Aufgaben:Aufgabe 3.1Z: Dreieckförmige WDF: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
Zeile 3: Zeile 3:
 
}}
 
}}
  
[[Datei:P_ID109__Sto_Z_3_1.png|right|frame|Dreieck-WDF und Kennlinie $y(x)$]]
+
[[Datei:P_ID109__Sto_Z_3_1.png|right|frame|Dreieck-WDF und Kennlinie  $y(x)$]]
Wir betrachten eine kontinuierliche Zufallsgröße $x$ mit der oben skizzierten WDF. Der Minimalwert des Signals ist $x_{\rm min} = -2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Dagegen ist der maximale Wert $x_{\rm max}$ ein freier Parameter, der Werte zwischen $2\hspace{0.05cm}\rm V$ und $4\hspace{0.05cm} \rm V$ annehmen kann.
+
Wir betrachten eine kontinuierliche Zufallsgröße  $x$  mit der oben skizzierten WDF. 
 +
*Der Minimalwert des Signals ist  $x_{\rm min} = -2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. 
 +
*Dagegen ist der maximale Wert  $x_{\rm max}$  ein freier Parameter, der Werte zwischen  $+2\hspace{0.05cm}\rm V$  und  $+4\hspace{0.05cm} \rm V$  annehmen kann.
  
Die Zufallsgröße $x$ soll hier als der Momentanwert eines Zufallssignals aufgefasst werden. Gibt man dieses Signal $x(t)$ auf einen Amplitudenbegrenzer mit der Kennlinie (siehe untere Skizze)
+
 
 +
Die Zufallsgröße  $x$  soll hier als der Momentanwert eines Zufallssignals aufgefasst werden.  Gibt man dieses Signal  $x(t)$  auf einen Amplitudenbegrenzer mit der Kennlinie  (siehe untere Skizze)
 
$$y(t)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}} -2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} x(t)<-2\hspace{0.05cm} {\rm V} , \\ x(t) &  {\rm falls}\hspace{0.1cm}-2\hspace{0.05cm} {\rm V} \le  x(t)\le +2\hspace{0.05cm} {\rm V},  \\ +2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} {\it x}({\it t})>+2\hspace{0.05cm} {\rm V},  \\\end{array}\right.$$
 
$$y(t)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}} -2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} x(t)<-2\hspace{0.05cm} {\rm V} , \\ x(t) &  {\rm falls}\hspace{0.1cm}-2\hspace{0.05cm} {\rm V} \le  x(t)\le +2\hspace{0.05cm} {\rm V},  \\ +2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} {\it x}({\it t})>+2\hspace{0.05cm} {\rm V},  \\\end{array}\right.$$
  
so entsteht das Signal $y(t)$ bzw. die neue Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$, die in den beiden letzten Teilfragen '''(5)''' und '''(6)''' betrachtet wird. <br />
+
so entsteht das Signa&nbsp; $y(t)$&nbsp; bzw. die neue Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$, die in den beiden letzten Teilfragen&nbsp; '''(5)'''&nbsp; und&nbsp; '''(6)'''&nbsp; betrachtet wird. <br />
 +
 
 +
*F&uuml;r die Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; und&nbsp; '''(2)'''&nbsp; gelte&nbsp; $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V} $.
 +
* F&uuml;r alle weiteren Teilaufgaben ist&nbsp; $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V} $&nbsp; zu setzen.
  
*F&uuml;r die Teilaufgaben '''(1)''' und '''(2)''' gelte $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V} $.
 
* F&uuml;r alle weiteren Teilaufgaben ist $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V} $ zu setzen.
 
  
  
Zeile 20: Zeile 24:
  
 
''Hinweise:''  
 
''Hinweise:''  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion_(WDF)|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]].
+
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion_(WDF)|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]].
 
   
 
   
*Eine Zusammenfassung der hier behandelten Thematik bietet das Lernvideo [[Wahrscheinlichkeit_und_WDF_(Lernvideo)|Wahrscheinlichkeit und WDF]].
+
*Eine Zusammenfassung der hier behandelten Thematik bietet das Lernvideo&nbsp; [[Wahrscheinlichkeit_und_WDF_(Lernvideo)|Wahrscheinlichkeit und WDF]].
  
  
Zeile 28: Zeile 32:
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Es sei $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Berechnen Sie den Parameter $A = f_x(0)$.
+
{Es sei&nbsp; $x_{\rm max} = +2\hspace{0.05cm} {\rm V}$.&nbsp; Berechnen Sie den Parameter&nbsp; $A = f_x(0)$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$A \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \rm 1/V$
 
$A \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \rm 1/V$
  
  
{Weiterhin sei $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist $|x(t)|$ kleiner als $x_{\rm max}/2$?
+
{Weiterhin sei&nbsp; $x_{\rm max} = +2\hspace{0.05cm} {\rm V}$.&nbsp; Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist&nbsp; $|x(t)|$&nbsp; kleiner als&nbsp; $x_{\rm max}/2$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}| < 2\hspace{0.05cm} {\rm V}) \ =  \ $  { 0.75 3% }
 
${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}| < 2\hspace{0.05cm} {\rm V}) \ =  \ $  { 0.75 3% }
  
  
{Nun gelte $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ zwischen $1\hspace{0.05cm} {\rm V}$ und $3\hspace{0.05cm} {\rm V}$ liegt?
+
{Nun gelte&nbsp; $x_{\rm max} = +4\hspace{0.05cm} {\rm V}$.&nbsp; Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x$&nbsp; zwischen&nbsp; $+1\hspace{0.05cm} {\rm V}$&nbsp; und&nbsp; $+3\hspace{0.05cm} {\rm V}$&nbsp; liegt?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
${\rm Pr}(1\hspace{0.05cm} {\rm V} < x <3\hspace{0.05cm} {\rm V}) \ = \ $  { 0.333 3% }
 
${\rm Pr}(1\hspace{0.05cm} {\rm V} < x <3\hspace{0.05cm} {\rm V}) \ = \ $  { 0.333 3% }
  
  
{Es sei weiterhin $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ genau gleich $2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ ist?
+
{Es sei weiterhin&nbsp; $x_{\rm max} = +4\hspace{0.05cm} {\rm V}$.&nbsp; Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x$&nbsp; genau gleich $+2\hspace{0.05cm} {\rm V}$&nbsp; ist?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
${\rm Pr}(x =2\hspace{0.05cm} {\rm V})\ = \ $ { 0. }
 
${\rm Pr}(x =2\hspace{0.05cm} {\rm V})\ = \ $ { 0. }
  
  
{Es sei weiterhin $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
+
{Es sei weiterhin&nbsp; $x_{\rm max} = +4\hspace{0.05cm} {\rm V}$.&nbsp; Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- $y$ ist eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e.
+
- $y$&nbsp; ist eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e.
- $y$ ist eine diskrete Zufallsgr&ouml;&szlig;e.
+
- $y$&nbsp; ist eine diskrete Zufallsgr&ouml;&szlig;e.
+ $y$ ist eine gemischt kontinuierlich-diskrete Zufallsgr&ouml;&szlig;e.
+
+ $y$&nbsp; ist eine gemischt kontinuierlich-diskrete Zufallsgr&ouml;&szlig;e.
  
  
{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit mit $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$, dass $y$ genau gleich $2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ ist?
+
{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit mit&nbsp; $x_{\rm max} = +4\hspace{0.05cm} {\rm V}$, dass&nbsp; $y$&nbsp; genau gleich&nbsp; $+2\hspace{0.05cm} {\rm V}$&nbsp; ist?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
${\rm Pr}(y =2\hspace{0.05cm} {\rm V})\ = \ $ { 0.167 3% }
 
${\rm Pr}(y =2\hspace{0.05cm} {\rm V})\ = \ $ { 0.167 3% }

Version vom 14. November 2019, 15:36 Uhr

Dreieck-WDF und Kennlinie  $y(x)$

Wir betrachten eine kontinuierliche Zufallsgröße  $x$  mit der oben skizzierten WDF. 

  • Der Minimalwert des Signals ist  $x_{\rm min} = -2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. 
  • Dagegen ist der maximale Wert  $x_{\rm max}$  ein freier Parameter, der Werte zwischen  $+2\hspace{0.05cm}\rm V$  und  $+4\hspace{0.05cm} \rm V$  annehmen kann.


Die Zufallsgröße  $x$  soll hier als der Momentanwert eines Zufallssignals aufgefasst werden.  Gibt man dieses Signal  $x(t)$  auf einen Amplitudenbegrenzer mit der Kennlinie  (siehe untere Skizze) $$y(t)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}} -2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} x(t)<-2\hspace{0.05cm} {\rm V} , \\ x(t) & {\rm falls}\hspace{0.1cm}-2\hspace{0.05cm} {\rm V} \le x(t)\le +2\hspace{0.05cm} {\rm V}, \\ +2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} {\it x}({\it t})>+2\hspace{0.05cm} {\rm V}, \\\end{array}\right.$$

so entsteht das Signa  $y(t)$  bzw. die neue Zufallsgröße  $y$, die in den beiden letzten Teilfragen  (5)  und  (6)  betrachtet wird.

  • Für die Teilaufgaben  (1)  und  (2)  gelte  $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V} $.
  • Für alle weiteren Teilaufgaben ist  $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V} $  zu setzen.




Hinweise:


Fragebogen

1

Es sei  $x_{\rm max} = +2\hspace{0.05cm} {\rm V}$.  Berechnen Sie den Parameter  $A = f_x(0)$.

$A \ = \ $

$\ \rm 1/V$

2

Weiterhin sei  $x_{\rm max} = +2\hspace{0.05cm} {\rm V}$.  Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist  $|x(t)|$  kleiner als  $x_{\rm max}/2$?

${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}| < 2\hspace{0.05cm} {\rm V}) \ = \ $

3

Nun gelte  $x_{\rm max} = +4\hspace{0.05cm} {\rm V}$.  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $x$  zwischen  $+1\hspace{0.05cm} {\rm V}$  und  $+3\hspace{0.05cm} {\rm V}$  liegt?

${\rm Pr}(1\hspace{0.05cm} {\rm V} < x <3\hspace{0.05cm} {\rm V}) \ = \ $

4

Es sei weiterhin  $x_{\rm max} = +4\hspace{0.05cm} {\rm V}$.  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $x$  genau gleich $+2\hspace{0.05cm} {\rm V}$  ist?

${\rm Pr}(x =2\hspace{0.05cm} {\rm V})\ = \ $

5

Es sei weiterhin  $x_{\rm max} = +4\hspace{0.05cm} {\rm V}$.  Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

$y$  ist eine kontinuierliche Zufallsgröße.
$y$  ist eine diskrete Zufallsgröße.
$y$  ist eine gemischt kontinuierlich-diskrete Zufallsgröße.

6

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit  $x_{\rm max} = +4\hspace{0.05cm} {\rm V}$, dass  $y$  genau gleich  $+2\hspace{0.05cm} {\rm V}$  ist?

${\rm Pr}(y =2\hspace{0.05cm} {\rm V})\ = \ $


Musterlösung

Höhe und Fläche der Dreieck-WDF

(1)  Die Fläche unter der WDF muss stets den Wert $1$ ergeben. Daraus folgt:

$${A}/{ 2}\cdot {4\hspace{0.5cm}V}=1\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} A \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.5\;{1}/{V}}.$$


(2)  Mit $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ ergibt sich die WDF entsprechend der linken Grafik.

  • Die Schraffierung markiert die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
  • Man erhält durch einfache geometrische Überlegungen:
$${\rm Pr}(|x|<\rm 1\hspace{0.05cm} V)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.75}.$$


(3)  Mit $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$ erhält man die rechts dargestellte WDF und den Maximalwert $A = 1/(3\hspace{0.05cm} {\rm V})$. Die schraffierte Fläche gibt wieder die gesuchte Wahrscheinlichkeit an, die man zum Beispiel über das flächengleiche Rechteck bestimmen kann:

$${\rm Pr}(1\hspace{0.05cm} {\rm V}< x<3\hspace{0.05cm} {\rm V})=\rm \frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot 2\hspace{0.05cm} {\rm V}=\hspace{0.15cm}\underline{0.333}.$$


(4)  Da $x$ eine kontinuierliche Zufallsgröße darstellt, ist diese Wahrscheinlichkeit definitionsgemäß gleich null   ⇒   ${\rm Pr}(x =2\hspace{0.05cm} {\rm V}) \;\underline {= 0}$.


Gemischt kontinuierlich/diskrete WDF

(5)  Nur die letzte Aussage der vorgegebenen Antworten ist zutreffend:

  • Die WDF $f_y(y)$ beinhaltet einen kontinuierlichen Anteil (blau gezeichnet),
  • aber auch die (rote) Diracfunktion bei $y = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ mit dem Gewicht ${\rm Pr}(x >2\hspace{0.05cm} {\rm V})$.


(6)  Nebenstehend ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsgröße $y$ dargestellt. Aus der oberen rechten Abbildung zur Teilaufgabe (3) erkennt man den Zusammenhang:

$${\rm Pr}( y=2\hspace{0.05cm} {\rm V}) = {\rm Pr}( x> 2\hspace{0.05cm} {\rm V}) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot2{\hspace{0.05cm} {\rm V}} = {1}/{6}\hspace{0.15cm}\underline{=0.167}.$$