Aufgaben:Aufgabe 2.6Z: Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir gehen von folgenden Voraussetzungen aus:
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Wir gehen in dieser Aufgabe von folgenden Voraussetzungen aus:
 
*ein cosinusförmiges Quellensignal:
 
*ein cosinusförmiges Quellensignal:
 
:$$ q(t) = 4 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 5\,{\rm kHz} \cdot t )\hspace{0.05cm},$$
 
:$$ q(t) = 4 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 5\,{\rm kHz} \cdot t )\hspace{0.05cm},$$
 
* ZSB–AM durch Multiplikation mit
 
* ZSB–AM durch Multiplikation mit
 
:$$z(t) = 1 \cdot \cos(2 \pi \cdot 20\,{\rm kHz} \cdot t )\hspace{0.05cm},$$
 
:$$z(t) = 1 \cdot \cos(2 \pi \cdot 20\,{\rm kHz} \cdot t )\hspace{0.05cm},$$
* eine frequenzunabhängige Dämpfung auf dem Kanal entsprechend $α_{\ rm K} = 10^{–4}$,
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* eine frequenzunabhängige Dämpfung auf dem Kanal entsprechend  $α_{\rm K} = 10^{–4}$,
* additives weißes Eingangsrauschen mit Rauschleistungsdichte $N_0 = 4 · 10^{–19} \ \rm W/Hz$,
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* additives weißes Eingangsrauschen mit Rauschleistungsdichte  $N_0 = 4 · 10^{–19} \ \rm W/Hz$,
* phasen– und frequenzsynchrone Demodulation durch Multiplikation mit gleichem $z(t)$ wie oben,
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* phasen– und frequenzsynchrone Demodulation durch Multiplikation mit gleichem  $z(t)$  wie beim Sender,
* ein rechteckförmiger Tiefpass beim Synchrondemodulator mit Grenzfrequenz $f_{\rm E} = 5 \ \rm kHz$.
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* ein rechteckförmiger Tiefpass beim Synchrondemodulator mit Grenzfrequenz  $f_{\rm E} = 5 \ \rm kHz$.
  
  
In der Grafik sind diese Vorgaben im Spektralbereich dargestellt. Ausdrücklich soll erwähnt werden, dass das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_z(f)$ der Cosinusschwingung $z(t)$ ebenso wie das Amplitudenspektrum $Z(f)$ sich aus zwei Diraclinien bei $±f_{\rm T}$ zusammensetzt, aber mit dem Gewicht $A^2/4$ anstelle von $A/2$. Die Amplitude ist bei dieser Aufgabe $A=1$ zu setzen.
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In der Grafik sind diese Vorgaben im Spektralbereich dargestellt. Ausdrücklich soll erwähnt werden, dass sich das Leistungsdichtespektrum  ${\it Φ}_z(f)$  der Cosinusschwingung  $z(t)$  ebenso wie das Amplitudenspektrum $Z(f)$ aus zwei Diraclinien bei  $±f_{\rm T}$  zusammensetzt, aber mit dem Gewicht  $A^2/4$  anstelle von  $A/2$. Die Amplitude ist bei dieser Aufgabe  $A=1$  zu setzen.
  
Das Sinkensignal $υ(t)$ setzt sich aus dem Nutzanteil $α · q(t)$ und dem Rauschanteil $ε(t)$ zusammen. Somit gilt allgemein für das zu bestimmende Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis:
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Das Sinkensignal  $v(t)$  setzt sich aus dem Nutzanteil  $α · q(t)$  und dem Rauschanteil  $ε(t)$  zusammen. Somit gilt allgemein für das zu bestimmende Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis:
 
:$$ \rho_{v } = \frac{\alpha^2 \cdot P_q}{P_\varepsilon}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$ \rho_{v } = \frac{\alpha^2 \cdot P_q}{P_\varepsilon}\hspace{0.05cm}.$$
 
Dieses wichtige Qualitätskriterium wird häufig mit ''SNR'' (englisch: ''Signal–to–Noise–Ratio'') abgekürzt.
 
Dieses wichtige Qualitätskriterium wird häufig mit ''SNR'' (englisch: ''Signal–to–Noise–Ratio'') abgekürzt.
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation|Synchrondemodulation]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation|Synchrondemodulation]].
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten  [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Berechnung_der_Rauschleistung|Berechnung der Rauschleistung]] sowie [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Zusammenhang_zwischen_Pq_und_PS|Zusammenhang zwischen <i>P<sub>q</sub></i> und <i>P</i><sub>S</sub>]].
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*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten  &nbsp;[[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Berechnung_der_Rauschleistung|Berechnung der Rauschleistung]]&nbsp; sowie &nbsp;[[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Zusammenhang_zwischen_Pq_und_PS|Zusammenhang zwischen $P_q$ und $P_{\rm S}$]].
*Beachten Sie bitte auch, dass die Größen $α$ und $α_{\ rm K}$ nicht unbedingt gleich sein müssen.  
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*Beachten Sie bitte auch, dass die Größen &nbsp;$α$&nbsp; und &nbsp;$α_{\rm K}$&nbsp; nicht unbedingt gleich sein müssen.  
*Alle Leistungen mit Ausnahme der Teilaufgabe (1) beziehen sich auf den Widerstand $50 \ \rm Ω$.
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*Alle Leistungen mit Ausnahme der Teilaufgabe '''(1)''' beziehen sich auf den Widerstand &nbsp;$R = 50 \ \rm Ω$.
*$P_q$ gibt bei „ZSB–AM ohne Träger” gleichzeitig die Sendeleistung $P_{\ rm S}$ an.
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*$P_q$&nbsp; gibt bei „ZSB–AM ohne Träger” gleichzeitig die Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; an.
 
   
 
   
  
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{Berechnen Sie die Sendeleistung, bezogen auf den Einheitswiderstand &nbsp;$R = 1 \ \rm Ω$.
 
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$P_q \ = \ $ { 8 3% } $\ \rm V^2$
  
  
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{Wie groß ist die Leistung &nbsp;$P_q$&nbsp; in „Watt” für den Widerstand &nbsp;$R = 50  \ \rm  Ω$?
 
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$P_q \ = \ $ { 0.16 3% } $\ \rm W$
 
$P_q \ = \ $ { 0.16 3% } $\ \rm W$
  
  
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{Welcher Dämpfungsfaktor &nbsp;$α$&nbsp; ergibt sich für das Gesamtsystem?
 
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$α  \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \cdot 10^{-4}$  
  
  
{Berechnen Sie die Leistungsdichte der Rauschkomponente $ε(t)$ am Ausgang. Wie groß ist der Wert bei $f = 0$? Es gelte $H_{\rm E}(f = 0) = 1$.
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{Berechnen Sie die Leistungsdichte der Rauschkomponente &nbsp;$ε(t)$&nbsp; am Ausgang. <br>Wie groß ist der Wert bei &nbsp;$f = 0$? Es gelte &nbsp;$H_{\rm E}(f = 0) = 1$.
 
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${\it Φ}_ε(f = 0) \ = \ $ { 4 3% } $\ \cdot 10^{-19} \ \rm  W/Hz$
 
${\it Φ}_ε(f = 0) \ = \ $ { 4 3% } $\ \cdot 10^{-19} \ \rm  W/Hz$
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{Wie groß ist das Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis (SNR) an der Sinke? Welcher db–Wert ergibt sich daraus?
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{Wie groß ist das Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis (SNR) an der Sinke? Welcher dB–Wert ergibt sich daraus?
 
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$ρ_v \ = \ $ { 100000 3% }  
 
$ρ_v \ = \ $ { 100000 3% }  

Version vom 13. Dezember 2018, 15:44 Uhr

Verschiedene Leistungsdichtespektren

Wir gehen in dieser Aufgabe von folgenden Voraussetzungen aus:

  • ein cosinusförmiges Quellensignal:
$$ q(t) = 4 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 5\,{\rm kHz} \cdot t )\hspace{0.05cm},$$
  • ZSB–AM durch Multiplikation mit
$$z(t) = 1 \cdot \cos(2 \pi \cdot 20\,{\rm kHz} \cdot t )\hspace{0.05cm},$$
  • eine frequenzunabhängige Dämpfung auf dem Kanal entsprechend  $α_{\rm K} = 10^{–4}$,
  • additives weißes Eingangsrauschen mit Rauschleistungsdichte  $N_0 = 4 · 10^{–19} \ \rm W/Hz$,
  • phasen– und frequenzsynchrone Demodulation durch Multiplikation mit gleichem  $z(t)$  wie beim Sender,
  • ein rechteckförmiger Tiefpass beim Synchrondemodulator mit Grenzfrequenz  $f_{\rm E} = 5 \ \rm kHz$.


In der Grafik sind diese Vorgaben im Spektralbereich dargestellt. Ausdrücklich soll erwähnt werden, dass sich das Leistungsdichtespektrum  ${\it Φ}_z(f)$  der Cosinusschwingung  $z(t)$  ebenso wie das Amplitudenspektrum $Z(f)$ aus zwei Diraclinien bei  $±f_{\rm T}$  zusammensetzt, aber mit dem Gewicht  $A^2/4$  anstelle von  $A/2$. Die Amplitude ist bei dieser Aufgabe  $A=1$  zu setzen.

Das Sinkensignal  $v(t)$  setzt sich aus dem Nutzanteil  $α · q(t)$  und dem Rauschanteil  $ε(t)$  zusammen. Somit gilt allgemein für das zu bestimmende Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis:

$$ \rho_{v } = \frac{\alpha^2 \cdot P_q}{P_\varepsilon}\hspace{0.05cm}.$$

Dieses wichtige Qualitätskriterium wird häufig mit SNR (englisch: Signal–to–Noise–Ratio) abgekürzt.




Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Synchrondemodulation.
  • Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten  Berechnung der Rauschleistung  sowie  Zusammenhang zwischen $P_q$ und $P_{\rm S}$.
  • Beachten Sie bitte auch, dass die Größen  $α$  und  $α_{\rm K}$  nicht unbedingt gleich sein müssen.
  • Alle Leistungen mit Ausnahme der Teilaufgabe (1) beziehen sich auf den Widerstand  $R = 50 \ \rm Ω$.
  • $P_q$  gibt bei „ZSB–AM ohne Träger” gleichzeitig die Sendeleistung  $P_{\rm S}$  an.


Fragebogen

1

Berechnen Sie die Sendeleistung, bezogen auf den Einheitswiderstand  $R = 1 \ \rm Ω$.

$P_q \ = \ $

$\ \rm V^2$

2

Wie groß ist die Leistung  $P_q$  in „Watt” für den Widerstand  $R = 50 \ \rm Ω$?

$P_q \ = \ $

$\ \rm W$

3

Welcher Dämpfungsfaktor  $α$  ergibt sich für das Gesamtsystem?

$α \ = \ $

$\ \cdot 10^{-4}$

4

Berechnen Sie die Leistungsdichte der Rauschkomponente  $ε(t)$  am Ausgang.
Wie groß ist der Wert bei  $f = 0$? Es gelte  $H_{\rm E}(f = 0) = 1$.

${\it Φ}_ε(f = 0) \ = \ $

$\ \cdot 10^{-19} \ \rm W/Hz$

5

Wie groß ist die Rauschleistung im Sinkensignal?

$P_ε \ = \ $

$\ \cdot 10^{-15} \ \rm W$

6

Wie groß ist das Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis (SNR) an der Sinke? Welcher dB–Wert ergibt sich daraus?

$ρ_v \ = \ $

$10 · \lg ρ_v \ = \ $

$\ \rm dB$


Musterlösung

(1)  Das Leistungsdichtespektrum eines Cosinussignals mit der Amplitude $A$ besteht aus zwei Diraclinien, jeweils mit Gewicht $A^2/4$. Die Leistung ergibt sich aus dem Integral über das LDS und ist somit gleich der Summe der beiden Diracgewichte. Mit $A = 4 \ \rm V$ erhält man somit für die Leistung des Quellensignals:

$$ P_q = \frac{A^2}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 8\,{\rm V^2}} \hspace{0.05cm}.$$

Beim Modulationsverfahren „ZSB-AM ohne Träger” ist dies gleichzeitig die auf den Einheitswiderstand $1\ \rm Ω$ bezogene Sendeleistung $P_{\ rm S}$.

(2)  Nach den elementaren Gesetzen der Elektrotechnik gilt:

$$P_q = \frac{8\,{\rm V^2}}{50\,{\Omega}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.16\,{\rm W}} \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Im Theorieteil wird gezeigt, dass bei idealen Voraussetzungen $v(t) = q(t)$ gilt. Zu berücksichtigen ist allerdings:

  • Aus der Grafik erkennt man, dass $Z_{\rm E}(f) = Z(f)$ gilt. Damit hat das empfängerseitige Trägersignal $z_{\rm E}(t)$ wie $z(t)$ die Amplitude $1$.
  • Im Idealfall müsste aber das empfängerseitige Trägersignal $z_{\rm E}(t)$ die Amplitude $2$ besitzen.
  • Deshalb gilt gilt hier $υ(t) = q(t)/2$.
  • Berücksichtigt man weiter die Kanaldämpfung $α_{\rm K} = 10^{–4}$, so erhält man das Endergebnis:   $α\hspace{0.15cm}\underline { = 0.5 · 10^{–4}}.$


(4)  Das Leistungsdichtespektrumdes Produktes $n(t) · z(t)$ ergibt sich aus der Faltung der beiden Leistungsdichtespektren von $n(t)$ und $z(t)$:

$$ {\it \Phi}_\varepsilon '(f) = {\it \Phi}_n (f) \star {\it \Phi}_{z }(f)= \frac{N_0}{2} \star \left[\delta(f - f_{\rm T}) + \delta(f + f_{\rm T}) \right]= N_0 \hspace{0.05cm}.$$

Für das Leistungsdichtespektrum des Signals $ε(t)$ nach dem Tiefpass erhält man eine Rechteckform mit dem gleichen Wert bei $f = 0$:

$${\it \Phi}_\varepsilon (f) = {\it \Phi}_\varepsilon '(f) \cdot |H_{\rm E}(f)|^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\it \Phi}_\varepsilon (f=0)= N_0\hspace{0.15cm}\underline {= 4 \cdot 10^{-19}\,{\rm W/Hz}} \hspace{0.05cm}.$$


(5)  Die Rauschleistung ist das Integral über die Rauschleistungsdichte:

$$ P_{\varepsilon} = \int_{-f_{\rm E}}^{ + f_{\rm E}} {{\it \Phi}_\varepsilon (f)}\hspace{0.1cm}{\rm d}f = N_0 \cdot 2 f_{\rm E} = 4 \cdot 10^{-19}\,\frac{ \rm W}{\rm Hz} \cdot 10^{4}\,{\rm Hz} \hspace{0.15cm}\underline {= 4 \cdot 10^{-15}\,{\rm W}}\hspace{0.05cm}.$$


(6)  Aus den Ergebnissen der Teilaufgaben (2), (3) und (5) folgt:

$$\rho_{v } = \frac{\alpha^2 \cdot P_q}{P_\varepsilon} = \frac{(0.5 \cdot 10^{-4})^2 \cdot 0.16\,{\rm W}}{4 \cdot 10^{-15}\,{\rm W}} \hspace{0.15cm}\underline {= 100000} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\rho_{v } \hspace{0.15cm}\underline {= 50\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$