Aufgaben:Aufgabe 4.15Z: Aussagen der Kovarianzmatrix: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
K (Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “)
Zeile 3: Zeile 3:
 
}}
 
}}
  
[[Datei:P_ID664__Sto_Z_4_15.png|right|Korrelierte Zufallssignale]]
+
[[Datei:P_ID664__Sto_Z_4_15.png|right|frame|Sind die Zufallssignale korreliert?]]
Gegeben seien die beiden Gaußschen Zufallsgrößen $u$ und $v$, jeweils mittelwertfrei und mit Varianz $\sigma^2 = 1$. Daraus werden durch Linearkombination drei neue Zufallsgrößen gebildet:
+
Gegeben seien die beiden Gaußschen Zufallsgrößen $u$ und $v$, jeweils mittelwertfrei und mit Varianz $\sigma^2 = 1$.  
 +
 
 +
Daraus werden durch Linearkombination drei neue Zufallsgrößen gebildet:
 
:$$x_1 = A_1 \cdot u + B_1 \cdot v,$$
 
:$$x_1 = A_1 \cdot u + B_1 \cdot v,$$
 
:$$x_2 = A_2 \cdot u + B_2 \cdot v,$$
 
:$$x_2 = A_2 \cdot u + B_2 \cdot v,$$
Zeile 12: Zeile 14:
 
:$$A_i^2 + B_i^2  =1.$$
 
:$$A_i^2 + B_i^2  =1.$$
  
In der Grafik sehen Sie drei Signalverläufe $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$ entsprechend dem Parametersatz, der in der Teilaufgabe (3) betrachtet werden soll:
+
In der Grafik sehen Sie drei Signalverläufe $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$ entsprechend dem Parametersatz, der in der Teilaufgabe '''(3)''' betrachtet werden soll:
 
* $A_1 = B_2 = 1$,
 
* $A_1 = B_2 = 1$,
 
* $A_2 = B_2 = 0$,
 
* $A_2 = B_2 = 0$,
* $A_3 = 0.8, \hspace{0.5cm} B_3 = 0.6$,
+
* $A_3 = 0.8, \ B_3 = 0.6$,
  
  
Zeile 22: Zeile 24:
 
B_i^2)(A_j^2 + B_j^2)}} = A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j.$$
 
B_i^2)(A_j^2 + B_j^2)}} = A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j.$$
  
Unter der hier implizit getroffenen Annahme $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$ lautet die Kovarianzmatrix $\mathbf{K}$, die bei mittelwertfreien Zufallsgrößen identisch mit der Korrelationsmatrix $\mathbf{R}$ ist:
+
Unter der hier implizit getroffenen Annahme $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$ lautet die Kovarianzmatrix $\mathbf{K}$:
 
:$${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{ccc}
 
:$${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{ccc}
 
1 & \rho_{12} &  \rho_{13} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} \\
 
1 & \rho_{12} &  \rho_{13} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} \\
 
  \rho_{13} & \rho_{23} &  1
 
  \rho_{13} & \rho_{23} &  1
 
\end{array} \right] .$$
 
\end{array} \right] .$$
 +
 +
Diese ist bei mittelwertfreien Zufallsgrößen identisch mit der Korrelationsmatrix $\mathbf{R}$.
 +
 +
 +
 +
 +
  
 
''Hinweise:''  
 
''Hinweise:''  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen|Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen]].
+
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen|Verallgemeinerung auf ''N''-dimensionale Zufallsgrößen]].
*Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix|Determinante einer Matrix]] sowie [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix|Inverse einer Matrix]]  
+
*Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten  [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix|Determinante einer Matrix]]  sowie  [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix|Inverse einer Matrix]].
 
   
 
   
  
Zeile 40: Zeile 49:
 
{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? Begründen Sie Ihre Ergebnisse.
 
{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? Begründen Sie Ihre Ergebnisse.
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- $\mathbf{K}$ kann geeigneter Wahl von $A_1$, ... , $B_3$ eine Diagonalmatrix sein. Oder anders ausgedrückt: $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ ist möglich.
+
- $\mathbf{K}$ kann geeigneter Wahl von $A_1$, ... , $B_3$ eine Diagonalmatrix sein. Oder anders ausgedrückt:   $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ ist möglich.
 
+ Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ kann genau einer der Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} = 0$ sein.
 
+ Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ kann genau einer der Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} = 0$ sein.
 
- Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ können genau zwei der Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} = 0$ sein.
 
- Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ können genau zwei der Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} = 0$ sein.
Zeile 48: Zeile 57:
 
{Wie lauten die Matrixelemente von $\mathbf{K}$ mit $A_1 = A_2 = - A_3$  und $B_1 = B_2 = - B_3$?
 
{Wie lauten die Matrixelemente von $\mathbf{K}$ mit $A_1 = A_2 = - A_3$  und $B_1 = B_2 = - B_3$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\rho_{12} \ =$ { 1 3% }
+
$\rho_{12} \ = \ $ { 1 3% }
$\rho_{13} \ =$ { -1.03--0.97 }
+
$\rho_{13} \ = \ $ { -1.03--0.97 }
$\rho_{23} \ =$ { -1.03--0.97 }
+
$\rho_{23} \ = \ $ { -1.03--0.97 }
  
  
 
{Berechnen Sie die Koeffizienten $\rho_{ij}$ für den in der Grafik dargestellten Fall, also für $A_1 = 1$, $B_1 = 0$, $A_2 = 0$, $B_2 = 1$, $A_3 = 0.8$, $B_3 = 0.6$.
 
{Berechnen Sie die Koeffizienten $\rho_{ij}$ für den in der Grafik dargestellten Fall, also für $A_1 = 1$, $B_1 = 0$, $A_2 = 0$, $B_2 = 1$, $A_3 = 0.8$, $B_3 = 0.6$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\rho_{12} \ = $ { 0. }
+
$\rho_{12} \ = \ $ { 0. }
$\rho_{13} \ = ${ 0.8 3% }
+
$\rho_{13} \ = \ ${ 0.8 3% }
$\rho_{23} \ = $ { 0.6 3% }
+
$\rho_{23} \ = \ $ { 0.6 3% }
  
  

Version vom 22. August 2018, 08:42 Uhr

Sind die Zufallssignale korreliert?

Gegeben seien die beiden Gaußschen Zufallsgrößen $u$ und $v$, jeweils mittelwertfrei und mit Varianz $\sigma^2 = 1$.

Daraus werden durch Linearkombination drei neue Zufallsgrößen gebildet:

$$x_1 = A_1 \cdot u + B_1 \cdot v,$$
$$x_2 = A_2 \cdot u + B_2 \cdot v,$$
$$x_3 = A_3 \cdot u + B_3 \cdot v.$$

Vorausgesetzt wird, dass in allen betrachteten Fällen $(i = 1, 2, 3)$ gilt:

$$A_i^2 + B_i^2 =1.$$

In der Grafik sehen Sie drei Signalverläufe $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$ entsprechend dem Parametersatz, der in der Teilaufgabe (3) betrachtet werden soll:

  • $A_1 = B_2 = 1$,
  • $A_2 = B_2 = 0$,
  • $A_3 = 0.8, \ B_3 = 0.6$,


Der Korrelationskoeffizient $\rho_{ij}$ zwischen den Zufallsgrößen $x_i$ und $x_j$ wird wie folgt angegeben:

$$\rho_{ij} = \frac{A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j}{\sqrt{(A_i^2 + B_i^2)(A_j^2 + B_j^2)}} = A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j.$$

Unter der hier implizit getroffenen Annahme $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$ lautet die Kovarianzmatrix $\mathbf{K}$:

$${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & \rho_{12} & \rho_{13} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} \\ \rho_{13} & \rho_{23} & 1 \end{array} \right] .$$

Diese ist bei mittelwertfreien Zufallsgrößen identisch mit der Korrelationsmatrix $\mathbf{R}$.




Hinweise:



Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? Begründen Sie Ihre Ergebnisse.

$\mathbf{K}$ kann geeigneter Wahl von $A_1$, ... , $B_3$ eine Diagonalmatrix sein. Oder anders ausgedrückt:   $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ ist möglich.
Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ kann genau einer der Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} = 0$ sein.
Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ können genau zwei der Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} = 0$ sein.
Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ können alle drei Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} \ne 0$ sein.

2

Wie lauten die Matrixelemente von $\mathbf{K}$ mit $A_1 = A_2 = - A_3$ und $B_1 = B_2 = - B_3$?

$\rho_{12} \ = \ $

$\rho_{13} \ = \ $

$\rho_{23} \ = \ $

3

Berechnen Sie die Koeffizienten $\rho_{ij}$ für den in der Grafik dargestellten Fall, also für $A_1 = 1$, $B_1 = 0$, $A_2 = 0$, $B_2 = 1$, $A_3 = 0.8$, $B_3 = 0.6$.

$\rho_{12} \ = \ $

$\rho_{13} \ = \ $

$\rho_{23} \ = \ $


Musterlösung

(1)  Nur die zweite und die letzte Aussage treffen zu:

  • Aussage 2 beschreibt den in der Grafik betrachteten Fall, dass zwei Größen (hier: $x_1$ und $x_2$) unkorreliert sind, während $x_3$ statistische Bindungen bezüglich $x_1$ (über die Größe $u$) und auch in Bezug zu $x_3$ (bedingt durch die Zufallsgröße $v$) aufweist.
  • Die Kombination $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$   ⇒   ist bei der hier gegebenen Struktur dagegen nicht möglich. Dazu würde man eine dritte statistisch unabhängige Zufallsgröße $w$ benötigen und es müsste beispielsweise $x_1 = u$, $x_2 = v$ und $x_3 = w$ gelten.
  • Die dritte Aussage ist ebenfalls nicht zutreffend: Sind $x_1$ und $x_2$ unkorreliert und gleichzeitig auch $x_1$ und $x_3$, so können auch zwischen $x_2$ und $x_3$ keine statistischen Bindungen bestehen.
  • Im Allgemeinen werden allerdings sowohl $\rho_{12}$ als auch $\rho_{13}$ und $\rho_{23}$ von $0$ verschieden sein. Ein ganz einfaches Beispiel hierfür wird in der Teilaufgabe (2) betrachtet.


(2)  In diesem Fall sind die Größen$x_1 = x_2$ vollständig (zu $100\%$) korreliert.
Mit $A_2 = A_1$ und $B_2 = B_1$ erhält man für den gemeinsamen Korrelationskoeffizienten:

$$\rho_{12} = A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 = A_1^2 + B_1^2 \hspace{0.15cm}\underline{=1}.$$

In gleicher Weise gilt mit $A_3 = -A_1$ und $B_3 = -B_1$:

$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = -(A_1^2 + B_1^2) \hspace{0.15cm}\underline{=-1 \hspace{0.1cm}(= \rho_{23})}.$$

(3)  Mit diesem Parametersatz ist $x_1$ identisch mit der Zufallsgröße $u$, während $x_2 = v$ gilt. Da $u$ und $v$ statistisch voneinander unabhängig sind, ergibt sich $\rho_{12} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$ Demgegenüber gilt für die beiden weiteren Korrelationskoeffizienten:

$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = 1 \cdot 0.8 + 0 \cdot 0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8},$$
$$\rho_{23} = A_2 \cdot A_3 + B_2 \cdot B_3 = 0 \cdot 0.8 + 1 \cdot 0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.6}.$$

Für ein (sehr gut) geschultes Auge ist aus der Grafik auf der Angabenseite zu erkennen, dass das Signal $x_3(t)$ mehr Ähnlichkeiten mit $x_1(t)$ aufweist als mit $x_2(t)$. Diese Tatsache drücken auch die berechneten Korrelationskoeffizienten aus. Seien Sie aber nicht traurig, wenn Sie die unterschiedliche Korrelation in den Signalverläufen nicht erkennen.