cdot a_{\star}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 0.05 \cdot a_{\star} = 5.8\,{\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}a_{\star,\hspace{0.05cm}{\rm Grenz}} \hspace{0.15cm}\underline {= 116\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
Das heißt:
- Bis zur charakteristischen Kabeldämpfung $a_* = 116 \ \rm dB$ (Anmerkung: dies ist ein unrealistisch großer Wert für derzeit realisierte Systeme) ist das binäre Nyquistsystem dem System $({\rm GTP},\hspace{0.1cm} M = 8)$ überlegen.
- Erst für größere Werte als $a_{\rm *, \ Grenz} = 116 \ \rm dB$ überwiegt bei Letzterem der Vorteil $(M = 8$ und damit deutlich niedrigere Symbolrate$)$ gegenüber dem Nachteil $($oktale Entscheidung und dadurch größeres Gewicht der Impulsinterferenzen$)$.
(3) Das Sinken–SNR soll mindestens $16.1 \ \rm dB$ betragen, das heißt es muss gelten:
- $$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho = 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\frac{s_0^2 }{N_0 \cdot R_{\rm B}} + 10 \cdot {\rmlg}\hspace{0.1cm}\eta \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta \ >\ 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm min} - 10 \cdot {\rmlg}\hspace{0.1cm}\frac{s_0^2 }{N_0 \cdot R_{\rm B}} =\ 16.1- 100\hspace{0.15cm}\underline {= -83.9\,{\rm dB} = 10 \cdot {\rmlg}\hspace{0.1cm}\eta_{\hspace{0.05cm} \rm min}}\hspace{0.05cm}.$$
(4) Beim hier betrachteten System gilt: $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\eta = -9.3\,{\rm dB} -0.54 \cdot a_{\star}.$
- Aus der Bedingung für den Systemwirkungsgrad ⇒ $10 \cdot {\rm lg} \, \eta > \hspace{0.1cm}–83.9 \ \rm dB $ ergibt sich somit die Bedingung für die charakteristische Kabeldämpfung:
- $$a_{\star} < \frac{-83.9\,{\rm dB} + 9.3\,{\rm dB}} {-0.54} \approx138.1\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$
- Mit der angegebenen Gleichung
- $$a_{\star} = \frac{2.36\,{\rm dB} } {{\rm km} \cdot \sqrtVorlage:\rmMHz} \cdot l \cdot \sqrt{{R_{\rm B}}/{2}}\hspace{0.05cm}.$$
- ist damit die maximale Kabellänge (Regeneratorfeldlänge) angebbar:
- $$l_{\rm max} = \frac{138.1\,{\rm dB} } {2.36\,{\rm dB}/{\rmkm} \cdot \sqrt{\rm MHz})\cdot \sqrt{500\,{\rm MHz}}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.62\,{\rm km}} \hspace{0.05cm}.$$
(5) Nach gleichem Vorgehen, aber in kompakterer Schreibweise, ergibt sich für dieses „schlechtere” System eine kleinere Regeneratorfeldlänge:
- $$l_{\rm max} = \frac{-(83.9\,{\rm dB}+A)/B } {2.36\,{\rm dB}/{\rmkm} \cdot \sqrt{500}} = \frac{+(83.9+9.4)/1.10 } {2.36\cdot\sqrt{500}}\hspace{0.1cm}{\rm km}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.61\, {\rm km}}\hspace{0.05cm}.$$
