Aufgaben:Aufgabe 1.2: ISDN und PCM

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Komponenten des PCM-Senders

Die Umwandlung des analogen Sprachsignals  $q(t)$  in das Binärsignal  $q_{\rm C}(t)$  geschieht bei ISDN  ("Integrated Services Digital Network")  entsprechend den Richtlinien der Pulscodemodulation  $\rm (PCM)$  durch

• Abtastung im Abstand  $T_{\rm A} = 1/f_{\rm A}$,

• Quantisierung auf  $M = 256$  diskrete Werte,

• binäre PCM–Codierung mit  $N$  Bit pro Quantisierungswert.

Die Netto–Datenrate eines so genannten  $\rm B$–Kanals  ("Bearer Channel")  beträgt  $64 \ \rm kbit/s$  und entspricht der Bitrate des redundanzfreien Binärsignals  $q_{\rm C}(t)$.  Wegen der anschließenden redundanten Kanalcodierung und der eingefügten Signalisierungsbits ist allerdings die Brutto–Datenrate – also die Übertragungsrate des Sendesignals  $s(t)$  – größer.

Ein Maß für die Qualität des gesamten ISDN–Übertragungssystems ist das Sinken–SNR

$$\rho_{v} = \frac{P_q}{P_{\varepsilon}} = \frac{\overline{q(t)^2}}{\overline{[\upsilon(t) - q(t)]^2}}$$

als das Verhältnis der Leistungen

• des auf den Bereich  $300 \ {\rm Hz}\ \text{...}\ 3400 \ {\rm Hz}$  bandbegrenzten Analogsignals  $q(t)$ 

• und des Fehlersignals  $\varepsilon (t) = v (t) - q(t)$.

Für das Sinkensignal  $v (t)$  wird hierbei eine ideale Signalrekonstruktion mit einem idealen rechteckförmigen Tiefpass vorausgesetzt.

Hinweis:

• Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel  "Allgemeine Beschreibung von ISDN" dieses Buches.

• Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  "Pulscodemodulation"  des Buches „Modulationsverfahren”.

Fragebogen

1 Mit wievielen Bit  $(N)$  wird jeder quantisierte Abtastwert repräsentiert?

$N \ = \ $

2 Wie groß ist die Abtastrate  $f_{\rm A} $?

$f_{\rm A} \ = \ $ $ \ \rm kHz $

3 Ist damit das Abtasttheorem erfüllt?

	Ja,
	nein.

4 Ist das Sinken–SNR  $\rho_{v}$  bei ISDN durch folgende Effekte begrenzt?

	Abtastung  (falls das Abtasttheorem erfüllt ist),
	AWGN–Rauschen (Übertragungsfehler).

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Die Quantisierungsstufenzahl  $M$  wird meist als Zweierpotenz gewählt und für die Bitanzahl  $N = {\log_2}\hspace{0.05cm}(M)$.

• Aus  $M = 2^{8} = 256$  folgt  $\underline{N = 8}$.

(2)  Für die Bitrate gilt  $R_{\rm B} = N \cdot f_{\rm A}$.

• Aus  $R_{\rm B} = 64 \ \rm kbit/s$  und  $N = 8$  erhält man somit  $f_{\rm A} \hspace{0.15cm}\underline{= 8 \ \rm kHz}$.

(3)  Durch die Bandbegrenzung ist die höchste im Signal  $q(t)$  enthaltene Frequenz gleich  $3.4 \ \rm kHz$.

• Nach dem Abtasttheorem müsste deshalb  $f_{\rm A} ≥ 6.8 \ \rm kHz$  gelten.
• Mit  $f_{\rm A} = 8 \ \rm kHz$  ist die Bedingung erfüllt   ⇒   $\underline {\rm JA}$.

(4)  Richtig ist die letzte Aussage:

• Auch wenn der Einfluss des AWGN–Rauschens gering ist $($kleine Rauschleistungsdichte  $N_{0})$, kann das Sinken–SNR  $\rho_{v}$  einen durch das Quantisierungsrauschen gegebenen Grenzwert nicht unterschreiten:

$$\rho_{v} \approx \rho_{\rm Q} = 2^{2M} = 2^{16} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{v} \approx 48\, {\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$

• Bei größerer Rauschstörung wird  $\rho_{v}$  durch die dann vorhandenen Übertragungsfehler weiter (signifikant) verringert.
• Dagegen führt die Abtastung zu keinem Qualitätsverlust, wenn das Abtasttheorem eingehalten wird.
• Die Abtastung kann dann vollständig rückgängig gemacht werden, wenn das Quellensignal  $q(t)$  bandbegrenzt ist und die Signalrekonstruktion richtig dimensioniert ist:  idealer Tiefpass.