Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Thermisches Rauschen

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Beispielhafte Signale für
TP– und BP–Rauschen

Eine fundamentale und bei jedem Nachrichtensystem auftretende Störung ist thermisches Rauschen, da jeder Widerstand  $R$  mit der absoluten Temperatur  $θ$  (in „Grad Kelvin”) ein Rauschsignal  $n(t)$  mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte

$${N_{\rm 0, \hspace{0.05cm}min}}= k_{\rm B} \cdot \theta

\hspace{0.3cm}\left(k_{\rm B} = 1.38 \cdot 10^{-23} \hspace{0.05cm}{\rm Ws}/{\rm K}\right)$$ abgibt. $k_{\rm B}$  bezeichnet man als die Boltzmann–Konstante.

Allerdings ist diese aus physikalischen Gründen auf  $6\text{ THz}$  begrenzt. Weiterhin ist zu beobachten, dass dieser minimale Wert nur bei exakter Widerstandsanpassung erreicht werden kann.

Bei der Realisierung einer Schaltungseinheit – zum Beispiel eines Verstärkers – ist die wirksame Rauschleistungsdichte meist deutlich größer, da sich mehrere Rauschquellen addieren und zudem Fehlanpassungen eine Rolle spielen. Dieser Effekt wird durch die Rauschzahl  $F \ge 1$  erfasst. Es gilt:

$$N_0 = F \cdot {N_{\rm 0, \hspace{0.05cm}min}}= F \cdot k_{\rm B} \cdot \theta \hspace{0.05cm}.$$

Für die wirksame Rauschleistung gilt mit der Bandbreite $B$:

$$N = N_0 \cdot B \hspace{0.1cm}\left(= N_0 \cdot B\cdot R = \sigma_n^2\right) \hspace{0.01cm}.$$

• Nach der ersten Gleichung ergibt sich die tatsächliche, physikalische Leistung in „Watt” $\rm (W)$.
• Nach der zweiten, in Klammern angegebenen Gleichung hat das Ergebnis die Einheit „$\rm V^{ 2 }$”.
• Das heißt:   Hier ist die Leistung – wie in der Nachrichtentechnik oft üblich – auf den Bezugswiderstand  $R = 1\ Ω$  umgerechnet.
• Diese Gleichung muss auch herangezogen werden, um den Effektivwert (die Streuung) σn des Rauschsignals  $n(t)$  zu berechnen.

Alle Gleichungen gelten unabhängig davon, ob es sich um Tiefpass– oder Bandpass–Rauschen handelt. Die Grafik zeigt zwei Rauschsignale  $n_1(t)$  und  $n_2(t)$  gleicher Bandbreite. In Teilaufgabe (4) ist gefragt, welches dieser Signale am Ausgang eines Tiefpasses bzw. eines Bandpasses auftreten wird.

Die zweiseitige Rauschleistungsdichte von bandbegrenztem Tiefpass–Rauschen  $n_{\rm TP}(t)$  lautet:

$$ {\it \Phi}_{n, {\hspace{0.05cm}\rm TP}}(f) = \left\{ \begin{array}{c} N_0/2 \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < B,} \\ {\rm sonst.} \\ \end{array}$$

Dagegen gilt bei bandpassartigem Rauschen  $n_{\rm BP}(t)$  mit der Mittenfrequenz  $f_{\rm M}$:

$${\it \Phi}_{n, {\hspace{0.05cm}\rm BP}}(f) = \left\{ \begin{array}{c} N_0/2 \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} f - f_{\rm M}\hspace{0.05cm} \right| < B/2,} \\ {\rm sonst.} \\ \end{array}.$$

Für alle nachfolgenden numerischen Berechnungen wird vorausgesetzt:

$$ F = 10, \hspace{0.2cm}\theta = 290\,{\rm K},\hspace{0.2cm}R = 50\,{\rm \Omega},\hspace{0.2cm}B = 30\,{\rm kHz},\hspace{0.2cm}f_{\rm M} = 0 \hspace{0.1cm}{\rm bzw.}\hspace{0.1cm}100\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Qualitätskriterien.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  Einige Anmerkungen zum AWGN–Kanalmodel.
• Durch die Angabe der Leistungen in  $\rm W$att  sind diese unabhängig vom Bezugswiderstand  $R$, während die Leistung mit der Einheit  $\rm V^2$  nur für  $R = 1\ \Omega$  direkt ausgewertet werden kann.

Fragebogen

1 Berechnen Sie die Rauschleistungsdichte  $N_0$  mit der Rauschzahl  $F = 10$  und  $θ = 290$  Grad Kelvin .

$N_0 \ = \ $ $\ \cdot 10^ \ \text{W/Hz}$

2 Wie groß ist die maximale Rauschleistung (ohne Bandbegrenzung)?

$N_{\rm max} \ = \ $ $\ \cdot 10^ \ \text{W/Hz}$

3 Welche Rauschleistung  $N$  ergibt sich mit der Bandbreite  $B = 30\text{ kHz}$? Wie groß ist der Rauscheffektivwert  $σ_n$?

$N \ = \ $ $\ \cdot 10^ \ \text{W/Hz}$

$σ_n \ = \ $ $\ \cdot 10^ \ \text{V}$

4 Welches der Signale –  $n_1(t)$  oder  $n_2(t)$  – zeigt Tiefpass– und welches Bandpass–Rauschen?

	Das Rauschsignal  $n_1(t)$  hat Tiefpass–Charakter.
	Das Rauschsignal  $n_1(t)$  hat Bandpass–Charakter.

5 Welchen Wert hat die Rauschleistungsdichte des Tiefpass–Rauschens bei der Frequenz  $f = 20\text{ kHz}$?
Es gelte  $B = 30\text{ kHz}$.

${\it Φ}_{n, \hspace{0.05cm}\rm TP}(f = 20 \ \rm kHz) \ = \ $ $\ \cdot 10^ \ \text{W/Hz}$

6 Welchen Wert besitzt die Rauschleistungsdichte des Bandpass–Rauschens bei  $f = 120\text{ kHz}$?
Es gelte  $f_{\rm M} = 100\text{ kHz}$  und  $B = 30\text{ kHz}$.

${\it Φ}_{n, \hspace{0.05cm}\rm BP}(f = 120 \ \rm kHz) \ = \ $ $\ \cdot 10^ \ \text{W/Hz}$

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Mit der Boltzmann–Konstante $k_{\rm B}$ gilt:

$$N_0 = F \cdot k_{\rm B} \cdot \theta = 10 \cdot

1.38\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-23} \hspace{0.05cm}\frac{\rm Ws}{\rm K}\cdot 290\,{\rm K} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 4\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-20} \hspace{0.05cm}{\rm W}/{\rm Hz}}\hspace{0.05cm}.$$

(2)  Die angegebene Rauschleistungsdichte $N_0$ ist physikalisch auf $6$ THz begrenzt. Damit beträgt die maximale Rauschleistung:

$$N_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-20}

\hspace{0.08cm}\frac{\rm W}{\rm Hz}\cdot 6 \cdot10^{12} \hspace{0.08cm}{\rm Hz}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.24\hspace{0.08cm}\cdot 10^{-6}\;{\rm W}}\hspace{0.05cm}.$$

(3)  Nun ergibt sich für die Rauschleistung:

$$N = N_0 \cdot B = 4\hspace{0.08cm}\cdot 10^{-20}

\hspace{0.08cm}\frac{\rm W}{\rm Hz}\cdot 3 \cdot10^{4} \hspace{0.08cm}{\rm Hz}\hspace{0.15cm}\underline {= 12\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-16}\;{\rm W}}\hspace{0.05cm},$$

bzw. umgerechnet auf den Bezugswiderstand $R = 1 \ Ω$:

$$N = N_0 \cdot B \cdot R = 12\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-16}\;{\rm

W}\hspace{0.05cm} \cdot 50 \; {\rm \Omega}= 6\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-14}\;{\rm V^2}\hspace{0.05cm}.$$ Der Rauscheffektivwert $σ_n$ ist die Quadratwurzel hieraus:

$$\sigma_n= \sqrt{6\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-14}\;{\rm V^2}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.245 \hspace{0.05cm}\cdot 10^{-6}\;{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

Leistungsdichtespektren bei bandbegrenztem Rauschen

(4)  Im Zufallssignal $n_2(t)$ erkennt man gewisse Regelmäßigkeiten ähnlich einer harmonischen Schwingung – es ist Bandpass–Rauschen. Dagegen handelt es sich beim Signal $n_1(t)$ um Tiefpass–Rauschen   ⇒   Lösungsvorschlag 1.

(5)  Die Rauschleistungsdichte des Zufallssignals $n_1(t)$ ist im Frequenzbereich $|f| < 30$ kHz konstant gleich

$${\it \Phi}_{n,\hspace{0.05cm}{ \rm TP} }(f) \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} \frac{N_0}{2} \hspace{0.15cm}\underline {=2\hspace{0.05cm}\hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}

10^{-12} \hspace{0.05cm}{\rm W}/{\rm Hz}}\hspace{0.05cm}.$$ Dieser Wert gilt somit auch für die Frequenz $f = 20$ kHz.

(6)  Wie aus der Grafik hervorgeht, ist ${\it Φ}_{n, \hspace{0.05cm}\rm BP}(f)$ nur im Bereich zwischen $85$ kHz und $115$ kHz ungleich Null, wenn die Bandbreite $B = 30$ kHz beträgt. Bei der Frequenz $f = 120$ kHz ist die Rauschleistungsdichte somit Null:

$${\it Φ}_{n, \hspace{0.05cm}\rm BP}(f = 120 \ \rm kHz)\hspace{0.15cm}\underline{=0}.$$