Aufgaben:Aufgabe 3.1Z: Dreieckförmige WDF: Unterschied zwischen den Versionen
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− | [[Datei:P_ID109__Sto_Z_3_1.png|right|frame|Dreieck-WDF und Kennlinie $y(x)$]] | + | [[Datei:P_ID109__Sto_Z_3_1.png|right|frame|Dreieck-WDF und Kennlinie $y(x)$]] |
− | Wir betrachten eine kontinuierliche Zufallsgröße $x$ mit der oben skizzierten WDF. Der Minimalwert des Signals ist $x_{\rm min} = -2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Dagegen ist der maximale Wert $x_{\rm max}$ ein freier Parameter, der Werte zwischen $2\hspace{0.05cm}\rm V$ und $4\hspace{0.05cm} \rm V$ annehmen kann. | + | Wir betrachten eine kontinuierliche Zufallsgröße $x$ mit der oben skizzierten WDF. |
+ | *Der Minimalwert des Signals ist $x_{\rm min} = -2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. | ||
+ | *Dagegen ist der maximale Wert $x_{\rm max}$ ein freier Parameter, der Werte zwischen $+2\hspace{0.05cm}\rm V$ und $+4\hspace{0.05cm} \rm V$ annehmen kann. | ||
− | Die Zufallsgröße $x$ soll hier als der Momentanwert eines Zufallssignals aufgefasst werden. Gibt man dieses Signal $x(t)$ auf einen Amplitudenbegrenzer mit der Kennlinie (siehe untere Skizze) | + | |
+ | Die Zufallsgröße $x$ soll hier als der Momentanwert eines Zufallssignals aufgefasst werden. Gibt man dieses Signal $x(t)$ auf einen Amplitudenbegrenzer mit der Kennlinie (siehe untere Skizze) | ||
$$y(t)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}} -2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} x(t)<-2\hspace{0.05cm} {\rm V} , \\ x(t) & {\rm falls}\hspace{0.1cm}-2\hspace{0.05cm} {\rm V} \le x(t)\le +2\hspace{0.05cm} {\rm V}, \\ +2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} {\it x}({\it t})>+2\hspace{0.05cm} {\rm V}, \\\end{array}\right.$$ | $$y(t)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}} -2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} x(t)<-2\hspace{0.05cm} {\rm V} , \\ x(t) & {\rm falls}\hspace{0.1cm}-2\hspace{0.05cm} {\rm V} \le x(t)\le +2\hspace{0.05cm} {\rm V}, \\ +2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} {\it x}({\it t})>+2\hspace{0.05cm} {\rm V}, \\\end{array}\right.$$ | ||
− | so entsteht das | + | so entsteht das Signa $y(t)$ bzw. die neue Zufallsgröße $y$, die in den beiden letzten Teilfragen '''(5)''' und '''(6)''' betrachtet wird. <br /> |
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+ | *Für die Teilaufgaben '''(1)''' und '''(2)''' gelte $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V} $. | ||
+ | * Für alle weiteren Teilaufgaben ist $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V} $ zu setzen. | ||
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− | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion_(WDF)|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion_(WDF)|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]]. |
− | *Eine Zusammenfassung der hier behandelten Thematik bietet das Lernvideo [[Wahrscheinlichkeit_und_WDF_(Lernvideo)|Wahrscheinlichkeit und WDF]]. | + | *Eine Zusammenfassung der hier behandelten Thematik bietet das Lernvideo [[Wahrscheinlichkeit_und_WDF_(Lernvideo)|Wahrscheinlichkeit und WDF]]. |
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− | {Es sei $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Berechnen Sie den Parameter $A = f_x(0)$. | + | {Es sei $x_{\rm max} = +2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Berechnen Sie den Parameter $A = f_x(0)$. |
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$A \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \rm 1/V$ | $A \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \rm 1/V$ | ||
− | {Weiterhin sei $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist $|x(t)|$ kleiner als $x_{\rm max}/2$? | + | {Weiterhin sei $x_{\rm max} = +2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist $|x(t)|$ kleiner als $x_{\rm max}/2$? |
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${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}| < 2\hspace{0.05cm} {\rm V}) \ = \ $ { 0.75 3% } | ${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}| < 2\hspace{0.05cm} {\rm V}) \ = \ $ { 0.75 3% } | ||
− | {Nun gelte $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ zwischen $1\hspace{0.05cm} {\rm V}$ und $3\hspace{0.05cm} {\rm V}$ liegt? | + | {Nun gelte $x_{\rm max} = +4\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ zwischen $+1\hspace{0.05cm} {\rm V}$ und $+3\hspace{0.05cm} {\rm V}$ liegt? |
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${\rm Pr}(1\hspace{0.05cm} {\rm V} < x <3\hspace{0.05cm} {\rm V}) \ = \ $ { 0.333 3% } | ${\rm Pr}(1\hspace{0.05cm} {\rm V} < x <3\hspace{0.05cm} {\rm V}) \ = \ $ { 0.333 3% } | ||
− | {Es sei weiterhin $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ genau gleich $2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ ist? | + | {Es sei weiterhin $x_{\rm max} = +4\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ genau gleich $+2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ ist? |
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${\rm Pr}(x =2\hspace{0.05cm} {\rm V})\ = \ $ { 0. } | ${\rm Pr}(x =2\hspace{0.05cm} {\rm V})\ = \ $ { 0. } | ||
− | {Es sei weiterhin $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? | + | {Es sei weiterhin $x_{\rm max} = +4\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | - $y$ ist eine kontinuierliche Zufallsgröße. | + | - $y$ ist eine kontinuierliche Zufallsgröße. |
− | - $y$ ist eine diskrete Zufallsgröße. | + | - $y$ ist eine diskrete Zufallsgröße. |
− | + $y$ ist eine gemischt kontinuierlich-diskrete Zufallsgröße. | + | + $y$ ist eine gemischt kontinuierlich-diskrete Zufallsgröße. |
− | {Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$, dass $y$ genau gleich $2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ ist? | + | {Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit $x_{\rm max} = +4\hspace{0.05cm} {\rm V}$, dass $y$ genau gleich $+2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ ist? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
${\rm Pr}(y =2\hspace{0.05cm} {\rm V})\ = \ $ { 0.167 3% } | ${\rm Pr}(y =2\hspace{0.05cm} {\rm V})\ = \ $ { 0.167 3% } |
Version vom 14. November 2019, 15:36 Uhr
Wir betrachten eine kontinuierliche Zufallsgröße $x$ mit der oben skizzierten WDF.
- Der Minimalwert des Signals ist $x_{\rm min} = -2\hspace{0.05cm} {\rm V}$.
- Dagegen ist der maximale Wert $x_{\rm max}$ ein freier Parameter, der Werte zwischen $+2\hspace{0.05cm}\rm V$ und $+4\hspace{0.05cm} \rm V$ annehmen kann.
Die Zufallsgröße $x$ soll hier als der Momentanwert eines Zufallssignals aufgefasst werden. Gibt man dieses Signal $x(t)$ auf einen Amplitudenbegrenzer mit der Kennlinie (siehe untere Skizze)
$$y(t)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}} -2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} x(t)<-2\hspace{0.05cm} {\rm V} , \\ x(t) & {\rm falls}\hspace{0.1cm}-2\hspace{0.05cm} {\rm V} \le x(t)\le +2\hspace{0.05cm} {\rm V}, \\ +2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} {\it x}({\it t})>+2\hspace{0.05cm} {\rm V}, \\\end{array}\right.$$
so entsteht das Signa $y(t)$ bzw. die neue Zufallsgröße $y$, die in den beiden letzten Teilfragen (5) und (6) betrachtet wird.
- Für die Teilaufgaben (1) und (2) gelte $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V} $.
- Für alle weiteren Teilaufgaben ist $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V} $ zu setzen.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
- Eine Zusammenfassung der hier behandelten Thematik bietet das Lernvideo Wahrscheinlichkeit und WDF.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Die Fläche unter der WDF muss stets den Wert $1$ ergeben. Daraus folgt:
- $${A}/{ 2}\cdot {4\hspace{0.5cm}V}=1\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} A \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.5\;{1}/{V}}.$$
(2) Mit $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ ergibt sich die WDF entsprechend der linken Grafik.
- Die Schraffierung markiert die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
- Man erhält durch einfache geometrische Überlegungen:
- $${\rm Pr}(|x|<\rm 1\hspace{0.05cm} V)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.75}.$$
(3) Mit $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$ erhält man die rechts dargestellte WDF und den Maximalwert $A = 1/(3\hspace{0.05cm} {\rm V})$. Die schraffierte Fläche gibt wieder die gesuchte Wahrscheinlichkeit an, die man zum Beispiel über das flächengleiche Rechteck bestimmen kann:
- $${\rm Pr}(1\hspace{0.05cm} {\rm V}< x<3\hspace{0.05cm} {\rm V})=\rm \frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot 2\hspace{0.05cm} {\rm V}=\hspace{0.15cm}\underline{0.333}.$$
(4) Da $x$ eine kontinuierliche Zufallsgröße darstellt, ist diese Wahrscheinlichkeit definitionsgemäß gleich null ⇒ ${\rm Pr}(x =2\hspace{0.05cm} {\rm V}) \;\underline {= 0}$.
(5) Nur die letzte Aussage der vorgegebenen Antworten ist zutreffend:
- Die WDF $f_y(y)$ beinhaltet einen kontinuierlichen Anteil (blau gezeichnet),
- aber auch die (rote) Diracfunktion bei $y = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ mit dem Gewicht ${\rm Pr}(x >2\hspace{0.05cm} {\rm V})$.
(6) Nebenstehend ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsgröße $y$ dargestellt. Aus der oberen rechten Abbildung zur Teilaufgabe (3) erkennt man den Zusammenhang:
- $${\rm Pr}( y=2\hspace{0.05cm} {\rm V}) = {\rm Pr}( x> 2\hspace{0.05cm} {\rm V}) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot2{\hspace{0.05cm} {\rm V}} = {1}/{6}\hspace{0.15cm}\underline{=0.167}.$$