Stochastische Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum (LDS): Unterschied zwischen den Versionen
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Im Weiteren beschränken wir uns auf ergodische Prozesse. Wie im [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Ergodische_Zufallsprozesse|letzten Kapitel]] gezeigt wurde, gelten dann die folgenden Aussagen: | Im Weiteren beschränken wir uns auf ergodische Prozesse. Wie im [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Ergodische_Zufallsprozesse|letzten Kapitel]] gezeigt wurde, gelten dann die folgenden Aussagen: | ||
− | *Jede einzelne Musterfunktion $x_i(t)$ ist repräsentativ für den gesamten Zufallsprozess $\{x_i(t)\}$. Alle Zeitmittelwerte sind somit identisch mit den dazugehörigen Scharmittelwerten. | + | *Jede einzelne Musterfunktion $x_i(t)$ ist repräsentativ für den gesamten Zufallsprozess $\{x_i(t)\}$. |
+ | *Alle Zeitmittelwerte sind somit identisch mit den dazugehörigen Scharmittelwerten. | ||
*Die Autokorrelationsfunktion, die allgemein von den beiden Zeitparametern $t_1$ und $t_2$ beeinflusst wird, hängt nur noch von der Zeitdifferenz $τ = t_2 – t_1$ ab: | *Die Autokorrelationsfunktion, die allgemein von den beiden Zeitparametern $t_1$ und $t_2$ beeinflusst wird, hängt nur noch von der Zeitdifferenz $τ = t_2 – t_1$ ab: | ||
:$$\varphi_x(t_1,t_2)={\rm E}[x(t_{\rm 1})\cdot x(t_{\rm 2})] = \varphi_x(\tau)= \int^{+\infty}_{-\infty}x(t)\cdot x(t+\tau)\,{\rm d}t.$$ | :$$\varphi_x(t_1,t_2)={\rm E}[x(t_{\rm 1})\cdot x(t_{\rm 2})] = \varphi_x(\tau)= \int^{+\infty}_{-\infty}x(t)\cdot x(t+\tau)\,{\rm d}t.$$ | ||
− | + | Die Autokorrelationsfunktion liefert quantitative Aussagen über die (linearen) statistischen Bindungen innerhalb des ergodischen Prozesses $\{x_i(t)\}$ im Zeitbereich. Die äquivalente Beschreibungsgröße im Frequenzbereich ist die ''spektrale Leistungsdichte,'' häufig auch als „Leistungsdichtespektrum” bezeichnet. | |
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Ebenso kann die AKF als Fourierrücktransformierte des LDS berechnet werden (siehe Seite [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|Fourierrücktransformation]] im Buch „Signaldarstellung”): | Ebenso kann die AKF als Fourierrücktransformierte des LDS berechnet werden (siehe Seite [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|Fourierrücktransformation]] im Buch „Signaldarstellung”): | ||
:$$ \varphi_x(\tau)=\int^{+\infty}_{-\infty} {\it \Phi}_x \cdot {\rm e}^{{\rm j\pi} f \tau} {\rm d} f.$$ | :$$ \varphi_x(\tau)=\int^{+\infty}_{-\infty} {\it \Phi}_x \cdot {\rm e}^{{\rm j\pi} f \tau} {\rm d} f.$$ | ||
− | Die beiden Gleichungen sind nur dann direkt anwendbar, wenn der Zufallsprozess weder einen Gleichanteil noch periodische Anteile beinhaltet. Andernfalls muss man nach den Angaben entsprechend der Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)#Leistungsdichtespektrum_mit_Gleichsignalkomponente|Spektrale Leistungsdichte mit Gleichsignalkomponente]] vorgehen. | + | *Die beiden Gleichungen sind nur dann direkt anwendbar, wenn der Zufallsprozess weder einen Gleichanteil noch periodische Anteile beinhaltet. |
+ | *Andernfalls muss man nach den Angaben entsprechend der Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)#Leistungsdichtespektrum_mit_Gleichsignalkomponente|Spektrale Leistungsdichte mit Gleichsignalkomponente]] vorgehen. | ||
==Physikalische Interpretation und Messung== | ==Physikalische Interpretation und Messung== | ||
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Hierzu ist folgendes anzumerken: | Hierzu ist folgendes anzumerken: | ||
*Das Zufallssignal $x(t)$ wird auf ein (möglichst) rechteckförmiges und (möglichst) schmalbandiges Filter mit Mittenfrequenz $f$ und Bandbreite $Δf$ gegeben, wobei $Δf$ entsprechend der gewünschten Frequenzauflösung hinreichend klein gewählt werden muss. | *Das Zufallssignal $x(t)$ wird auf ein (möglichst) rechteckförmiges und (möglichst) schmalbandiges Filter mit Mittenfrequenz $f$ und Bandbreite $Δf$ gegeben, wobei $Δf$ entsprechend der gewünschten Frequenzauflösung hinreichend klein gewählt werden muss. | ||
− | *Das entsprechende Ausgangssignal $x_f(t)$ wird quadriert und anschließend der Mittelwert über eine hinreichend lange Messdauer $T_{\rm M}$ gebildet. Damit erhält man die Leistung von $x_f(t)$ bzw. die Leistungsanteile von $x(t)$ im Spektralbereich von $f | + | *Das entsprechende Ausgangssignal $x_f(t)$ wird quadriert und anschließend der Mittelwert über eine hinreichend lange Messdauer $T_{\rm M}$ gebildet. Damit erhält man die Leistung von $x_f(t)$ bzw. die Leistungsanteile von $x(t)$ im Spektralbereich von $f - Δf/2$ bis $f + Δf/2$: |
− | :$$P_{ | + | :$$P_{x_f} =\overline{x_f(t)^2}=\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}}_{0}x_f(t)^2 \hspace{0.1cm}\rm d \it t.$$ |
*Die Division durch $Δf$ führt von der spektralen Leistung zur spektralen Leistungsdichte: | *Die Division durch $Δf$ führt von der spektralen Leistung zur spektralen Leistungsdichte: | ||
− | :$${{\it \Phi}_{x \rm +}}(f) =\frac{P_{ | + | :$${{\it \Phi}_{x \rm +}}(f) =\frac{P_{x_f}}{{\rm \Delta} f} \hspace {0.5cm} {\rm bzw.} \hspace {0.5cm} {\it \Phi}_{x}(f) = \frac{P_{x_f}}{{\rm 2 \cdot \Delta} f}.$$ |
− | :Hierbei bezeichnet ${\it \Phi}_{x+}(f) = 2 · {\it \Phi}_x(f)$ das einseitige, nur für positive Frequenzen definierte LDS. Für negative Frequenzen ist ${\it \Phi}_{x+}(f) = 0$. Im Gegensatz dazu gilt für das üblicherweise verwendete zweiseitige LDS: ${\it \Phi}_x(–f) = {\it \Phi}_x(f)$. | + | :Hierbei bezeichnet ${\it \Phi}_{x+}(f) = 2 · {\it \Phi}_x(f)$ das einseitige, nur für positive Frequenzen definierte LDS. Für negative Frequenzen ist ${\it \Phi}_{x+}(f) = 0$. Im Gegensatz dazu gilt für das üblicherweise verwendete zweiseitige LDS: ${\it \Phi}_x(–f) = {\it \Phi}_x(f)$. |
− | *Während die Leistung $P_{ | + | *Während die Leistung $P_{x_f}$ mit kleiner werdender Bandbreite $Δf$ gegen Null tendiert, bleibt die spektrale Leistungsdichte ab einem hinreichend kleinen Wert von $Δf$ nahezu konstant. Für die exakte Bestimmung von ${\it \Phi}_x(f)$ sind zwei Grenzübergänge notwendig: |
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:$${{\it \Phi}_x(f)} = \lim_{{\rm \Delta}f\to 0} \hspace{0.2cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{{\rm 2 \cdot \Delta}f\cdot T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}}_{0}x_f^2(t) \hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$ | :$${{\it \Phi}_x(f)} = \lim_{{\rm \Delta}f\to 0} \hspace{0.2cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{{\rm 2 \cdot \Delta}f\cdot T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}}_{0}x_f^2(t) \hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$ | ||
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− | $\text{Fazit:}$ Aus dieser physikalischen Interpretation folgt weiter, dass das | + | $\text{Fazit:}$ Aus dieser physikalischen Interpretation folgt weiter, dass das Leistungsdichtespektrum stets reell ist und nie negativ werden kann. Die gesamte Signalleistung von $x(t)$ erhält man dann durch Integration über alle Spektralanteile: |
:$$P_x = \int^{\infty}_{0}{\it \Phi}_{x \rm +}(f) \hspace{0.1cm}{\rm d} f = \int^{+\infty}_{-\infty}{\it \Phi}_x(f)\hspace{0.1cm} {\rm d} f .$$}} | :$$P_x = \int^{\infty}_{0}{\it \Phi}_{x \rm +}(f) \hspace{0.1cm}{\rm d} f = \int^{+\infty}_{-\infty}{\it \Phi}_x(f)\hspace{0.1cm} {\rm d} f .$$}} | ||
==Reziprozitätsgesetz von AKF-Zeitdauer und LDS-Bandbreite== | ==Reziprozitätsgesetz von AKF-Zeitdauer und LDS-Bandbreite== | ||
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− | Alle im Buch „Signaldarstellung” für deterministische Signale hergeleiteten [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]] können auch auf die ''Autokorrelationsfunktion'' (AKF) und das ''Leistungsdichtespektrum'' (LDS) eines Zufallsprozesses angewendet werden. Aufgrund der spezifischen Eigenschaften von | + | Alle im Buch „Signaldarstellung” für deterministische Signale hergeleiteten [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]] können auch auf die |
+ | [[Datei:P_ID390__Sto_T_4_5_S3_Ganz_neu.png |frame| Zum Reziprozitätsgesetz von AKF und LDS]] ''Autokorrelationsfunktion'' (AKF) und das ''Leistungsdichtespektrum'' (LDS) eines Zufallsprozesses angewendet werden. Aufgrund der spezifischen Eigenschaften | ||
+ | *von Autokorrelationsfunktion (stets reell und gerade) und | ||
+ | *Leistungsdichtespektrum (stets reell, gerade und nicht-negativ) | ||
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+ | liefern allerdings nicht alle Gesetze sinnvolle Ergebnisse. | ||
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Wir betrachten nun wie im Abschnitt [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Interpretation_der_Autokorrelationsfunktion|Interpretation der Autokorrelationsfunktion]] zwei unterschiedliche ergodische Zufallsprozesse $\{x_i(t)\}$ und $\{y_i(t)\}$ anhand | Wir betrachten nun wie im Abschnitt [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Interpretation_der_Autokorrelationsfunktion|Interpretation der Autokorrelationsfunktion]] zwei unterschiedliche ergodische Zufallsprozesse $\{x_i(t)\}$ und $\{y_i(t)\}$ anhand | ||
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*der beiden Autokorrelationsfunktionen $φ_x(τ)$ bzw. $φ_y(τ)$ ⇒ mittlere Skizze, | *der beiden Autokorrelationsfunktionen $φ_x(τ)$ bzw. $φ_y(τ)$ ⇒ mittlere Skizze, | ||
*der beiden Leistungsdichtespektren ${\it \Phi}_x(f)$ bzw. ${\it \Phi}_y(f)$ ⇒ untere Skizze. | *der beiden Leistungsdichtespektren ${\it \Phi}_x(f)$ bzw. ${\it \Phi}_y(f)$ ⇒ untere Skizze. | ||
− | + | ||
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Anhand dieser Grafiken sind folgende Aussagen möglich: | Anhand dieser Grafiken sind folgende Aussagen möglich: | ||
− | *Die Flächen unter den LDS-Kurven sind gleich ⇒ die Prozesse besitzen gleiche Leistung: | + | *Die Flächen unter den LDS-Kurven sind gleich ⇒ die Prozesse $\{x_i(t)\}$ und $\{y_i(t)\}$ besitzen gleiche Leistung: |
:$${\varphi_x({\rm 0})}\hspace{0.05cm} =\hspace{0.05cm} \int^{+\infty}_{-\infty}{{\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm}{\varphi_y({\rm 0})} = \int^{+\infty}_{-\infty}{{\it \Phi}_y(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f .$$ | :$${\varphi_x({\rm 0})}\hspace{0.05cm} =\hspace{0.05cm} \int^{+\infty}_{-\infty}{{\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm}{\varphi_y({\rm 0})} = \int^{+\infty}_{-\infty}{{\it \Phi}_y(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f .$$ | ||
− | *Das aus der klassischen (deterministischen) Systemtheorie bekannte [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz von Zeitdauer und Bandbreite]] gilt hier ebenfalls: Eine schmale Autokorrelationsfunktion entspricht einem breiten Leistungsdichtespektrum und umgekehrt. | + | *Das aus der klassischen (deterministischen) Systemtheorie bekannte [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz von Zeitdauer und Bandbreite]] gilt hier ebenfalls: Eine schmale Autokorrelationsfunktion entspricht einem breiten Leistungsdichtespektrum und umgekehrt. |
*Als Beschreibungsgröße verwenden wir hier die äquivalente LDS-Bandbreite $∇f$ (man spricht ''Nabla-f''), ähnlich definiert wie die äquivalente AKF-Dauer $∇τ$ im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Interpretation_der_Autokorrelationsfunktion|Interpretation der Autokorrelationsfunktion]]: | *Als Beschreibungsgröße verwenden wir hier die äquivalente LDS-Bandbreite $∇f$ (man spricht ''Nabla-f''), ähnlich definiert wie die äquivalente AKF-Dauer $∇τ$ im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Interpretation_der_Autokorrelationsfunktion|Interpretation der Autokorrelationsfunktion]]: | ||
:$${{\rm \nabla} f_x} = \frac {1}{{\it \Phi}_x(f = {\rm 0})} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{{\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f, \hspace{0.5cm}{ {\rm \nabla} \tau_x} = \frac {\rm 1}{ \varphi_x(\tau = \rm 0)} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{\varphi_x(\tau )} \hspace{0.1cm} {\rm d} \tau.$$ | :$${{\rm \nabla} f_x} = \frac {1}{{\it \Phi}_x(f = {\rm 0})} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{{\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f, \hspace{0.5cm}{ {\rm \nabla} \tau_x} = \frac {\rm 1}{ \varphi_x(\tau = \rm 0)} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{\varphi_x(\tau )} \hspace{0.1cm} {\rm d} \tau.$$ | ||
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− | $\text{Beispiel 1:}$ Wir gehen | + | $\text{Beispiel 1:}$ Wir gehen von der obigen Grafik aus: |
− | *Die Kenngrößen des höherfrequenten Signals $x(t)$ sind $∇τ_x = 0.33\hspace{0. | + | *Die Kenngrößen des höherfrequenten Signals $x(t)$ sind $∇τ_x = 0.33\hspace{0.08cm} \rm µs$ und $∇f_x = 3 \hspace{0.08cm} \rm MHz$. |
− | *Die äquivalente AKF-Dauer des Signals $y(t)$ ist dreimal so groß: $∇τ_y = 1 \hspace{0. | + | *Die äquivalente AKF-Dauer des Signals $y(t)$ ist dreimal so groß: $∇τ_y = 1 \hspace{0.08cm} \rm µs$. |
− | *Die äquivalente LDS-Bandbreite beträgt somit nur mehr $∇f_y = ∇f_x/3 = 1 \hspace{0. | + | *Die äquivalente LDS-Bandbreite beträgt somit nur mehr $∇f_y = ∇f_x/3 = 1 \hspace{0.08cm} \rm MHz$. }} |
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$\text{Beweis:}$ Entsprechend den obigen Definitionen gilt: | $\text{Beweis:}$ Entsprechend den obigen Definitionen gilt: | ||
:$${ {\rm \nabla} \tau_x} = \frac {\rm 1}{ \varphi_x(\tau = \rm 0)} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{ \varphi_x(\tau )} \hspace{0.1cm} {\rm d} \tau = \frac { {\it \Phi}_x(f = {\rm 0)} }{ \varphi_x(\tau = \rm 0)},$$ | :$${ {\rm \nabla} \tau_x} = \frac {\rm 1}{ \varphi_x(\tau = \rm 0)} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{ \varphi_x(\tau )} \hspace{0.1cm} {\rm d} \tau = \frac { {\it \Phi}_x(f = {\rm 0)} }{ \varphi_x(\tau = \rm 0)},$$ | ||
− | :$${ {\rm \nabla} f_x} = \frac {1}{ {\it \Phi}_x(f = {\rm0})} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{ {\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f = \frac {\varphi_x(\tau = {\rm 0)} }{ {\it \Phi}_x(f = \rm 0)}.$$}} | + | :$${ {\rm \nabla} f_x} = \frac {1}{ {\it \Phi}_x(f = {\rm0})} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{ {\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f = \frac {\varphi_x(\tau = {\rm 0)} }{ {\it \Phi}_x(f = \rm 0)}.$$ |
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+ | Das Produkt ist somit gleich $1$: }} | ||
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==Leistungsdichtespektrum mit Gleichsignalkomponente== | ==Leistungsdichtespektrum mit Gleichsignalkomponente== | ||
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− | Wir gehen zunächst von einem gleichsignalfreien Zufallsprozess $\{x_i(t)\}$ aus. Weiterhin setzen wir voraus, dass der Prozess auch keine periodischen Anteile beinhaltet. Dann gilt: | + | Wir gehen zunächst von einem gleichsignalfreien Zufallsprozess $\{x_i(t)\}$ aus. Weiterhin setzen wir voraus, dass der Prozess auch keine periodischen Anteile beinhaltet. |
− | *Die Autokorrelationsfunktion | + | |
− | *Das Leistungsdichtespektrum | + | Dann gilt: |
+ | *Die Autokorrelationsfunktion $φ_x(τ)$ verschwindet für $τ → ∞$. | ||
+ | *Das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_x(f)$ – berechenbar als die Fouriertransformierte von $φ_x(τ)$ – ist sowohl wert– als auch zeitkontinuierlich, also ohne diskrete Anteile. | ||
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Die statistischen Beschreibungsgrößen des mittelwertbehafteten Zufallsprozesses $\{y_i(t)\}$ weisen dann folgende Eigenschaften auf: | Die statistischen Beschreibungsgrößen des mittelwertbehafteten Zufallsprozesses $\{y_i(t)\}$ weisen dann folgende Eigenschaften auf: | ||
− | *Der Grenzwert der | + | *Der Grenzwert der AKF für $τ → ∞$ ist nun nicht mehr Null, sondern $m_y^2$. Im gesamten $τ$-Bereich von $–∞$ bis $+∞$ ist die AKF $φ_y(τ)$ um $m_y^2$ größer als $φ_x(τ)$: |
:$${\varphi_y ( \tau)} = {\varphi_x ( \tau)} + m_y^2 . $$ | :$${\varphi_y ( \tau)} = {\varphi_x ( \tau)} + m_y^2 . $$ | ||
− | *Nach den elementaren Gesetzen der Fouriertransformation führt der konstante AKF-Beitrag im | + | *Nach den elementaren Gesetzen der Fouriertransformation führt der konstante AKF-Beitrag im LDS zu einer Diracfunktion $δ(f)$ mit dem Gewicht $m_y^2$: |
:$${{\it \Phi}_y ( f)} = {\Phi_x ( f)} + m_y^2 \cdot \delta (f). $$ | :$${{\it \Phi}_y ( f)} = {\Phi_x ( f)} + m_y^2 \cdot \delta (f). $$ | ||
− | Nähere Informationen zur Diracfunktion finden Sie im Kapitel [[Signaldarstellung/Allgemeine_Beschreibung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals|Gleichsignal - Grenzfall eines periodischen Signals]] des Buches „Signaldarstellung”. Weiterhin möchten wir Sie auf das Lernvideo [[Herleitung_und_Visualisierung_der_Diracfunktion_(Lernvideo)|Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion]] hinweisen. | + | *Nähere Informationen zur Diracfunktion finden Sie im Kapitel [[Signaldarstellung/Allgemeine_Beschreibung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals|Gleichsignal - Grenzfall eines periodischen Signals]] des Buches „Signaldarstellung”. |
+ | *Weiterhin möchten wir Sie auf das Lernvideo [[Herleitung_und_Visualisierung_der_Diracfunktion_(Lernvideo)|Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion]] hinweisen. | ||
==Numerische LDS-Ermittlung== | ==Numerische LDS-Ermittlung== | ||
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*Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten (abgetasteten) AKF ergibt ein mit ${\rm 1}/T_{\rm A}$ periodisches LDS: | *Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten (abgetasteten) AKF ergibt ein mit ${\rm 1}/T_{\rm A}$ periodisches LDS: | ||
:$${\rm A} \{ \varphi_x ( \tau ) \} \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} {\rm P} \{{{\it \Phi}_x} ( f) \} = \sum_{\mu = - \infty}^{\infty} {{\it \Phi}_x} ( f - \frac {\mu}{T_{\rm A}}).$$ | :$${\rm A} \{ \varphi_x ( \tau ) \} \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} {\rm P} \{{{\it \Phi}_x} ( f) \} = \sum_{\mu = - \infty}^{\infty} {{\it \Phi}_x} ( f - \frac {\mu}{T_{\rm A}}).$$ | ||
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$\text{Beispiel 3:}$ Eine gaußförmige AKF $φ_x(τ)$ wird im Abstand $T_{\rm A}$ abgetastet, wobei das Abtasttheorem erfüllt ist: | $\text{Beispiel 3:}$ Eine gaußförmige AKF $φ_x(τ)$ wird im Abstand $T_{\rm A}$ abgetastet, wobei das Abtasttheorem erfüllt ist: | ||
− | *Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten AKF ${\rm A} \{φ_x(τ) \}$ sei ${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \}$. | + | *Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten AKF ${\rm A} \{φ_x(τ) \}$ sei ${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \}$. Diese mit ${\rm 1}/T_{\rm A}$ periodische Funktion ${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \}$ ist dementsprechend unendlich weit ausgedehnt ( roter Kurvenzug ). |
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*Das LDS ${\it \Phi}_x(f)$ des zeitkontinuierlichen Prozesses $\{x_i(t)\}$ erhält man durch Bandbegrenzung auf den im Bild blau hinterlegten Frequenzbereich $\vert f · T_{\rm A} \vert ≤ 0.5$. }} | *Das LDS ${\it \Phi}_x(f)$ des zeitkontinuierlichen Prozesses $\{x_i(t)\}$ erhält man durch Bandbegrenzung auf den im Bild blau hinterlegten Frequenzbereich $\vert f · T_{\rm A} \vert ≤ 0.5$. }} | ||
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Für die nachfolgende Analyse gehen wir von folgenden Annahmen aus: | Für die nachfolgende Analyse gehen wir von folgenden Annahmen aus: | ||
− | *Die zeitdiskrete AKF $φ_x(k · T_{\rm A})$ wurde aus $N$ Abtastwerten numerisch ermittelt. Wie bereits auf der Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Genauigkeit_der_numerischen_AKF-Berechnung_.281.29|Genauigkeit der numerischen AKF-Berechnung]] gezeigt wurde, sind diese Werte fehlerhaft und die Fehler korreliert, wenn $N$ | + | *Die zeitdiskrete AKF $φ_x(k · T_{\rm A})$ wurde aus $N$ Abtastwerten numerisch ermittelt. Wie bereits auf der Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Genauigkeit_der_numerischen_AKF-Berechnung_.281.29|Genauigkeit der numerischen AKF-Berechnung]] gezeigt wurde, sind diese Werte fehlerhaft und die Fehler korreliert, wenn $N$ zu klein gewählt wurde. |
*Zur Berechnung des periodischen Leistungsdichtespektrums (LDS) verwenden wir nur die AKF-Werte $φ_x(0)$, ... , $φ_x(K · T_{\rm A})$: | *Zur Berechnung des periodischen Leistungsdichtespektrums (LDS) verwenden wir nur die AKF-Werte $φ_x(0)$, ... , $φ_x(K · T_{\rm A})$: | ||
:$${\rm P} \{{{\it \Phi}_x} ( f) \} = T_{\rm A} \cdot \varphi_x ( k = 0) +2 T_{\rm A} \cdot \sum_{k = 1}^{K} \varphi_x ( k T_{\rm A})\cdot {\rm cos}(2{\rm \pi} k T_{\rm A}).$$ | :$${\rm P} \{{{\it \Phi}_x} ( f) \} = T_{\rm A} \cdot \varphi_x ( k = 0) +2 T_{\rm A} \cdot \sum_{k = 1}^{K} \varphi_x ( k T_{\rm A})\cdot {\rm cos}(2{\rm \pi} k T_{\rm A}).$$ | ||
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Die Genauigkeit der LDS-Berechnung wird im starken Maße durch den Parameter $K$ bestimmt: | Die Genauigkeit der LDS-Berechnung wird im starken Maße durch den Parameter $K$ bestimmt: | ||
*Ist $K$ zu klein gewählt, so werden die eigrntlich vorhandenen AKF-Werte $φ_x(k · T_{\rm A})$ mit $k > K$ nicht berücksichtigt. | *Ist $K$ zu klein gewählt, so werden die eigrntlich vorhandenen AKF-Werte $φ_x(k · T_{\rm A})$ mit $k > K$ nicht berücksichtigt. | ||
− | * | + | *Bei zu großem $K$ werden auch solche AKF-Werte berücksichtigt, die eigentlich Null sein sollten und nur wegen der numerischen AKF-Berechnung endlich sind. |
*Diese Werte sind allerdings – bedingt durch ein zu kleines $N$ bei der AKF–Ermittlung – nur Fehler, und beinträchtigen die LDS-Berechnung mehr als dass sie einen brauchbaren Beitrag zum Ergebnis liefern. }} | *Diese Werte sind allerdings – bedingt durch ein zu kleines $N$ bei der AKF–Ermittlung – nur Fehler, und beinträchtigen die LDS-Berechnung mehr als dass sie einen brauchbaren Beitrag zum Ergebnis liefern. }} | ||
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[[Datei:P_ID643__Sto_T_4_5_S5_b.png |450px|center|frame| Genauigkeit der numerischen LDS-Berechnung]] | [[Datei:P_ID643__Sto_T_4_5_S5_b.png |450px|center|frame| Genauigkeit der numerischen LDS-Berechnung]] | ||
− | *Das obere Bild zeigt, dass diese fehlerhaften Werte bis zu $6\%$ des Maximalwertes betragen können. | + | *Das obere Bild zeigt, dass diese fehlerhaften AKF–Werte bis zu $6\%$ des Maximalwertes betragen können. |
*Unten ist das numerisch ermittelte LDS dargestellt. Gelb ist der theoretische Verlauf dargestellt, der für $\vert f · T_{\rm A} \vert ≤ 0.5$ konstant sein sollte. | *Unten ist das numerisch ermittelte LDS dargestellt. Gelb ist der theoretische Verlauf dargestellt, der für $\vert f · T_{\rm A} \vert ≤ 0.5$ konstant sein sollte. | ||
− | *Die grüne und die violette Kurve verdeutlichen, wie durch $K = 3$ bzw. $K = 10$ das Ergebnis gegenüber $K = 0$ verfälscht wird. | + | *Die grüne und die violette Kurve verdeutlichen, wie durch $K = 3$ bzw. $K = 10$ das Ergebnis gegenüber $K = 0$ verfälscht wird. |
Version vom 20. August 2018, 07:28 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Theorem von Wiener-Chintchine
Im Weiteren beschränken wir uns auf ergodische Prozesse. Wie im letzten Kapitel gezeigt wurde, gelten dann die folgenden Aussagen:
- Jede einzelne Musterfunktion $x_i(t)$ ist repräsentativ für den gesamten Zufallsprozess $\{x_i(t)\}$.
- Alle Zeitmittelwerte sind somit identisch mit den dazugehörigen Scharmittelwerten.
- Die Autokorrelationsfunktion, die allgemein von den beiden Zeitparametern $t_1$ und $t_2$ beeinflusst wird, hängt nur noch von der Zeitdifferenz $τ = t_2 – t_1$ ab:
- $$\varphi_x(t_1,t_2)={\rm E}[x(t_{\rm 1})\cdot x(t_{\rm 2})] = \varphi_x(\tau)= \int^{+\infty}_{-\infty}x(t)\cdot x(t+\tau)\,{\rm d}t.$$
Die Autokorrelationsfunktion liefert quantitative Aussagen über die (linearen) statistischen Bindungen innerhalb des ergodischen Prozesses $\{x_i(t)\}$ im Zeitbereich. Die äquivalente Beschreibungsgröße im Frequenzbereich ist die spektrale Leistungsdichte, häufig auch als „Leistungsdichtespektrum” bezeichnet.
$\text{Definition:}$ Das Leistungsdichtespektrum (LDS) eines ergodischen Zufallsprozesses $\{x_i(t)\}$ ist die Fouriertransformierte der Autokorrelationsfunktion (AKF): $${\it \Phi}_x(f)=\int^{+\infty}_{-\infty}\varphi_x(\tau) \cdot {\rm e}^{- {\rm j\pi} f \tau} {\rm d} \tau. $$ Diesen Funktionalzusammenhang nennt man das Theorem von Wiener und Chintchine.
Ebenso kann die AKF als Fourierrücktransformierte des LDS berechnet werden (siehe Seite Fourierrücktransformation im Buch „Signaldarstellung”):
- $$ \varphi_x(\tau)=\int^{+\infty}_{-\infty} {\it \Phi}_x \cdot {\rm e}^{{\rm j\pi} f \tau} {\rm d} f.$$
- Die beiden Gleichungen sind nur dann direkt anwendbar, wenn der Zufallsprozess weder einen Gleichanteil noch periodische Anteile beinhaltet.
- Andernfalls muss man nach den Angaben entsprechend der Seite Spektrale Leistungsdichte mit Gleichsignalkomponente vorgehen.
Physikalische Interpretation und Messung
Das folgende Bild zeigt eine Anordnung zur (näherungsweisen) messtechnischen Bestimmung des Leistungsdichtespektrums ${\it \Phi}_x(f)$.
Hierzu ist folgendes anzumerken:
- Das Zufallssignal $x(t)$ wird auf ein (möglichst) rechteckförmiges und (möglichst) schmalbandiges Filter mit Mittenfrequenz $f$ und Bandbreite $Δf$ gegeben, wobei $Δf$ entsprechend der gewünschten Frequenzauflösung hinreichend klein gewählt werden muss.
- Das entsprechende Ausgangssignal $x_f(t)$ wird quadriert und anschließend der Mittelwert über eine hinreichend lange Messdauer $T_{\rm M}$ gebildet. Damit erhält man die Leistung von $x_f(t)$ bzw. die Leistungsanteile von $x(t)$ im Spektralbereich von $f - Δf/2$ bis $f + Δf/2$:
- $$P_{x_f} =\overline{x_f(t)^2}=\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}}_{0}x_f(t)^2 \hspace{0.1cm}\rm d \it t.$$
- Die Division durch $Δf$ führt von der spektralen Leistung zur spektralen Leistungsdichte:
- $${{\it \Phi}_{x \rm +}}(f) =\frac{P_{x_f}}{{\rm \Delta} f} \hspace {0.5cm} {\rm bzw.} \hspace {0.5cm} {\it \Phi}_{x}(f) = \frac{P_{x_f}}{{\rm 2 \cdot \Delta} f}.$$
- Hierbei bezeichnet ${\it \Phi}_{x+}(f) = 2 · {\it \Phi}_x(f)$ das einseitige, nur für positive Frequenzen definierte LDS. Für negative Frequenzen ist ${\it \Phi}_{x+}(f) = 0$. Im Gegensatz dazu gilt für das üblicherweise verwendete zweiseitige LDS: ${\it \Phi}_x(–f) = {\it \Phi}_x(f)$.
- Während die Leistung $P_{x_f}$ mit kleiner werdender Bandbreite $Δf$ gegen Null tendiert, bleibt die spektrale Leistungsdichte ab einem hinreichend kleinen Wert von $Δf$ nahezu konstant. Für die exakte Bestimmung von ${\it \Phi}_x(f)$ sind zwei Grenzübergänge notwendig:
- $${{\it \Phi}_x(f)} = \lim_{{\rm \Delta}f\to 0} \hspace{0.2cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{{\rm 2 \cdot \Delta}f\cdot T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}}_{0}x_f^2(t) \hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$
$\text{Fazit:}$ Aus dieser physikalischen Interpretation folgt weiter, dass das Leistungsdichtespektrum stets reell ist und nie negativ werden kann. Die gesamte Signalleistung von $x(t)$ erhält man dann durch Integration über alle Spektralanteile:
- $$P_x = \int^{\infty}_{0}{\it \Phi}_{x \rm +}(f) \hspace{0.1cm}{\rm d} f = \int^{+\infty}_{-\infty}{\it \Phi}_x(f)\hspace{0.1cm} {\rm d} f .$$
Reziprozitätsgesetz von AKF-Zeitdauer und LDS-Bandbreite
Alle im Buch „Signaldarstellung” für deterministische Signale hergeleiteten Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation können auch auf die
Autokorrelationsfunktion (AKF) und das Leistungsdichtespektrum (LDS) eines Zufallsprozesses angewendet werden. Aufgrund der spezifischen Eigenschaften
- von Autokorrelationsfunktion (stets reell und gerade) und
- Leistungsdichtespektrum (stets reell, gerade und nicht-negativ)
liefern allerdings nicht alle Gesetze sinnvolle Ergebnisse.
Wir betrachten nun wie im Abschnitt Interpretation der Autokorrelationsfunktion zwei unterschiedliche ergodische Zufallsprozesse $\{x_i(t)\}$ und $\{y_i(t)\}$ anhand
- der beiden Mustersignale $x(t)$ bzw. $y(t)$ ⇒ obere Skizze,
- der beiden Autokorrelationsfunktionen $φ_x(τ)$ bzw. $φ_y(τ)$ ⇒ mittlere Skizze,
- der beiden Leistungsdichtespektren ${\it \Phi}_x(f)$ bzw. ${\it \Phi}_y(f)$ ⇒ untere Skizze.
Anhand dieser Grafiken sind folgende Aussagen möglich:
- Die Flächen unter den LDS-Kurven sind gleich ⇒ die Prozesse $\{x_i(t)\}$ und $\{y_i(t)\}$ besitzen gleiche Leistung:
- $${\varphi_x({\rm 0})}\hspace{0.05cm} =\hspace{0.05cm} \int^{+\infty}_{-\infty}{{\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm}{\varphi_y({\rm 0})} = \int^{+\infty}_{-\infty}{{\it \Phi}_y(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f .$$
- Das aus der klassischen (deterministischen) Systemtheorie bekannte Reziprozitätsgesetz von Zeitdauer und Bandbreite gilt hier ebenfalls: Eine schmale Autokorrelationsfunktion entspricht einem breiten Leistungsdichtespektrum und umgekehrt.
- Als Beschreibungsgröße verwenden wir hier die äquivalente LDS-Bandbreite $∇f$ (man spricht Nabla-f), ähnlich definiert wie die äquivalente AKF-Dauer $∇τ$ im Kapitel Interpretation der Autokorrelationsfunktion:
- $${{\rm \nabla} f_x} = \frac {1}{{\it \Phi}_x(f = {\rm 0})} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{{\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f, \hspace{0.5cm}{ {\rm \nabla} \tau_x} = \frac {\rm 1}{ \varphi_x(\tau = \rm 0)} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{\varphi_x(\tau )} \hspace{0.1cm} {\rm d} \tau.$$
- Mit diesen Definitionen gilt der folgende grundlegende Zusammenhang:
- $${{\rm \nabla} \tau_x} \cdot {{\rm \nabla} f_x} = 1\hspace{1cm}{\rm bzw.}\hspace{1cm} {{\rm \nabla} \tau_y} \cdot {{\rm \nabla} f_y} = 1.$$
$\text{Beispiel 1:}$ Wir gehen von der obigen Grafik aus:
- Die Kenngrößen des höherfrequenten Signals $x(t)$ sind $∇τ_x = 0.33\hspace{0.08cm} \rm µs$ und $∇f_x = 3 \hspace{0.08cm} \rm MHz$.
- Die äquivalente AKF-Dauer des Signals $y(t)$ ist dreimal so groß: $∇τ_y = 1 \hspace{0.08cm} \rm µs$.
- Die äquivalente LDS-Bandbreite beträgt somit nur mehr $∇f_y = ∇f_x/3 = 1 \hspace{0.08cm} \rm MHz$.
$\text{Allgemein gilt:}$ Das Produkt aus äquivalenter AKF-Dauer ${ {\rm \nabla} \tau_x}$ und äquivalenter LDS-Bandbreite $ { {\rm \nabla} f_x}$ ist gleich $1$:
- $${ {\rm \nabla} \tau_x} \cdot { {\rm \nabla} f_x} = 1.$$
$\text{Beweis:}$ Entsprechend den obigen Definitionen gilt:
- $${ {\rm \nabla} \tau_x} = \frac {\rm 1}{ \varphi_x(\tau = \rm 0)} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{ \varphi_x(\tau )} \hspace{0.1cm} {\rm d} \tau = \frac { {\it \Phi}_x(f = {\rm 0)} }{ \varphi_x(\tau = \rm 0)},$$
- $${ {\rm \nabla} f_x} = \frac {1}{ {\it \Phi}_x(f = {\rm0})} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{ {\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f = \frac {\varphi_x(\tau = {\rm 0)} }{ {\it \Phi}_x(f = \rm 0)}.$$
Das Produkt ist somit gleich $1$:
$\text{Beispiel 2:}$ Ein Grenzfall des Reziprozitätsgesetzes stellt das so genannte Weiße Rauschen dar:
- Dieses beinhaltet alle Spektralanteile (bis ins Unendliche).
- Die äquivalente LDS-Bandbreite $∇f$ ist unendlich groß.
Das hier angegebene Gesetz besagt, dass damit für die äquivalente AKF-Dauer $∇τ = 0$ gelten muss ⇒ das weiße Rauschen besitzt eine diracförmige AKF.
Mehr zu dieser Thematik finden Sie im dreiteiligen Lernvideo Der AWGN-Kanal, insbesondere im zweiten Teil.
Leistungsdichtespektrum mit Gleichsignalkomponente
Wir gehen zunächst von einem gleichsignalfreien Zufallsprozess $\{x_i(t)\}$ aus. Weiterhin setzen wir voraus, dass der Prozess auch keine periodischen Anteile beinhaltet.
Dann gilt:
- Die Autokorrelationsfunktion $φ_x(τ)$ verschwindet für $τ → ∞$.
- Das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_x(f)$ – berechenbar als die Fouriertransformierte von $φ_x(τ)$ – ist sowohl wert– als auch zeitkontinuierlich, also ohne diskrete Anteile.
Wir betrachten nun einen zweiten Zufallsprozess $\{y_i(t)\}$, der sich vom Prozess $\{x_i(t)\}$ lediglich durch eine zusätzliche Gleichsignalkomponente $m_y$ unterscheidet:
- $$\left\{ y_i (t) \right\} = \left\{ x_i (t) + m_y \right\}.$$
Die statistischen Beschreibungsgrößen des mittelwertbehafteten Zufallsprozesses $\{y_i(t)\}$ weisen dann folgende Eigenschaften auf:
- Der Grenzwert der AKF für $τ → ∞$ ist nun nicht mehr Null, sondern $m_y^2$. Im gesamten $τ$-Bereich von $–∞$ bis $+∞$ ist die AKF $φ_y(τ)$ um $m_y^2$ größer als $φ_x(τ)$:
- $${\varphi_y ( \tau)} = {\varphi_x ( \tau)} + m_y^2 . $$
- Nach den elementaren Gesetzen der Fouriertransformation führt der konstante AKF-Beitrag im LDS zu einer Diracfunktion $δ(f)$ mit dem Gewicht $m_y^2$:
- $${{\it \Phi}_y ( f)} = {\Phi_x ( f)} + m_y^2 \cdot \delta (f). $$
- Nähere Informationen zur Diracfunktion finden Sie im Kapitel Gleichsignal - Grenzfall eines periodischen Signals des Buches „Signaldarstellung”.
- Weiterhin möchten wir Sie auf das Lernvideo Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion hinweisen.
Numerische LDS-Ermittlung
Autokorrelationsfunktion und Leistungsdichtespektrum sind über die Fouriertransformation streng miteinander verknüpft. Dieser Zusammenhang gilt auch bei zeitdiskreter AKF-Darstellung mit dem Abtastoperator ${\rm A} \{ \varphi_x ( \tau ) \} $, also für
- $${\rm A} \{ \varphi_x ( \tau ) \} = \varphi_x ( \tau ) \cdot \sum_{k= - \infty}^{\infty} T_{\rm A} \cdot \delta ( \tau - k \cdot T_{\rm A}).$$
Der Übergang vom Zeit– in den Spektralbereich kann mit folgenden Schritten hergeleitet werden:
- Der Abstand $T_{\rm A}$ zweier Abtastwerte ist durch die absolute Bandbreite $B_x$ (maximal auftretende Frequenz innerhalb des Prozesses) über das Abtasttheorem festgelegt:
- $$T_{\rm A}\le\frac{1}{2B_x}.$$
- Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten (abgetasteten) AKF ergibt ein mit ${\rm 1}/T_{\rm A}$ periodisches LDS:
- $${\rm A} \{ \varphi_x ( \tau ) \} \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} {\rm P} \{{{\it \Phi}_x} ( f) \} = \sum_{\mu = - \infty}^{\infty} {{\it \Phi}_x} ( f - \frac {\mu}{T_{\rm A}}).$$
$\text{Fazit:}$ Da sowohl $φ_x(τ)$ als auch ${\it \Phi}_x(f)$ gerade und reelle Funktionen sind, gilt der Zusammenhang:
- $${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \} = T_{\rm A} \cdot \varphi_x ( k = 0) +2 T_{\rm A} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} \varphi_x ( k T_{\rm A}) \cdot {\rm cos}(2{\rm \pi} k T_{\rm A}).$$
- Das Leistungsdichtespektrum (LDS) des zeitkontinuierlichen Prozesses erhält man aus ${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \}$ durch Bandbegrenzung auf den Frequenzbereich $\vert f \vert ≤ 1/(2T_{\rm A})$.
- Im Zeitbereich bedeutet diese Operation eine Interpolation der einzelnen AKF-Abtastwerte mit der ${\rm si}$–Funktion, wobei ${\rm si}(x)$ für $\sin(x)/x$ steht.
$\text{Beispiel 3:}$ Eine gaußförmige AKF $φ_x(τ)$ wird im Abstand $T_{\rm A}$ abgetastet, wobei das Abtasttheorem erfüllt ist:
- Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten AKF ${\rm A} \{φ_x(τ) \}$ sei ${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \}$. Diese mit ${\rm 1}/T_{\rm A}$ periodische Funktion ${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \}$ ist dementsprechend unendlich weit ausgedehnt ( roter Kurvenzug ).
- Das LDS ${\it \Phi}_x(f)$ des zeitkontinuierlichen Prozesses $\{x_i(t)\}$ erhält man durch Bandbegrenzung auf den im Bild blau hinterlegten Frequenzbereich $\vert f · T_{\rm A} \vert ≤ 0.5$.
Genauigkeit der numerischen LDS-Berechnung
Für die nachfolgende Analyse gehen wir von folgenden Annahmen aus:
- Die zeitdiskrete AKF $φ_x(k · T_{\rm A})$ wurde aus $N$ Abtastwerten numerisch ermittelt. Wie bereits auf der Seite Genauigkeit der numerischen AKF-Berechnung gezeigt wurde, sind diese Werte fehlerhaft und die Fehler korreliert, wenn $N$ zu klein gewählt wurde.
- Zur Berechnung des periodischen Leistungsdichtespektrums (LDS) verwenden wir nur die AKF-Werte $φ_x(0)$, ... , $φ_x(K · T_{\rm A})$:
- $${\rm P} \{{{\it \Phi}_x} ( f) \} = T_{\rm A} \cdot \varphi_x ( k = 0) +2 T_{\rm A} \cdot \sum_{k = 1}^{K} \varphi_x ( k T_{\rm A})\cdot {\rm cos}(2{\rm \pi} k T_{\rm A}).$$
$\text{Fazit:}$ Die Genauigkeit der LDS-Berechnung wird im starken Maße durch den Parameter $K$ bestimmt:
- Ist $K$ zu klein gewählt, so werden die eigrntlich vorhandenen AKF-Werte $φ_x(k · T_{\rm A})$ mit $k > K$ nicht berücksichtigt.
- Bei zu großem $K$ werden auch solche AKF-Werte berücksichtigt, die eigentlich Null sein sollten und nur wegen der numerischen AKF-Berechnung endlich sind.
- Diese Werte sind allerdings – bedingt durch ein zu kleines $N$ bei der AKF–Ermittlung – nur Fehler, und beinträchtigen die LDS-Berechnung mehr als dass sie einen brauchbaren Beitrag zum Ergebnis liefern.
$\text{Beispiel 4:}$ Wir betrachten hier einen mittelwertfreien Prozess mit statistisch unabhängigen Abtastwerten.
- Deshalb sollte nur der AKF–Wert $φ_x(0) = σ_x^2$ von $0$ verschieden ist.
- Ermittelt man aber die AKF numerisch aus lediglich $N = 1000$ Abtastwerten, so erhält man auch für $k ≠ 0$ endliche AKF–Werte.
- Das obere Bild zeigt, dass diese fehlerhaften AKF–Werte bis zu $6\%$ des Maximalwertes betragen können.
- Unten ist das numerisch ermittelte LDS dargestellt. Gelb ist der theoretische Verlauf dargestellt, der für $\vert f · T_{\rm A} \vert ≤ 0.5$ konstant sein sollte.
- Die grüne und die violette Kurve verdeutlichen, wie durch $K = 3$ bzw. $K = 10$ das Ergebnis gegenüber $K = 0$ verfälscht wird.
In diesem Fall (statistisch unabhängige Zufallsgrößen) wächst der Fehler monoton mit steigendem $K$. Bei einer Zufallsgröße mit statistischen Bindungen gibt es dagegen jeweils einen optimalen Wert für $K$.
- Wird dieser zu klein gewählt, so werden signifikante Bindungen nicht berücksichtigt.
- Ein zu großer Wert führt dagegen zu Oszillationen, die nur auf fehlerhafte AKF–Werte zurückzuführen sind.
Aufgaben zum Kapitel
Aufgabe 4.12: LDS eines Binärsignals
Aufgabe 4.12Z: Weißes Rauschen