Aufgaben:Aufgabe 1.3: Kanalmodelle BSC–BEC–BSEC–AWGN

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Kanalmodelle  „BSEC”  und  „AWGN”

Im Theorieteil zu diesem Kapitel werden die folgenden digitalen Kanalmodelle behandelt:

• Binary Symmetric Channel  (BSC),
• Binary Erasure Channel  (BEC),
• Binary Symmetric Error & Erasure Channel  (BSEC).

Die obere Grafik zeigt das BSEC–Modell. Daraus lassen sich zwei andere Kanalmodelle ableiten:

• Mit  $λ = 0$  ergibt sich das BSC–Modell.
• Mit  $\varepsilon = 0$  ergibt sich das BEC–Modell.

Die untere Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen dem diskreten BSEC–Modell und dem analogen AWGN–Kanalmodell. Um Verwechslungen zu vermeiden, bezeichnen wir das (analoge) Ausgangssignal des AWGN–Kanals mit  $y_{\rm A}$, wobei mit dem Rauschterm  $n$  gilt:

$$y_{\rm A} = \tilde{x}+ n.$$

Die Tilde weist auf die bipolare Beschreibung des Digitalsignals hin. Es gilt:

• $\tilde{x} = +1$, falls  $x = 0$,
• $\tilde{x} = -1$, falls  $x = 1$.

Man erkennt die ternäre Ausgangsgröße  $y \in \{0, 1, \rm E\}$, die sich aus dem AWGN–Modell durch die Unterteilung in drei Bereiche ergibt. Hierzu werden die Entscheiderschwellen  $G_0$  und  $G_1$  benötigt.

Das Ereignis   $y = \rm E$  („Erasure”) sagt aus, dass die Entscheidung so unsicher ist, dass als Ergebnis weder  $y = 0$  noch  $y = 1$  gerechtfertigt erscheint. In deutschen Fachbüchern spricht man von einer „Auslöschung”.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen.
• Die Streuung des AWGN–Rauschens  $n$  wird für die gesamte Aufgabe zu  $\sigma = 0.4$  angenommen.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße  $n$  größer ist als  $A$  oder kleiner als  $–A$, ergibt sich mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral  ${\rm Q}(x)$  wie folgt:

$${\rm Pr}(n > A) = {\rm Pr}(n < -A) = {\rm Q}(A/\sigma)\hspace{0.05cm}.$$

• Bitte beachten Sie weiter:   Ausgehend vom AWGN–Kanal ist die Verfälschungswahrscheinlichkeit  $\varepsilon = 0$  eigentlich nicht möglich.
• Für diese Aufgabe behelfen wir uns dadurch, dass alle Wahrscheinlichkeiten in Prozent mit zwei Nachkommastellen angegeben werden sollen. Damit kann  $\varepsilon < 0.5 · 10^{-4}$  durch  $\varepsilon \approx 0$  angenähert werden.

Es folgen noch einige Zahlenwerte der Q–Funktion:

$$ {\rm Q}(0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 50.0\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.5) \ = \ 30.85\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(1) \ = \ 15.87\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.5) \ = \ 6.68\%\hspace{0.05cm},$$

$${\rm Q}(2) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2.28\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.5) \ = \hspace{0.3cm} 0.62\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(3) \ = \hspace{0.3cm} 0.14\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(3.5) \ = \hspace{0.3cm} 0.02\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(4) \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

1

Durch welche Entscheiderschwelle(n) entsteht das BSC–Modell?

	Eine Entscheiderschwelle bei  $G = 0$.
	Zwei symmetrische Entscheiderschwellen bei  $±G$.
	Eine Entscheiderschwelle bei  $G_{1} = 0$  und eine zweite bei  $G_{2} = 0.5$.

2

Wie groß ist die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit  $\varepsilon$  mit  $\sigma = 0.4$?

$\varepsilon \ = \ $ $\ \%$

3

Durch welche Entscheiderschwelle(n) entsteht das BSEC–Modell?

	Eine Entscheiderschwelle bei  $G = 0$.
	Zwei symmetrische Entscheiderschwellen bei  $±G$.
	Eine Entscheiderschwelle bei  $G_{1} = 0$  und eine zweite bei  $G_{2} = 0.5$.

4

Welche BSEC–Parameter ergeben sich mit Schwellen bei  $±0.2$?

$\varepsilon \ = \ $ $ \ \%$

$\lambda \ = \ $ $ \ \%$

5

Durch welche Entscheiderschwelle(n) entsteht das BEC–Modell? Beachten Sie bitte den letzten Hinweis auf der Angabenseite.

	Eine Entscheiderschwelle bei  $G = 0$.
	Zwei symmetrische Entscheiderschwellen bei  $±G$.
	Eine Entscheiderschwelle bei  $G_{1} = 0$  und eine zweite bei  $G_{2} = 0.5$.

6

Berechnen Sie den BEC–Parameter  $\lambda$  für Entscheiderschwellen bei  $G = ±0.6$.

$\lambda \ = \ $ $ \ \%$

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Richtig ist die Antwort 1:

• Das BSC–Modell basiert auf einer einzigen Entscheiderschwelle. Wegen der Eigenschaft Symmetric liegt diese bei $G = 0$.

(2)  Die Wahrscheinlickeit, dass eine Gaußsche Zufallsgröße mit Streuung $\sigma$ größer ist als $+1$ oder kleiner ist als $–1$, ergibt sich gemäß der Angabe zu $\varepsilon = {\rm Q} (1/ \sigma)$. Mit $\sigma= 0.4$ folgt daraus:

$$\varepsilon = {\rm Q}(2.5) \ \underline { = 0.62\, \%}.$$

(3)  Richtig ist hier die Antwort 2:

• Beim BSEC–Modell gibt es drei Entscheidungsgebiete, je eines für die Symbole $0$ und $1$ und ein weiteres für Erasure ($\rm E$: keine Entscheidung möglich).
• Dazu benötigt man zwei Schwellen, die symmetrisch um $0$ liegen müssen.
• Wenn dem nicht so wäre, ergäben sich unterschiedliche Ergebnisse für die Symbole $0$ und $1$.

(4)  Es gelte $y_{\rm A} = \tilde{x}+ n$. Eine falsche Entscheidung ergibt sich in diesem Fall für den Rauschterm

• $n > +1.2$, falls $\tilde{x} = -1$   ⇒   $x = 1$,
• $n < -1.2$, falls $\tilde{x} = +1$   ⇒   $x = 0$.

In beiden Fällen erhält man für die Verfälschungswahrscheinlichkeit $ε = {\rm Q}(1.2/0.4) = {\rm Q}(3) \hspace{0.15cm} \underline{=0.14 \%}$. Ein Erasure (keine Entscheidung) ergibt sich für $–0.2 < y_{\rm A} < +0.2$. Ausgehend von $\tilde{x} = -1$ gilt somit:

$$\lambda \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(0.8 < n < 1.2) = {\rm Pr}(n > 0.8) - {\rm Pr}(n > 1.2) = {\rm Q}(2) - {\rm Q}(3) \approx 2.28\,\% - 0.14\,\% \hspace{0.15cm} \underline {\approx 2.14\,\%} \hspace{0.05cm}.$$

(5)  Hier ist ebenfalls die Antwort 2 richtig:

• Auch beim BEC–Modell gibt es zwei um $0$ symmetrische Schwellen. Der Unterschied zum BSEC–Modell ist, dass sich die Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0$ (genauer gesagt: $\varepsilon < 0.5 · 10^{–4}$) ergibt, entweder, weil
• der Sicherheitsbereich $(±G)$ größer gewählt ist als beim BSEC–Modell, oder
• das AWGN–Rauschen eine kleinere Streuung $σ$ aufweist.

(6)  Beim BEC–Modell ist die Verfälschungswahrscheinlichkeit vernachlässigbar:

$$\varepsilon = {\rm Q}(1.6/0.4) = {\rm Q}(4)\approx 0.32 \cdot 10^{-4} \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$

Das heißt: Man kann hier tatsächlich vom BEC–Modell ausgehen. Für die Erasure–Wahrscheinlichkeit gilt dabei:

$${\it \lambda} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(0.4 < n < 1.6) = {\rm Pr}(n > 0.4) - {\rm Pr}(n > 1.6) ={\rm Q}(1) - {\rm Q}(4) \approx {\rm Q}(1) \hspace{0.15cm} \underline {= 15.87\,\%} \hspace{0.05cm}.$$