Aufgaben:Aufgabe 1.2: Schaltlogik (D/B-Wandler)

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A1.2 Schaltlogik (D/B-Wandler)

Logisches Schaltwerk

Ein Zahlengenerator  $Z$  liefert Dezimalwerte im Bereich von  $1$  bis  $15$.

• Diese werden in Binärzahlen umgewandelt  (rot umrandeter Block).
• Der Ausgang besteht aus den vier Binärwerten  $A$,  $B$,  $C$  und  $D$  mit abnehmender Wertigkeit.
• Beispielsweise liefert  $Z = 11$  die Binärwerte

$$ A = 1, \ B = 0, \ C = 1, \ D = 1. $$

Mengentheoretisch lässt sich dies wie folgt darstellen:

$$ Z = 11\qquad\widehat{=}\qquad A \cap\overline{ B} \cap C \cap D.$$

Aus den binären Größen  $A$,  $B$,  $C$  und  $D$  werden drei weitere Boolsche Ausdrücke gebildet, deren Vereinigungsmenge mit  $X$  bezeichnet wird:

[math]\displaystyle{ U = A \cap \overline{D} }[/math]

[math]\displaystyle{ V = \overline{A} \cap B \cap \overline{D} }[/math]

$$W,\; {\rm wobei} \; \, \overline{W} = \overline{A} \cup \overline{D} \cup (\overline{B} \cap C) \cup (B \cap \overline{C}). $$

• Es ist zu berücksichtigen, dass  $Z = 0 \ ⇒ \ A = B = C = D = 0$  bereits durch den Zahlengenerator ausgeschlossen ist.
• Beachten Sie ferner, dass nicht alle Eingangsgrößen  $A$,  $B$,  $C$  und  $D$  zur Berechnung aller Zwischengrößen  $U$,  $V$  und  $W$  herangezogen werden.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Mengentheoretische Grundlagen.

• Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo  Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten.

Fragebogen

1 Welche Aussagen sind bezüglich der Zufallsgröße  $U$  zutreffend?

	$U$  beinhaltet zwei Elemente.
	$U$  beinhaltet vier Elemente.
	Das kleinste Element von  $U$  ist  $4$.
	Das größte Element von  $U$  ist  $14$.

2 Welche Aussagen sind bezüglich der Zufallsgröße  $V$  zutreffend?

	$V$  beinhaltet zwei Elemente.
	$V$  beinhaltet vier Elemente.
	Das kleinste Element von  $V$  ist  $4$.
	Das größte Element von  $V$  ist  $14$.

3 Welche Aussagen sind bezüglich der Zufallsgröße  $W$  zutreffend?

	$W$  beinhaltet zwei Elemente.
	$W$  beinhaltet vier Elemente.
	Das kleinste Element von  $W$  ist  $4$.
	Das größte Element von  $W$  ist  $14$.

4 Welche Aussagen sind bezüglich der Zufallsgröße  $P$  zutreffend?

	$P$  beinhaltet alle Zweierpotenzen.
	$P$  beinhaltet alle Primzahlen.
	$P$  beschreibt die leere Menge [math]\displaystyle{ \phi }[/math] .
	$P$  ist identisch mit der Grundmenge  $G = {1,2, \ \text{...} \ , 15}$.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Das Ereignis  $U$  beinhaltet

• diejenigen Zahlen größer/gleich acht  $(A = 1)$, 
• die gerade sind  $(D = 0)$:  $8, 10, 12, 14$   ⇒   Richtig sind die  Lösungsvorschläge 2 und 4.

(2)  Das Ereignis  $V$  besteht aus den beiden Zahlen  $4$  (binär 0100) und  $6$  (binär 0110)   ⇒   Richtig sind die  Lösungsvorschläge 1 und 3.

Hilfs–Venndiagramm

(3)  Für das Ereignis  $W$  gilt mit dem Theorem von de Morgan:

$$\overline W = \overline A \cup \overline D \cup (\overline B \cap C) \cup (B \cap \overline C)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} W = \overline{\overline W} = A \cap D \cap (\overline{\overline B \cap C}) \cap (\overline{B \cap \overline C}).$$

• Mit den Sätzen von de Morgan folgt daraus weiter:

$$ W = A \cap D \cap (B \cup \overline C) \cap (\overline B \cup C).$$

• Mit der Boolschen Beziehung  $(B \cup \overline C) \cap (\overline B \cup C) = (B \cap C) \cup (\overline B \cap \overline C)$  erhält man schließlich (siehe Skizze):

$$W = (A \cap B \cap C \cap D) \cup (A \cap \overline B \cap \overline C \cap D).$$

• Somit beinhaltet  $W$  die Zahlen  $15$  und  $9$    ⇒   nur der  Lösungsvorschlag 1  ist richtig.

(4)  Die Vereinigungsmenge von  $U$,  $V$  und  $W$  beinhaltet die Zahlen   $4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15$.

• Dementsprechend gilt für die Menge  $P$  als das Komplement dieser Vereinigungsmenge:  

$$P = {\{1, 2, 3, 5, 7, 11, 13\}}.$$

• Dies sind genau die mit vier Bit darstellbaren Primzahlen   ⇒   Lösungsvorschlag 2.