Aufgaben:Aufgabe 4.11Z: Nochmals OOK und BPSK

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Fehlerwahrscheinlichkeiten von  "On–Off–Keying"  und "Binary Phase Shift Keying"

Hier werden die Fehlerwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm S}$  von den digitalen Modulationsverfahren  "On–Off–Keying"  $\rm (OOK)$  und  "Binary Phase Shift Keying"  $\rm (BPSK)$  ohne Herleitung angegeben.

Beispielsweise erhält man mit der sogenannten Q–Funktion

$${\rm Q} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\cdot \int_{\it

x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u$$

für den AWGN–Kanal – gekennzeichnet durch  $E_{\rm S}/N_0$  – und weiteren optimalen Voraussetzungen  (zum Beispiel kohärente Demodulation)

• für  "On–Off–Keying",  oft auch  "Amplitude Shift Keying"  $\rm (2–ASK)$  genannt:

$$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{E_{\rm S}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right

) \hspace{0.05cm},$$

• für  "Binary Phase Shift Keying":

$$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm S}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right

) \hspace{0.05cm}.$$

Diese Symbolfehlerwahrscheinlichkeiten  $($gleichzeitig die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten$)$  sind in der Grafik dargestellt.

Für   $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$   erhält man beispielsweise entsprechend den exakten Funktionen:

$$p_{\rm S} = 7.83 \cdot 10^{-4}\,\,{\rm (OOK)}\hspace{0.05cm},$$

$$p_{\rm S} = 3.87 \cdot 10^{-6}\,\,{\rm (BPSK)}\hspace{0.05cm}.$$

Um bei BPSK  $p_{\rm S} = 10^{\rm -5}$  zu erreichen,  muss   $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 ≥ 9.6 \ \rm dB$   sein.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  "Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation".

• Die Herleitungen finden Sie auch im Kapitel  "Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation".

• Verwenden Sie für die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion die folgende obere Schranke:

$${\rm Q}(x) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2}

\hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

1 Berechnen Sie die  $\rm OOK$–Symbolfehlerwahrscheinlichkeit für   $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB $  unter Verwendung der oberen Schranke.

$p_{\rm S}\ = \ $ $\ \cdot 10^{\rm –5}$

2 Wie groß ist die  $\rm BPSK$–Symbolfehlerwahrscheinlichkeit für   $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$?

$p_{\rm S}\ = \ $ $\ \cdot 10^{\rm –5}$

3 Geben Sie für  $\rm OOK$  den minimalen Wert für   $E_{\rm S}/N_0$  $($in $\rm dB)$   an, der für  $p_{\rm S} = 10^{\rm -5}$  erforderlich ist.

${\rm Minimum} \big[10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 \big ] \ = \ $ $\ \rm dB$

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Aus $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$ folgt $E_{\rm S}/N_0 = 10$ und damit

$$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{10} \right ) \approx

\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 20\pi} }\cdot \rm e^{-5  }  \underline{=85 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$

• Der tatsächliche Wert gemäß dem Angabenblatt lautet $78.3 \cdot 10^{\rm -5}$.
• Die angegebene Gleichung ist also tatsächlich eine obere Schranke für ${\rm Q}(x)$.
• Der relative Fehler bei Verwendung dieser Näherung anstelle der exakten Funktion ${\rm Q}(x)$ ist in diesem Fall kleiner als $10\%$.

(2)  Bei BPSK lautet die entsprechende Gleichung:

$$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{20} \right ) \approx

\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 40\pi} }\cdot \rm e^{-10  }  \underline{=0.405 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$

• Nun beträgt der relative Fehler bei Verwendung der Näherung nur noch $5\%$.
• Allgemein gilt: Je kleiner die Fehlerwahrscheinlichkeit ist, um so besser ist die Näherung.

(3)  Bei BPSK ist hierfür laut Angabe ein (logarithmierter) Wert von $9.6 \ \rm dB$ erforderlich.

• Bei der OOK muss der logarithmierte Wert um etwa $3 \ \rm dB$ erhöht werden ⇒ $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 \ \underline {\approx 12.6 \ \rm dB}$.