Aufgaben:Aufgabe 1.08Z: BPSK-Fehlerwahrscheinlichkeit: Unterschied zwischen den Versionen
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*rechteckförmigem Sendesignal mit den Signalwerten $\pm s_{0}$ und der Bitdauer $T_{\rm B}$, | *rechteckförmigem Sendesignal mit den Signalwerten $\pm s_{0}$ und der Bitdauer $T_{\rm B}$, | ||
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*AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_{0}$, | *AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_{0}$, | ||
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*Empfangsfilter gemäß dem Matched–Filter–Prinzip, | *Empfangsfilter gemäß dem Matched–Filter–Prinzip, | ||
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*Entscheider mit der optimalen Schwelle $E = 0$. | *Entscheider mit der optimalen Schwelle $E = 0$. | ||
− | Wenn nichts anderes angegeben, sollten Sie zudem von den folgenden Zahlenwerten ausgehen: | + | Wenn nichts anderes angegeben, sollten Sie zudem von den folgenden Zahlenwerten ausgehen: |
:$$ s_0 = 4\,{\rm V},\hspace{0.2cm} T_{\rm B} = 1\,{\rm ns},\hspace{0.2cm}N_0 = 2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$ s_0 = 4\,{\rm V},\hspace{0.2cm} T_{\rm B} = 1\,{\rm ns},\hspace{0.2cm}N_0 = 2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit dieses „Basisbandsystems” wurde bereits im Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung|Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]] angegeben (Index: BB): | + | Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit dieses „Basisbandsystems” wurde bereits im Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung|"Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung"]] angegeben $($Index: $\rm BB)$: |
:$$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\rm B}}}.$$ | :$$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\rm B}}}.$$ | ||
− | Hierbei bezeichnet $\sigma_{d}$ den Rauscheffektivwert am Entscheider und ${\rm Q}(x)$ die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion, die hier tabellarisch gegeben ist. | + | Hierbei bezeichnet $\sigma_{d}$ den Rauscheffektivwert am Entscheider und ${\rm Q}(x)$ die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion, die hier tabellarisch gegeben ist. Diese Fehlerwahrscheinlichkeit kann man auch in der Form |
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:$$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )$$ | :$$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )$$ | ||
− | schreiben, wobei $E_{\rm B}$ die „Energie pro Bit” bezeichnet. | + | schreiben, wobei $E_{\rm B}$ die „Energie pro Bit” bezeichnet. |
− | Die Fehlerwahrscheinlichkeit eines vergleichbaren Übertragungssystems mit | + | Die Fehlerwahrscheinlichkeit eines vergleichbaren Übertragungssystems mit "Binary Phase Shift Keying" lautet $($Index: $\rm BPSK)$: |
:$$p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{{N_0}/{T_{\rm B}}}.$$ | :$$p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{{N_0}/{T_{\rm B}}}.$$ | ||
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− | *Sie können die Ergebnisse mit dem Applet [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] überprüfen. | + | *Sie können die Ergebnisse mit dem Applet [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|"Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen"]] überprüfen. |
− | *Da hier der Signalwert $s_{0}$ in „Volt” angegeben ist und keine Angabe zum Bezugswiderstand gemacht wird, hat $E_{\rm B}$ die Einheit „$\rm V^{2}/Hz$”. | + | |
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− | {Es gelte $s_{0} = 4 \, \rm V$. Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm BB}$ des Basisbandsystems? | + | {Es gelte $s_{0} = 4 \, \rm V$. Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm BB}$ des Basisbandsystems? |
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$p_{\rm BB} \ = \ $ { 0.00317 3% } $\ \% $ | $p_{\rm BB} \ = \ $ { 0.00317 3% } $\ \% $ | ||
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$E_{\rm B} \ = \ $ { 1.6 3% } $\ \cdot 10^{-8}\ \rm V^{2}s $ | $E_{\rm B} \ = \ $ { 1.6 3% } $\ \cdot 10^{-8}\ \rm V^{2}s $ | ||
− | {Welche Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm BB}$ ergibt sich bei halber Sendeamplitude $(s_{0} = 2 \, \rm V)$? | + | {Welche Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm BB}$ ergibt sich bei halber Sendeamplitude $(s_{0} = 2 \, \rm V)$? |
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$p_{\rm BB} \ = \ $ { 2.27 3% } $\ \% $ | $p_{\rm BB} \ = \ $ { 2.27 3% } $\ \% $ | ||
− | {Geben Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit der BPSK abhängig vom Quotienten $E_{\rm B}/N_{0}$ an. Welches Ergebnis stimmt? | + | {Geben Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit der BPSK abhängig vom Quotienten $E_{\rm B}/N_{0}$ an. Welches Ergebnis stimmt? |
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- $p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\big [(E_{\rm B}/N_{0})^{1/2}\big ]$, | - $p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\big [(E_{\rm B}/N_{0})^{1/2}\big ]$, |
Version vom 6. Mai 2022, 16:18 Uhr
Wir gehen vom optimalen Basisbandübertragungssystem für Binärsignale aus mit
- bipolaren Amplitudenkoeffizienten $a_{\nu} \in \{–1, +1\}$,
- rechteckförmigem Sendesignal mit den Signalwerten $\pm s_{0}$ und der Bitdauer $T_{\rm B}$,
- AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_{0}$,
- Empfangsfilter gemäß dem Matched–Filter–Prinzip,
- Entscheider mit der optimalen Schwelle $E = 0$.
Wenn nichts anderes angegeben, sollten Sie zudem von den folgenden Zahlenwerten ausgehen:
- $$ s_0 = 4\,{\rm V},\hspace{0.2cm} T_{\rm B} = 1\,{\rm ns},\hspace{0.2cm}N_0 = 2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} \hspace{0.05cm}.$$
Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit dieses „Basisbandsystems” wurde bereits im Kapitel "Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung" angegeben $($Index: $\rm BB)$:
- $$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\rm B}}}.$$
Hierbei bezeichnet $\sigma_{d}$ den Rauscheffektivwert am Entscheider und ${\rm Q}(x)$ die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion, die hier tabellarisch gegeben ist. Diese Fehlerwahrscheinlichkeit kann man auch in der Form
- $$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )$$
schreiben, wobei $E_{\rm B}$ die „Energie pro Bit” bezeichnet.
Die Fehlerwahrscheinlichkeit eines vergleichbaren Übertragungssystems mit "Binary Phase Shift Keying" lautet $($Index: $\rm BPSK)$:
- $$p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{{N_0}/{T_{\rm B}}}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation".
- Bezug genommen wird auch auf das Kapitel "Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung".
- Sie können die Ergebnisse mit dem Applet "Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen" überprüfen.
- Da hier der Signalwert $s_{0}$ in „Volt” angegeben ist und keine Angabe zum Bezugswiderstand gemacht wird, hat $E_{\rm B}$ die Einheit „$\rm V^{2}/Hz$”.
Fragebogen
Musterlösung
- $$\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\rm B}}}= \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2/Hz}}{2 \cdot 1\,{\rm ns}}}= 1\,{\rm V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ({s_0}/{\sigma_d } \right )= {\rm Q}(4)= 0.317 \cdot 10^{-4}\hspace{0.1cm}\underline {= 0.00317 \%}.$$
(2) Beim Basisbandsystem gilt:
- $$E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T_{\rm B}= (4\,{\rm V})^2 \cdot 10^{-9}\,{\rm s}\hspace{0.1cm}\underline {= 1.6 \cdot 10^{-8}\,{\rm V^2s}}.$$
Natürlich ergibt sich mit der zusätzlich angegebenen Gleichung die genau gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit:
- $$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 16 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(4)= 0.317 \cdot 10^{-4}.$$
Ein Vergleich mit der Teilaufgabe (4) von Aufgabe A1.8 zeigt, dass $E_{\rm B}/N_{0} = 8$ nicht (exakt) gleich $10 \cdot \lg E_{\rm B}/N_{0} = 9 \ \rm dB$ ist. Im ersten Fall ergibt sich $p_{\rm BB} = 0.317 \cdot 10^{–4}$, im zweiten $p_{\rm BB} = 0.336 \cdot 10^{-4}$.
(3) Bei halber Sendeamplitude $s_{0} = 2 \ \rm V$ sinkt die Energie pro Bit auf ein Viertel und es gelten folgende Gleichungen:
- $$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \frac{2\,{\rm V}}{1\,{\rm V}} \right )\hspace{0.1cm}\underline {= {\rm Q}(2)= 2.27 \%},$$
- $$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 4 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(2)= 2.27 \%.$$
(4) Unter Berücksichtigung der nur mehr halben Energie $E_{\rm B} = s^{2}_{0} \cdot T_{\rm B}/2$ erhält man mit $\sigma^{2}_{d} = N_{0}/T_{\rm B}$ und
- $$p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \sqrt{{s_0^2 \cdot T_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }}\hspace{0.1cm}\right )$$
das genau gleiche Ergebnis wie beim optimalen Basisbandsystem ⇒ Lösungsvorschlag 2.
(5) Es ergeben sich damit natürlich auch die genau gleichen Ergebnisse wie bei der Basisbandübertragung:
- $${ E_{\rm B}}/{N_0 }= 8{\rm :} \hspace{0.2cm}p_{\rm BPSK} = {\rm Q}(\sqrt{16}) = {\rm Q}(4)\hspace{0.1cm}\underline {= 0.00317 \%},$$
- $${ E_{\rm B}}/{N_0 }= 2{\rm :} \hspace{0.2cm}p_{\rm BPSK} = {\rm Q}(\sqrt{4}) = {\rm Q}(2) \hspace{0.1cm}\underline {= 2.27 \%}.$$